第1章 直线与圆 章末综合检测(一)-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．两条直线l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，则a的值是(　　) A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 解析：选C．由题意得，a(a＋1)＋(1＋a)(3－2a)＝0，解得a＝－1或 a＝3.故选C． 2．若圆x2＋y2－4x＋8y＋2m＝0的半径为2，则实数m的值为(　　) A．－9 B．－8 C．9 D．8 解析：选D．由题得(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2m，所以r＝＝2，解得m＝8.故选D． 3．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率k的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－1] 解析：选D．当倾斜角为45°时，斜率为1，当倾斜角为135°时，斜率为－1， 当倾斜角为90°时，斜率不存在，如图，因为k＝tan α在[0，)上单调递增，在(，π)上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是[1，＋∞)∪(－∞，－1].故选D． 4．若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y－1)2＝1恰有3条公切线，则a＝(　　) A．±2 B．±3 C．±2 D．±1 解析：选A．因为C1与C2恰有3条公切线，所以C1与C2外切，由题知C1(0，0)，C2(a，1)且半径分别为2，1，则a2＋1＝(2＋1)2，解得a＝±2.故选A． 5．过点P(1，1)的直线与圆x2＋y2＝4相交，若截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为(　　) A．y－1＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 解析：选B．因为12＋12＝2<4，因此点P(1，1)在圆内，那么满足题意的直线与过P点的直径垂直，圆心为O(0，0)，kOP＝1，因此所求直线的斜率k＝－1，直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选B． 6．已知圆C1：(x－a)2＋y2＝1，圆C2：(x－a－1)2＋(y－b)2＝4，其中a，b∈R，那么这两个圆的位置关系不可能为(　　) A．外离 B．外切 C．内含 D．内切 解析：选C．因为圆C1的圆心C1(a，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(a＋1，b)，半径r2＝2，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，又因为a，b∈R，所以b2≥0⇒≥1，所以|C1C2|≥1，即|C1C2|≥r2－r1，故两圆的位置关系不可能为内含．故选C． 7．已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．x＋2y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：选B．由点A(1，2)在l1：ax＋by＋1＝0上可知，a＋2b＋1＝0，同理可得c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0，由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为x＋2y＋1＝0.故选B． 8．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(－2，0)射出，经y轴反射后的光线所在的直线与圆x2＋y2－2x－2y＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－1 B．－1或1 C．1 D．2 解析：选C．易知(－2，0)关于y轴的对称点为(2，0)，由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过(2，0)且与该圆相切，将圆x2＋y2－2x－2y＝0变形后可得(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圆心(1，1)，易知(2，0)在该圆上，所以(2，0)即为切点，因此圆心与切点的连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为k，即×k＝－1，解得k＝1.故选C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－)2＋(y－)2＝22 D．(x－)2＋(y－1)2＝ 解析：选AB．对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；对于C，四个点都不在圆(x－)2＋(y－)2＝22上，故C错误；对于D，四个点都不在圆(x－)2＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB． 10．已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．直线l恒过定点(0，1) B．当m＝0时，直线l的斜率不存在 C．当m＝1时，直线l的倾斜角为 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 解析：选CD．直线l：mx＋y＋1＝0，当x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，故A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，故C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，而kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，故D正确．故选CD． 11．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，A(3，1)，点P为圆C上一动点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是(　　) A．|AP|的最大值为＋1 B．|OP|＋|PA|的最小值为2 C．直线AP斜率的取值范围为[0，] D．以线段AC为直径的圆与圆C的公共弦的方程为y＝－2x＋ 解析：选AC．圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心C(1，0)，半径r＝1，又A(3，1)，所以|AC|＝＝>r，即点A在圆外，所以|AP|max＝|AC|＋1＝＋1，故A正确；|OP|＋|PA|≥|OA|＝，当且仅当P为线段OA与圆C的交点时取等号，故B错误；设直线AP：y＝k(x－3)＋1，根据题意可 得点C到直线AP的距离d＝≤1，解得0≤k≤，故C正确；设AC的中点为D，则D(2，)，又|DC|＝＝，所以以AC为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝，显然圆D与圆C相交，两圆方程相减得公共弦方程为y＝－2x＋3，故D错误．故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线l与直线2x－y－5＝0的倾斜角相等，且直线l过点A(3，2)，则直线l的方程为________________． 解析：由直线l与直线2x－y－5＝0的倾斜角相等，可得直线l的斜率为2，又直线l过点A(3，2)，则直线l的方程为y－2＝2(x－3)，即2x－y－4＝0. 答案：2x－y－4＝0 13．已知圆C经过A(1，3)，B(－1，1)两点，且圆心在直线y＝x上，直线l经过点(2，－2)，且l与圆C相交所得弦长为2，则直线l的方程为____________． 解析：设圆C的圆心坐标为(a，a)，依题意，有＝，解得a＝1，所以r＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.设圆C的圆心(1，1)到直线l的距离为d，则d2＋()2＝22，解得d＝1.①若直线l的斜率不存在，则d＝1，符合题意，此时直线的方程为x－2＝0；②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋2＝k(x－2)，即kx－y－2k－2＝0，则＝1，解得k＝－.此时直线l的方程为4x＋3y－2＝0. 答案：x－2＝0或4x＋3y－2＝0 14．已知点P是直线2x＋y＋6＝0上的动点，过点P作圆x2＋y2＝4的切线，分别相切于A，B两点，则|PA|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为________． 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为坐标原点O，如图所示．由圆的几何性质可知，OA⊥PA，由勾股定理可知，|PA|＝＝，且当OP与直线2x＋y＋6＝0垂直时，|OP|取最小值，则|OP|min＝＝，所以|PA|min＝＝＝，由切线长定理可得|PA|＝|PB|，又因为|OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以△POA≌△POB，所以S四边形PAOB＝2S△POA＝|OA|·|PA|≥2×＝，故四边形PAOB面积的最小值为. 答案：　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知直线l在y轴的截距为4，且过点A(－3，8). (1)求直线l的方程； (2)已知点M(－2，5)，直线a过点M且与l平行，求直线a与直线l间的距离． 解：(1)根据题意，直线l过点(0，4)，则直线l的斜率k′＝＝－，则直线l的方程为4x＋3y－12＝0. (2)因为直线a过点M(－2，5)，又直线l的斜率为－，则直线a的斜率为－，则直线a方程为y－5＝－(x＋2)，变形可得4x＋3y－7＝0，则直线a与直线l间的距离d＝＝1，即直线a与直线l间的距离为1. 16．(本小题满分15分)已知直线l经过点P(1，0)，圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0. (1)若圆C关于直线l对称，求直线l的方程； (2)若直线l平行于直线3x＋y－1＝0，求直线l关于点M(3，2)的对称直线l′的方程． 解：(1)由x2＋y2＋2x－6y＋6＝0⇒(x＋1)2＋(y－3)2＝4可得圆C的圆心C(－1，3)，半径r＝2，因为圆C关于直线l对称，所以直线l过圆心C(－1，3)，又直线l过点P(1，0)，所以直线l的斜率k＝＝－，由点斜式方程可得y－0＝－(x－1)，即3x＋2y－3＝0.故直线l的方程为3x＋2y－3＝0. (2)由题意知，直线l斜率k＝－3，则由点斜式方程可得y－0＝－3(x－1)，即3x＋y－3＝0，因为直线l与直线l′关于点M(3，2)对称，所以kl′＝k＝－3，又因为点P(1，0)关于点M(3，2)对称的点为P′(5，4)，直线l′过点P′，则由点斜式方程可得y－4＝－3(x－5)，即3x＋y－19＝0.故直线l′的方程为3x＋y－19＝0. 17．(本小题满分15分)如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)且斜率为k的直线l与圆A相交于M，N两点，点Q是MN的中点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝＝2，所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，连接AQ，AM，如图所示，则AQ⊥MN，因为|MN|＝2，|AM|＝2，所以|AQ|＝＝1，则由|AQ|＝＝1，得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 18．(本小题满分17分)已知直线l：y＝kx，圆C：x2－12x＋y2－4y＋20＝0. (1)若直线l与圆C相离，求k的取值范围； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，是否存在过点D(3，3)的直线l′垂直平分弦AB？若存在，求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)圆C：x2－12x＋y2－4y＋20＝0的标准方程为(x－6)2＋(y－2)2＝20.其圆心为C(6，2)，半径为2.直线l：y＝kx的一般方程为kx－y＝0.因为直线l与圆C相离，所以圆心C(6，2)到直线l：kx－y＝0的距离d＝>2，化简得2k2－3k－2>0，解得k<－或k>2.所以k的取值范围为(－∞，－)∪(2，＋∞). (2)若存在过点D(3，3)的直线l′垂直平分弦AB，则直线l′必过圆心C(6，2)，所以直线l′的斜率，即直线CD的斜率kCD＝＝－，因为直线l′垂直于弦AB，所以弦AB所在直线，即直线l的斜率k＝3，由(1)知，当k＝3时，直线l与圆C相离，与题设矛盾．故不存在过点D(3，3)的直线l′垂直平分弦AB. 19．(本小题满分17分)已知圆C过A(1，－)，B(6，2)，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点D(2，10)，且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON分别与直线x＝8相交于点P，Q，记△OMN，△OPQ面积为S1，S2，求的最大值． 解：(1)由圆心C在x轴上，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0)，又由圆C过A(1，－)，B(6，2)得解得所以圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝16. (2)因为直线l被圆C截得的弦长为4，所以圆心C到直线l的距离为＝2，①若直线l斜率不存在，l：x＝2，直线l与圆C交点为(2，±2)，直线l被圆C截得的弦长为4，故直线x＝2符合题意；②若直线l斜率存在，设l：y－10＝k(x－2)，整理得kx－y＋10－2k＝0，所以圆心C到直线l的距离为＝2，解得k＝－，则直线l：y－10＝－(x－2)，即直线l：12x＋5y－74＝0.综上所述，直线l的方程为x＝2或12x＋5y－74＝0. (3)由题意知，∠MON＝，设直线OM的斜率为k(k≠0)，则直线OM的方程为y＝kx，由得(1＋k2)x2－8x＝0，解得或则点M的坐标为(，), 又直线ON的斜率为－，同理可得点N的坐标为(，－)由题可知P(8，8k)，Q(8，－)，故＝·，又因为＝＝＝，同理＝， 所以＝＝≤＝，当且仅当|k|＝1时，等号成立．所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $