3.2 离散型随机变量的方差-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差及标准差，从概念引入出发，通过对比样本方差、设置思考问题建立与均值的联系，再结合计算步骤、性质及实际应用，构建层层递进的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于以投篮游戏、成绩分析等实际情境为例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过规范的分布列构建与方差计算步骤培养数学思维，借助符号语言表达增强数学语言应用能力。易错点辨析和课堂小结助力学生巩固，教师可利用实例提升教学效率，学生能在解决问题中深化理解。

3.2　离散型随机变量的方差 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．　3.掌握方差的性质以及求法，会利用公式求方差． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　离散型随机变量的方差 1．方差 　　若离散型随机变量X的分布列如表：     则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝ _______________＝_________________为这些偏离程度的加权平均，刻画 随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn E（X－EX）2 新知学习 探究 返回导航 2．标准差 　　DX的算术平方根________为随机变量X的标准差，记作σX. 新知学习 探究 返回导航 思考1　随机变量的方差与样本方差有什么关系？ 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差． 新知学习 探究 返回导航 思考2　随机变量的方差、标准差有什么作用？ 提示：(1)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定和波动、集中与离散程度． (2)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛． (3)DX越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值及方差． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求离散型随机变量的方差的步骤 (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的均值EX； (5)代入公式DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn求出方差DX. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 角度2　方差的实际应用 　　　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示： 甲    乙    试分析两名学生的成绩水平． X 80 90 100 P 0.2 0.6 0.2 Y 80 90 100 P 0.4 0.2 0.4 新知学习 探究 返回导航 【解】　甲同学成绩的均值与方差分别为 EX＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， DX＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40. 乙同学成绩的均值与方差分别为 EY＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， DY＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.因为EX＝EY，DX<DY，所以两名学生的成绩水平一样，但甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大． 新知学习 探究 返回导航 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； 新知学习 探究 返回导航 解：依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 又由题意知，乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 新知学习 探究 返回导航 (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术，并从中选拔一人． 解：由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于Eξ>Eη，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为Dξ<Dη，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． 新知学习 探究 返回导航 二　方差的性质 设a，b为常数， 则D(aX＋b)＝________. a2DX 新知学习 探究 返回导航 　　　已知随机变量X的分布列为     求EX，DX，D(－2X－3). 【解】　因为0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.3.所以EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.D(－2X－3)＝4DX＝6.24. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 a 0.2 0.1 新知学习 探究 返回导航 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 　　求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [典例展示]　已知随机变量X满足DX＝2，则D(3X＋2)＝(　　) A．6 B．8 C．18 D．20 [错解展示]　因为D(3X＋2)＝3DX＝6.故选A． 正解：由方差的性质得D(3X＋2)＝9DX＝18. 易错点 用错方差公式或性质致错 √ 新知学习 探究 返回导航 [易错警示]　由于公式记忆不准确，易将方差性质记成D(aξ＋b)＝aDξ，而得到错误的答案． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．甲、乙两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数ξ，η的分布列分别如下表所示： ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 课堂巩固 自测 返回导航 试评定两个保护区的管理水平． 解：甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为Eξ＝Eη，Dξ>Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：离散型随机变量的方差及标准差的概念，计算公式及简单应用． 2．须贯通：准确记忆方差公式，利用公式计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．应注意：(1)准确记忆方差公式和标准差公式； (2)准确记忆方差的性质以及求法，会利用公式求方差． 课堂巩固 自测 返回导航 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＝， Dξ＝×＋×＋×＝. (2)(2024·辽宁锦州期末)随机变量X的分布列是 X －1 1 2 P a b 若E＝2，则DX＝(　　) A．1 B．4 C． D． 1．已知随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝(　　) ξ 0 1 x P p A．0.36 B．0.52 C．0.49 D．0.68 3．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若EX＝0，DX＝1，则a－b＝________． X －1 0 1 2 P a b c $