强化课 对称与最值问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　对称与最值问题 一　对称问题 题型1　中心对称问题 　(1)已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B． C． D． (2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程． 【解】　(1)选D．根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，则点P(4，1)到原点的距离d＝＝.故选D． (2)方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)的对称点为B1(3，－1).可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4).在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，解得C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. (1)点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 由得 (2)直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线． ②在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程． [注意]　两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行． [跟踪训练1] (1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 解析：选C．因为两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，可得即解得所以ab＝7×(－2)＝－14.故选C． (2)已知直线l′与直线x＋3y＋1＝0关于点M(2，1)对称，则直线l′的方程为____________________________________________________． 解析：由题意可设直线l′的方程为x＋3y＋m＝0(m≠1)，则＝，解得m＝－11或m＝1(舍去)，故直线l′的方程为x＋3y－11＝0. 答案：x＋3y－11＝0 题型2　轴对称问题 　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程． 【解】　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得 所以点P′的坐标为(－2，7). (2)联立解得则点 在所求直线上．在直线y＝x－2 上任取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则解得点M′ 也在所求直线上．由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (1)点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．即 解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． (2)直线关于直线对称 ①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． ②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． [跟踪训练2] (1)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(　　) A．(－3，5) B．(－1，－4) C．(4，1) D．(2，3) 解析：选A．设点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(a，b)，则解得所以点Q的坐标为(－3，5).故选A． (2)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：选A．在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则解得即P(y，x)，因为点P(y，x)在直线x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.故选A． 二　最值问题 题型1　由点到直线的距离求最值 　已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，求的最小值． 【解】　因为＝，所以上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，所以|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝. 题型2　由两平行直线间的距离求最值 　已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，求的最小值． 【解】　取点P(m，n)，Q(a，b)，则＝|PQ|.由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上，点Q在直线l2：3x＋4y－1＝0上．显然两直线平行，所以|PQ|的最小值就是两平行直线之间的距离，即＝1. 题型3　利用对称求最值 　(1)(2024·安徽淮北期中)已知两点A(－2，3)，B(3，2)，点C在x轴上，则|CA|＋|CB|的最小值为(　　) A． B．5 C．2 D． (2)(2024·江西南昌模拟)点P为直线2x－y－4＝0上的动点，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值为________． 【解析】　(1)如图，点B(3，2)关于x轴的对称点为B′(3，－2)，则|CB|＝|CB′|，所以|CA|＋|CB|＝|CA|＋|CB′|≥|AB′|＝＝5，当且仅当C为直线AB′与x轴的交点时取等号，所以|CA|＋|CB| 的最小值为5.故选B． (2)如图所示，设点A关于直线2x－y－4＝0的对称点为A′(a，b)，则可得 解得即A′(0，1).由平面几何的性质知，|PA|＝|PA′|，所以|PA|－|PB|＝|PA′|－|PB|≤|A′B|，直线A′B与直线2x－y－4＝0的交点即为所求点P.故(|PA|－|PB|)max＝|A′B|＝＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 直线上一点到两定点距离和差的最值问题的求解策略： (1)利用平面几何的性质，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合两点间距离公式求最值． (2)借助对称性对距离进行转化． [跟踪训练3] (1)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线l的方程分别为(　　) A．；x＋y－2＝0 B．；3x＋y－4＝0 C．；3x＋2y－5＝0 D．；2x－3y＋1＝0 解析：选C．将直线l的方程整理得，x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，从代数观点来看，若∀λ∈R，有x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0成立，则解得即直线l过定点Q(1，1)，若要P(－2，－1)到直线l的距离最大，只需PQ⊥l，此时点P(－2，－1)到直线l的最大距离为线段PQ的长度，即|PQ|＝＝，又直线PQ的斜率为kPQ＝＝，所以kl＝－，故此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0.故选C． (2)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为________． 解析：联立解得即直线的交点坐标为(1，2)，因为三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，所以m＋2n－5＝0，所以点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $