培优课 直线与圆的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦直线与圆的综合问题，系统梳理位置关系判断（代数法、几何法）、范围与最值（斜率、距离、线性表达式）及实际应用（航海、拱桥）等核心知识点，构建从基础理论到综合应用的递进学习支架。 资料通过一题多解（如位置关系的几何与代数法）、通性通法总结（提炼解题策略），结合海岛暗礁等实际案例，培养学生数学抽象、数学运算和数学建模能力。课中助力教师系统教学，课后练习题与方法总结帮助学生查漏补缺。

培优课　直线与圆的综合问题 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题（数学抽象、数学运算）. 2.在平面直角坐标系中，探索直线与圆的方程的实际应用（数学抽象）. 3.能用直线与圆的方程解决实际问题，体会坐标法在解题中的应用（数学建模）. 题型一　直线与圆的位置关系的判断及应用 〔一题多解〕已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当实数b为何值时，直线与圆： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：法一　圆心O（0，0）到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，圆的半径r＝. （1）当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 法二　由方程组消去y，得2x2＋2bx＋b2－2＝0， Δ＝4b2－8（b2－2）＝－4b2＋16. （1）当Δ＞0，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当Δ＝0，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 通性通法 1.判断点、直线与圆的位置关系的一般思路 （1）代数法：将点的坐标代入圆的方程，根据运算结果确定点与圆的位置关系；将直线方程与圆的方程联立组成二元二次方程组，消元后将其变为只含一个未知数的一元二次方程，用判别式判断方程解的个数，从而确定直线与圆的位置关系； （2）几何法：用圆心与已知点或已知直线间的距离与半径大小的关系确定点或直线与圆的位置关系. 2.利用直线与圆的位置关系的三种不同的几何特征，可以确定参数或参数的取值范围，也可数形结合求圆（直线）的方程以及有关最值问题. 1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　） A.±2 B.± C.± D.±3 解析：C　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C. 2.曲线y＝1＋与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是　　. 解析：直线l过点A（2，4），又曲线y＝1＋的图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝.当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 题型二　范围与最值问题 已知点P（x，y）在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； （3）求x＋y的最大值与最小值. 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为（x－3）2＋（y－3）2＝4. （1）表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①，显然PO（O为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小.设切线方程为y＝kx（由题意知，斜率一定存在），即kx－y＝0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. （2）x2＋y2＋2x＋3＝（x＋1）2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E（－1，0）的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值.如图②，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为｜CE｜＋2，点P与点E距离的最小值为｜CE｜－2.又｜CE｜＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为（5＋2）2＋2＝51，最小值为（5－2）2＋2＝11. （3）设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③，显然当动直线y＝－x＋b与圆（x－3）2＋（y－3）2＝4相切时，b取得最大值或最小值.此时圆心C（3，3）到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即｜b－6｜＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 通性通法 　　若P（x，y）是定圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上的一动点，则mx＋ny和的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法. （1）几何法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，圆心C（a，b）到直线mx＋ny＝t的距离d＝，由d＝r即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值；②的最值：即点P与原点连线所在直线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值. （2）代数法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值；②的最值：设t＝，则y＝tx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值. 1.直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（　　） A.1 B. C. D. 解析：B　设圆心到直线的距离为d（0＜d＜1），则｜AB｜＝2，所以S△ABO＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立. 2.已知实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为　　和　　. 解析：由题意，得表示过点A（0，－1）和圆（x－2）2＋（y－1）2＝1上的动点（x，y）的直线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝. 题型三　直线与圆的方程的实际应用 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：（1）由题意，得A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. （2）该船初始位置为点D， 则D（－20，－20）， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由（1）得圆C的圆心为C（10，30），半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10， 故该船有触礁的危险. 通性通法 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 　如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　2　m. 解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋（y＋r）2＝r2（r＞0），水面所在弦的端点为A，B，则A（6，－2）.将A（6，－2）代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'（x0，－3）（x0＞0），将A'（x0，－3）代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2（m）. 1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（　　） A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 解析：B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米. 2.若P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A.2x－y－5＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x＋y－1＝0 D.x－y－3＝0 解析：D　圆心C（1，0），kPC＝＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D. 3.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（　　） A.3－ B.3＋ C.3－ D. 解析：A　因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin＝×2×（－1）＝3－. 4.〔一题多解〕过坐标原点O作圆（x－3）2＋（y－4）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　法一 圆（x－3）2＋（y－4）2＝1的圆心为M（3，4），半径r＝1.如图所示，连接OM，AM，BM，则｜OM｜＝5，｜AM｜＝1，｜OA｜＝＝2，所以S△AOM＝×｜OA｜×｜AM｜＝×｜OM｜×，即×2×1＝×5×，所以｜AB｜＝. 法二 易得直线AB的方程为（0－3）（x－3）＋（0－4）（y－4）＝1，即3x＋4y－24＝0.圆心（3，4）到直线AB的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝. 5.〔多选〕从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（　　） A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0 B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0 C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过最短路程是5－1 D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是［－，1］ 解析：BCD　点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知＝1，解得k＝或k＝.所以反射光线方程为y＋3＝（x＋3）或y＋3＝（x＋3），即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；过A'（－3，－3），C（2，2）的直线方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝＝5，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－，0），所以被挡住的范围是［－，1］，故D正确. 6.〔多选〕已知直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，则（　　） A.直线l恒过定点（1，3） B.直线l与圆C相交 C.圆C被x轴截得的弦长为3 D.当圆C被直线l截得的弦最短时，m＝ 解析：BD　依题意，直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0可化为（－2x－y＋7）m＋x＋y－4＝0，由解得即直线l过定点P（3，1），A不正确；圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25的圆心C（1，2），半径r＝5，｜PC｜＝＝＜r，即点P在圆C内，直线l与圆C恒相交，B正确；圆心C到x轴的距离d＝2，则圆C被x轴截得的弦长为2＝2＝2，C不正确；由于直线l过定点P（3，1），圆心C（1，2），则直线PC的斜率k＝＝－，当圆C被直线l截得的弦最短时，由圆的性质知，l⊥PC，于是得＝2，解得m＝，D正确.故选B、D. 7.由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程是　x2＋y2＝4　. 解析：设动点P的坐标为（x，y），依题意有｜PO｜＝＝＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4. 8.（2026·常州月考）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·｜PB｜的最大值是　5　. 解析：由条件，得A（0，0），B（1，3）.由x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0消去m，得动点P的轨迹方程为（x－）2＋（y－）2＝，易知OB为圆的一条直径，由图可知，PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以｜PA｜·｜PB｜≤＝5. 9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）. （1）求｜MQ｜的最大值和最小值； （2）若M（m，n），求的最大值和最小值. 解：（1）由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得（x－2）2＋（y－7）2＝8， ∴圆心C的坐标为（2，7），半径r＝2， 又｜QC｜＝＝4， ∴｜MQ｜max＝4＋2＝6， ｜MQ｜min＝4－2＝2. （2）由题可知表示直线MQ的斜率. 设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2）， 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k. 由直线MQ与圆C有交点，得≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 10.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，∠MON＝，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在直线的距离为10 km. （1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离； （2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？ 解：（1）如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝10 km. 在Rt△AEO中，sin∠EAO＝＝，所以cos∠EAO＝， 在Rt△ABO中，AB＝＝＝20（km）， 即A，B两出入口间的距离为20 km. （2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x＋30）2＋y2＝25. 设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0）.则｜OA｜＝，且需＝10，＞5，解得t＜20k或t＞60k. 因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意， 所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20. 所以出入口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $