1.2.1 平方差公式 课件 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 1.2.1平方差公式 （湘教版）七年级 下 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 Contents 目录 01 教学目标 01 02 理解并掌握平方差公式的推导和应用. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 02 新知导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。 你认为老张吃亏了吗？ 03 新知讲解 说一说 多项式 x+y 与 x-y 相乘，其积为多少？ ( x+y )( x-y )=x2-xy+yx-y2= . x2-y2 由此可得到平方差公式： (x + y)(x − y) = x2 − y2. 即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x2-y2. 03 新知讲解 归 纳 (x + y)(x − y) = x2 − y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 − y2， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2. 平方差公式： 03 新知讲解 平方差公式的特征: 两个数的和 这两个数的差 这两数的平方差 相同 相反数 平方差 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数. 2.右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） 3.公式中的a，b既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. (x+y)(x-y)=x2-y2. 03 新知讲解 口答下列各题： (l)(–a+b)(a+b)=_________. (2)(a–b)(b+a)= __________. (3)(–a–b)(–a+b)= ________. (4)(a–b)(–a–b)= _________. a2–b2 a2–b2 b2–a2 b2–a2 做一做 03 新知讲解 设a，b都是正数，且a>b.将平方差公式中的x用a代入，y用b代入，可得( a+b )( a-b )= a2-b2. 如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 . a b （1） a b a-b （2） 由此可得( a+b )( a-b )=a2-b2. 该式的几何背景是： 将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图（2）所示的长方形.则这个长方形的长为 ，宽为 ，于是，面积为 . a+b a-b ( a+b )( a-b ) a2-b2 03 新知讲解 例1 计算：（1）( 2x+1 )( 2x-1 )； （2）( x+2y )( x-2y ). 分析 （1）（2）中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. 解:（1）将平方差公式中的x用2x代替，y用1代替，可得 ( x + 2y )( x - 2y )=x2 - ( 2y )2=x2-4y2. ( 2x + 1 )( 2x - 1 ) =( 2x )2 - 12 =4x2-1. （2）将平方差公式中的y用2y代替，可得 与不用平方差公式相比，哪种方法更简便？ 03 新知讲解 例2 运用平方差公式计算：. 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝＝. 03 新知讲解 例3 运用平方差公式计算：( 4a+b )( -b+4a ). 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式． 03 新知讲解 例4 计算：1002×998. 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 注意：运用平方差公式可以简化一些运算. 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22 = 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 03 新知讲解 平方差公式的变形举例 变化形式 举例 ①位置变化 ②符号变化 ③系数变化 ④指数变化 ⑤增项变化 ⑥连用公式 (a + b)(–b + a) = a2 – b2 b2 – a2 4a2 – b2 a4 – b4 (a + c)2 – b2 (–a – b)(a – b) = (2a + b)(2a – b) = (a2 + b2)(a2 – b2) = (a + b + c)(a – b + c) = a4 – b4 (a + b)(a – b)(a2 + b2) = 拓 展 04 课堂练习 基础题 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y) C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y) C 2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 A 3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 10 04 课堂练习 基础题 4.利用平方差公式计算： (1)(2x-5)(2x＋5)； (2)(-3a-b)(b-3a)；(3)(-6m＋8n)(-8n-6m)． 解：(1)原式=(2x)2-52＝4x2-25； (2)原式=(-3a)2-b2＝9a2-b2； (3)原式=(-6m)2-(8n)2＝36m2-64n2. 04 课堂练习 基础题 5.利用平方差公式计算： 解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12 ＝2500－1＝2499. (1) 51×49； (2) 13.2×12.8； (2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96. 04 课堂练习 提升题 1. 若，则 等于( ) B A. B. C. 6 D. 8 2. 若，则 的值为( ) B A. 4 B. 8 C. D. 04 课堂练习 拓展题 已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3， (1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4 (1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1–xn+1 –63 2n＋1–2　 x100–1　 05 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(x+ y)(x－y) = x2－y2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 06 板书设计 1.2.1平方差公式 平方差公式: (a + b)(a－b) = a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. $