培优1 与圆有关的最值问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　与圆有关的最值问题 类型一 与距离有关的最值问题 　(1)(2024·广东深圳期中)已知点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上任意一点，直线(3λ＋1)x＋(2λ＋1)y＝5λ＋2过定点P，则|MP|的最大值为(　　) A． B．＋2 C．2 D．2＋2 (2)(2024·河南南阳期末)已知直线l：(a－3)x－2y＋2a＝0(a∈R)与直线l′关于直线y＝x对称，点P在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上运动，则动点P到直线l′的距离的最大值为________． 【解析】　(1)(3λ＋1)x＋(2λ＋1)y＝5λ＋2整理为(3x＋2y－5)λ＋x＋y－2＝0. 令解得所以定点P坐标为(1，1)，代入圆的方程中，(1＋2)2＋(1＋1)2>4，所以P(1，1)在圆外，因为点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上任意一点，设圆C的半径为r，则r＝2，所以|MP|的最大值应该为|PC|＋r，由两点间距离公式得|PC|＝＝，所以|MP|的最大值为＋2.故选B． (2)(a－3)x－2y＋2a＝0变形为a(x＋2)－3x－2y＝0，令解得故直线l恒过定点A(－2，3)，A(－2，3)关于y＝x对称的点B(3，－2)，故直线l′恒过点B(3，－2)，x2＋y2－4y＋3＝0变形为x2＋(y－2)2＝1，圆心为C(0，2)，半径为1，故圆心C(0，2)与B(3，－2)的距离为|BC|＝＝5，则动点P到直线l′的距离的最大值为|BC|＋r，即5＋1＝6. 【答案】　(1)B　(2)6 　(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r. (2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r. (3)圆与圆外离，P，Q分别为两圆上任意一点，d为两圆心之间的距离．|PQ|max＝d＋r1＋r2，|PQ|min＝d－r1－r2. (4)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2(d为圆心到该定点的距离)，最大值为2r，如图1. 　　 (5)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值为(d为圆心到直线的距离)，如图2. 类型二 与面积有关的最值问题 　(1)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：3x－y－20＝0，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q.当四边形OPAQ(O为坐标原点)的面积最小时，|PQ|＝(　　) A． B． C． D． (2)已知直线x＋y－2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝上，则△ABP面积的取值范围是________． 【解析】　(1)如图，由题意得，OP⊥PA，OQ⊥QA，|OQ|＝|OP|＝2，且PQ⊥OA，故△OPA≌△OQA，即S四边形OPAQ＝2S△OPA＝2××|OP|×|PA|＝2|PA|＝2＝2，故当四边形OPAQ(O为坐标原点)的面积最小时，|OA|最小，此时OA⊥l，|OA|＝＝2，S四边形OPAQ＝2＝12＝|PQ|×|OA|＝|PQ|×2，故|PQ|＝＝.故选D． (2)如图，对于x＋y－2＝0，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，所以A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|＝＝2，圆(x＋2)2＋(y－1)2＝的圆心C(－2，1)，半径r＝，圆心C(－2，1)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝>，所以点P到直线x＋y－2＝0的距离的最大值为d＋r＝＋＝2，点P到直线x＋y－2＝0的距离的最小值为d－r＝－＝，所以△ABP面积的最大值为|AB|·(d＋r)＝×2×2＝4，△ABP面积的最小值为|AB|·(d－r)＝×2×＝2，所以△ABP面积的取值范围是[2，4]. 【答案】　(1)D　(2)[2，4] 　与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 类型三 与圆有关的代数式的最值 　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的取值范围； (2)y－x的取值范围； (3)x2＋y2的取值范围． 【解】　(1)由圆的一般方程可得圆心为(2，0)，半径r＝×＝，因为02＋02－4×0＋1＝1>0，所以原点在圆x2＋y2－4x＋1＝0外，设＝k，则kx－y＝0(x≠0)与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，所以圆心(2，0)到kx－y＝0(x≠0)的距离d＝≤，解得－≤k≤，即的取值范围是[－，]. (2)设y－x＝m，则直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，所以圆心(2，0)到x－y＋m＝0的距离d＝≤，解得－－2≤m≤－2，即y－x的取值范围是[－－2，－2]. (3)由(1)知，原点在圆x2＋y2－4x＋1＝0外，则可设x2＋y2＝r2(r>0)，则圆x2＋y2＝r2(r>0)与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，因为两圆圆心距d＝＝2，所以|r－|≤2≤r＋，解得2－≤r≤2＋，所以7－4≤r2≤7＋4，即x2＋y2的取值范围是[7－4，7＋4]. 　常见的求代数式最值的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解． 【尝试训练】 1．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ 解析：选CD．由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示圆上的点(x，y)与点P(1，0)连线的斜率．设过点P(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，当直线kx－y－k＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，由＝1，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－，故C，D正确． 2．(2024·广西钦州期中)已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝4，则的取值范围是________． 解析：因为＝，又实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝4，所以点A(x，y)在以C(－2，3)为圆心，2为半径的圆上，又(x－2)2＋y2表示圆上的点A(x，y)与定点B(2，0)的距离的平方，且|BC|＝＝5，所以|BC|－r≤|AB|≤|BC|＋r，即3≤|AB|≤7，所以9≤(x－2)2＋y2≤49，所以5≤(x－2)2＋y2－4≤45，所以≤≤3，即∈[，3]. 答案：[，3] 3．若圆C：x2＋y2－10x＋24y＋88＝0关于直线ax＋by＋26＝0对称，则过点(a，b)作圆C的切线，切线长的最小值是________． 解析：将圆C的方程化成标准方程为(x－5)2＋(y＋12)2＝81，圆心为C(5，－12)，半径为9，因为圆C关于直线ax＋by＋26＝0对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，有5a－12b＋26＝0，即点(a，b)在直线l：5x－12y＋26＝0上，设D(a，b)，过点D作圆C的切线，切点为E，则|DE|＝＝，要使得切线|DE|长最短，则只需|CD|最短，|CD|的最小值为点C到直线l：5x－12y＋26＝0的距离，此时|CD|＝＝15，所以|DE|＝＝12，即切线长的最小值是12. 答案：12 4．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如图， 连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P坐标为(x，－2－x).圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为C(1，1)，半径r＝1.由题意得S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|PA|×|AC|＝|PA|.因为|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|PA|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9，所以当x＝－时，|PC|＝9.所以|PA|min＝＝2，即四边形PACB面积的最小值为2. (2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则消去y，整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.故这样的点P不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $