强化课 对称与最值问题-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

一、选择题 1．已知点A与点B(1，2)关于直线x－y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　) A．(－1，4) B．(4，5) C．(－5，－4) D．(－4，－3) 解析：选A．设A(x，y)，则 解得故选A． 2．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B． C． D． 解析：选D．根据中点坐标公式得 解得所以点P的坐标为(4，1)，则点P(4，1)到原点的距离d＝＝. 3．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，则实数m的值是(　　) A．3 B．1 C．－2 D．－7 解析：选A．由题意得，MN的中点在直线x＋2y－2＝0上，且直线x＋2y－2＝0与直线MN垂直，即解得m＝3.故选A． 4．(2024·河南驻马店期末)点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为(　　) A．5 B． C．2 D．3 解析：选A．直线l：2x－y＋m(x－1)＝0，令 解得所以直线l过定点A(1，2)，所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点D到直线l的距离，当DA不垂直于l时，过点D作DB⊥l于点B，|DB|表示点D到直线l的距离，显然|DB|<|DA|，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为5.故选A． 5．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，且点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取得最小值，则点P的坐标为(　　) A．(，－) B．(，－) C．(－2，2) D．(2，－2) 解析：选A．因为A(3，－1)代入直线x＋y＝0得到3－1>0，B(5，－2)代入直线x＋y＝0得到5－2>0，所以A，B在直线x＋y＝0的同侧．设A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为C(m，n)，则解得即C(1，－3).则|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|≥|BC|，当且仅当P为BC与直线x＋y＝0的交点时，取等号．所以kBC＝＝，lBC：y＋2＝(x－5)，即x－4y－13＝0.联立解得即P(，－).故选A． 6．(2024·陕西西安检测)如图，一束光线从A(3，4)出发，经过坐标轴反射两次经过点D(6，2)，则总路径长|AB|＋|BC|＋|CD|＝(　　) A．3 B．6 C．3 D． 解析：选C．设点A关于y轴的对称点为点M，点D关于x轴的对称点为点N，由光线反射知识可得M，B，C三点共线，N，C，B三点共线，故M，B，C，N四点共线，因为点A的坐标为(3，4)，点D的坐标为(6，2)，所以点M的坐标为(－3，4)，点N的坐标为(6，－2)，由对称的性质可得|AB|＝|MB|，|CD|＝|CN|，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝|MB|＋|BC|＋|CN|＝|MN|，又|MN|＝＝3，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝3.故选C． 7．(2024·江西抚州联考)已知x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D．2 解析：选D．因为＋＝＋，所以该式子是表示点(x，y)到点(1，1)和点(2，0)的距离之和，又因为x＋y＋1＝0， 所以上述式子表示直线x＋y＋1＝0上的点(x，y)到点A(1，1)和点B(2，0)的距离之和(如图).设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为C(a，b)，则有 解得即C(－2，－2)，所以|BC|＝＝2，所以直线x＋y＋1＝0上的点(x，y)到点A(1，1)和点B(2，0)的距离之和的最小值为|BC|＝2.故选D． 8．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．点斜式y－y1 ＝k(x－x1)可以表示任何直线 B．直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2 C．直线2x－y＋3＝0关于x－y＝0对称的直线方程是x－2y＋3＝0 D．点P(2，1)到直线ax＋(a－1)y＋a＋3＝0的最大距离为2 解析：选BD．对于A，当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误；对于B，y＝4x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；对于C，点(x，y)关于y＝x的对称点为(y，x)，故直线2x－y＋3＝0关于x－y＝0对称的直线方程是x－2y－3＝0，故C错误；对于D，ax＋(a－1)y＋a＋3＝0，即a(x＋y＋1)－y＋3＝0，其恒过定点A(－4，3)，又|PA|＝＝2，故点P(2，1)到直线ax＋(a－1)y＋a＋3＝0的最大距离为2，故D正确．故选BD． 9．(多选)(2024·江西新余月考)已知点M(－1，1)，N(2，1)，且点P在直线l：x＋y＋2＝0上，则(　　) A．存在点P，使得PM⊥PN B．存在点P，使得2|PM|＝|PN| C．|PM|＋|PN|的最小值为 D．||PM|－|PN||的最大值为3 解析：选BCD．对于A，设P(a，－a－2)，当a＝－1时，P(－1，－1)，此时PM的斜率不存在，因为kPN＝≠0，所以PM与PN不垂直，同理当a＝2时，PM与PN不垂直，当a≠－1且a≠2时，kPM＝，kPN＝，若PM⊥PN，则kPM·kPN＝·＝－1，整理得2a2＋5a＋7＝0，Δ＝52－4×2×7<0，方程无解，故PM与PN不垂直，故A错误；对于B，设P(a，－a－2)，若2|PM|＝|PN|，则2＝，即2a2＋10a＋9＝0，由Δ＝102－4×2×9＝28>0，所以方程有解，则存在点P，使得2|PM|＝|PN|，故B正确； 对于C，如图1，设M(－1，1)关于直线l的对称点为M′(a，b)，则解得所以M′(－3，－1)，所以|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|≥|M′N|＝＝， 当且仅当M′，P，N三点共线(P在线段M′N之间)时取等号，故C正确；对于D，如图2，||PM|－|PN||≤|MN|＝3，当且仅当P为NM的延长线与直线l的交点时取等号，故D正确．故选BCD． 10．(多选)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短？在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x－y＝0，y＝0，点A(3，1)，B(6，3)，则下列说法正确的是(　　) A．将军从A出发，先去河流m饮马，再返回B的最短路程是7 B．将军从A出发，先去河流n饮马，再返回B的最短路程是7 C．将军从A出发，先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回B的最短路程是 D．将军从A出发，先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回B的最短路程是2 解析：选AC．由A(3，1)关于2x－y＝0，y＝0的对称点分别为C(－1，3)，D(3，－1)，而B(6，3)，从A出发，先去河流m饮马，再返回B的最短路程是|BC|＝7，A正确；从A出发，先去河流n饮马，再返回B的最短路程是|BD|＝5，B错误；由B(6，3)关于2x－y＝0，y＝0的对称点分别为E(－，)，F(6，－3)，从A出发，先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回B的最短路程是|CF|＝，C正确；从A出发，先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回B的最短路程是|DE|＝，D错误．故选AC． 二、填空题 11．(2024·陕西西安检测)已知点(1，－1)关于直线l1：y＝2x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程是________________． 解析：设点A的坐标为(a，b)，由题意可得解得即点A(－，)， 直线AB的斜率为kAB＝＝－，当l2⊥AB时，点B到直线l2的距离最大，此时直线l2的方程为y－＝(x＋)，即17x－6y＋25＝0. 答案：17x－6y＋25＝0 12．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于4，则点P到原点距离的取值范围是________． 解析：直线3x－y＝0与x＋3y＝0的斜率分别为3，－，且3×(－)＝－1，故直线3x－y＝0与x＋3y＝0垂直，且均经过原点O，设点P到直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0且a＋b＝4，所以0≤a≤4，所以|OP|＝＝＝＝∈[2，4]. 答案：[2，4] 13．(2024·广西桂林期末)已知正实数a，b满足3a＋2b＝6，则b＋的最小值为________． 解析：设直线3x＋2y＝6，则点P(a，b)在直线3x＋2y＝6上，且在第一象限．b＋＝＋，表示直线3x＋2y＝6上一点P(a，b)到点A(0，1)和点M(a，0)的距离之和．易知，点A，M在直线3x＋2y＝6的同侧，如图所示，设点A关于直线3x＋2y＝6对称的点为B(m，n)，则 解得所以|PM|＋|PA|＝|PM|＋|PB|，由图可知，当B，P，M三点共线，即在直线x＝上时，|PM|＋|PB|最小，最小值为n＝，所以b＋的最小值为. 答案： 14．(2024·河南济源检测)已知A(2，0)，B(0，2)，P(1，0)，O为坐标原点，点M，N分别在线段AB，OB上，则△PMN周长的最小值为________． 解析：如图，作点P关于直线AB对称点P′(x，y)和关于y轴对称点P″ ，则PP′⊥AB ，并且P，P′ 的中点在AB上，直线AB的方程为y＝－x＋2 ，即kPP′·kAB＝－1，×(－1)＝－1，即y＝x－1，①P，P′ 的中点坐标为(，)，代入直线AB的方程得＝－＋2，即y＝－x＋3，②联立①②解得x＝2，y＝1 ，即P′(2，1) ，显然P″(－1，0)，△PMN的周长为|PM|＋|MN|＋|PN|＝|P′M|＋|MN|＋|P″N|≥|P′P″|＝＝，当且仅当M，N分别为P′P″与线段AB，OB的交点时，取等号． 答案： 三、解答题 15．已知△ABC的顶点B的坐标为(1，－2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y＋1＝0，∠BAC的平分线所在的直线方程为x＋7y－12＝0.求： (1)点A的坐标； (2)直线AC的方程． 解：(1)设点A(m，n)，则AB中点M的坐标为，由题意知点A在直线x＋7y－12＝0上，点M在直线2x－y＋1＝0上，所以解得 即点A的坐标为(－2，2). (2)设点B关于直线x＋7y－12＝0的对称点为B′，则由角平分线的对称性知点B′在直线AC上，设点B′的坐标为(x，y)，则点BB′的中点坐标为，则解得即点B′的坐标为(2，5).直线AB′的斜率为k＝＝，所以直线AB′即直线AC的方程为y－2＝(x＋2)，即3x－4y＋14＝0. 16．在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 解：(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，所以a＋b－4＝0，①因为BB′的中点在直线l上，所以－－1＝0，即a－b－6＝0.②由①②得所以点B′的坐标为(5，－1).于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．所以联立解得即l与AB′的交点坐标为.故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．所以联立解得即AC′与l的交点坐标为.故点Q的坐标为. 17．如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，|OA|＝1，|OB|＝2，设直线l与边OA，AB分别交于点M，N，将△AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点A′处． (1)若|OA′|＝，求点N到OB的距离； (2)设|OA′|＝m(m>0)，求点N到OB距离的最大值． 解：(1)依题意，以O为原点，直线OA，OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，连接AA′，如图， 显然点A(1，0)，B(0，2)，A′(0，)，直线AB的方程为＋＝1，即2x＋y－2＝0，直线AA′的斜率k＝－，而直线l垂直平分线段AA′，于是直线l过点(，)，斜率为2，因此直线l的方程为y－＝2(x－)，即y＝2x－，由2x＋y－2＝0与y＝2x－联立消去y得，x＝，即点N的横坐标为，所以点N到OB的距离为. (2)由(1)知，点A(1，0)，直线AB的方程为2x＋y－2＝0，显然A′(0，m)(0<m≤1)，直线AA′的斜率kAA′＝＝－m，而直线l垂直平分线段AA′，于是直线l过点(，)，斜率为，因此直线l的方程为y－＝(x－)，即y＝x＋－，由2x＋y－2＝0与y＝x＋－联立消去y得，x＝，即点N的横坐标为，因此点N到OB的距离d＝，0<m≤1，当0<m≤1时，d＝＝＝－[(2m＋1)＋]，显然1<2m＋1≤3，(2m＋1)＋≥2＝2，当且仅当2m＋1＝，即m＝时取等号，于是当m＝时，dmax＝－×2＝，所以当m＝时，点N到OB距离取得最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $