6.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差及标准差，通过灯泡寿命实例（A、B两种灯泡期望相同但偏离程度不同）导入，衔接已学的均值知识，搭建从“平均水平”到“波动程度”的认知支架，引导学生理解方差的必要性。 其亮点在于融合多位数学家背景增强趣味性，通过“问题情境—概念抽象—公式推导—实例应用”教学链，培养数学眼光（抽象问题本质）、数学思维（逻辑推理推导性质）和数学语言（用方差描述数据波动）。典例涵盖性质应用与射击选拔等实际问题，助力学生掌握计算与分析能力，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 概率 第3节 离散型随机变量的均值与方差 3.2离散型随机变量的方差 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2、能计算简单离散型随机变量的方差及标准差 1、能计算简单离散型随机变量的方差及标准差 1、理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、设离散型随机变量X的分布列如下表： X x1 x2 … xi … xn P（X=xi) p1 p2 … pi … pn 则称 EX=__________________________________ 为随机变量X的________或______________（简称________）. x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 均值 数学期望 期望 2、均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的________________. 平均水平 3 新 知 引 入 伯努利 仅由均值（期望）这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏. 还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度. 若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定； 若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 设有A,B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X,Y（单位:h）. 已知X,Y的分布列如表1、表2： X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P EX=___________ EY=___________ 1000 1000 怎样判断偏离程度的大小呢？ 4 学 习 新 知 贝叶斯 设离散型随机变量X 的概率分布为下表，其方差记为EX: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn xi-EX描述了随机变量的每个取值相对于均值EX的偏离程度，它的值可能是正数，也可能是负数，当我们计算总的偏离程度时，需要把这些xi-EX相加，但会出现相互抵消的情况，从而不能恰当的反映总的偏离程度，为了避免出现这种情况，我们引入Y ， 设Y=(X-EX)2,则Y为一个新的随机变量，它的分布列为： X x1 x2 … xi … xn X-EX … … Y=(X-EX)2 … … P … … x1-EX x2-EX xi-EX xn-EX (x2-EX)2 (xn-EX)2 (xi-EX)2 (x1-EX)2 p1 p2 pi pn 5 学 习 新 知 佩雷尔曼 则EY=______________________________________________________ =____________________ E(X-EX)2=(x1-EX)2p1+(x2-EX)2p2+…+(xn-EX)2pn X x1 x2 … xi … xn X-EX … … Y=(X-EX)2 … … P … … x1-EX x2-EX xi-EX xn-EX (x2-EX)2 (xn-EX)2 (xi-EX)2 (x1-EX)2 p1 p2 pi pn 6 学 习 新 知 拉格朗日 方差 标准差 DX=E(X-EX)2= 称为随机变量X的方差； 其算数平方根称为随机变量X的标准差，记作：σX 随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度. 方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位 7 学 习 新 知 皮 亚 诺 设有A,B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X,Y（单位:h）. 已知X,Y的分布列如表1、表2： EX=___________ EY=___________ 1000 1000 X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P A类型灯泡寿命X的方差为 DX=E(X-EX)2=(-50)2× +02× +502× = 标准差为σX= B类型灯泡寿命Y的方差为 DY=E(Y-EY)2=(-300)2× + 02× +3002× =30000 标准差为σX=100 显然，A类型灯泡的方差要小，质量要好. 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 随机变量X服从参数为p的两点分布. 0 1 EX =p 则DX=__________________________________ 当X服从参数为p的两点分布时，其方差DX=(1-p)p. 随机变量X服从右表的分布(C为常数） C EX =C, 则DX=_____________________________ 若X为常数C,则DX=0 (C-EX)2×1=(C-C)2=0 (p-0)2(1-p)+(p-1)2p=p(1-p) 9 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 X x1 x2 … xi … xn X+b … … P … … X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn x1+b 随机变量X的分布列如下，它的期望为EX，方差为DX. X+b也是随机变量，它的分布列如下： x2+b xi+b xn+b 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)= D(X) p1 p2 pi pn 10 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 随机变量X的分布列如下，它的期望为EX，方差为DX. aX也是随机变量，它的期望为E(aX)=aEX，它的分布列如下： X x1 x2 … xi … xn aX … … P … … ax1 ax2 axi axn p1 p2 pi pn D(aX) D(aX)=a2DX =E(aX-E(aX))2 = E(aX-aEX)2 = E(a2(X-EX)2) = a2E(X-EX)2 = a2DX 11 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤： (1) (2) (3) (4) 理解X的意义，写出X可能取的全部值; 求X取各个值的概率，写出分布列； 根据分布列，由期望的定义求出 E(X )； 根据方差、标准差的定义求出DX、σX 12 学 习 新 知 拉格朗日 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤： （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． （2）在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． （3）下结论.依据均值与方差的几何意义做出结论． 13 典 例 引 路 丘成桐 例1、已知X的分布列为: 求DX. -1 0 1 0.5 0.3 0.2 解：EX=.3 DX = =0.61 14 同 步 练 习 陈景润 练1、已知随机变量X的分布列如下 X 0 1 2 P p 0.6 q 若EX=1.2,则DX=____________ 解：由EX=1.2，得0×p+1×0.6+2×(1-0.6-p)=1.2 解得p=0.1 依题意得 DX=0.1×(0-1.2)2+0.6×(1-1.2)2+0.3×(2-1.2)2=0.36 15 典 例 引 路 牛 顿 例2、若x1，x2，…，x8的方差为 ，则3x1-2，3x2-2，…， 3x8-2的方差为___________________ . 解：依题意，x1，x2，…，x8的方差为DX= 那么3x1-2，3x2-2，…， 3x8-2的方差为 D(3X-2)= 9DX = 9× = 12 16 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练2、已知离散型随机变量X的方差为64，则D(X+2)=_______ 解:由题知DX=64，根据离散型随机变量的方差的性质可知 D(X+2)=（）2DX= ×64 =4 17 典 例 引 路 柯 西 例3、若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为4，则数据2x1-1, 2x2-1，…，2x10-1的标准差为           . 解:由题设，DX=42=16,故D(2X-1)= 4DX =64， 所以新数据的标准差为8. 18 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、知随机变量ξ，D(ξ)＝，，则ξ的标准差为_________． 解:依题意得标准差为 = 19 典 例 引 路 傅里叶 例4、随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为X. （1）求X的分布列； （2）求EX和DX. 解:（1）由题意，X的可能取值为{1,2,3,4,5,6}且各点面的概率均为, ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P (2)EX=(1+2+3+4+5+6)=3.5 DX=×[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2] = 20 同 步 练 习 洛必达 练4、编号为1,2,3的三位学生随机入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ. （1）求随机变量ξ的分布列； （2）求随机变量ξ的数学期望和方差. 解：（1）随机变量ξ的取值为0，1，3， P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= = , P(ξ=3)= = 所以分布列为： ξ 0 1 3 P （2）Eξ=1× + 2× = 1 Dξ=(1-0)2× + (1-1)2× + (3-1)2× = 1 21 典 例 引 路 华罗庚 例5、甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示 甲、乙两人所加工出的次品件数，且E和η的分布列分别如下： ξ 0 1 2 P η 0 1 2 P 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 解:因为Eξ=0× + 1× + 2× = 0.7 Eη=0× + 1× + 2× = 0.7 即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当. 又因为Dξ=(0-0.7)2× +(1-0.7)2× +(2-0.7)2× = 0.81 Dη=(0-0.7)2× + (1-0.7)2× +(2-0.7)2× = 0.61 所以Dξ>Dη ，说明工人乙的技术比较稳定. 22 同 步 练 习 罗巴切夫斯基 练5、为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X,Y的分布列； (2)求X,Y的数学期望与方差，以此比较甲，乙的射击技术并从中选拔一人。 解：（1）依题意，0.5+1，解得a=0.1 ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2 ∴乙射中7环的概率为1-0.2 X,Y的分布列分别为： 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 23 同 步 练 习 莱布尼兹 （2）由（1）可得 EX= EY= DX= DY= 由于EX＞EY,说明甲平均射中的环数比乙高. 又因为DX＜DY,说明甲射中的环数比乙集中，甲比乙更稳定． 所以甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． 24 全 课 总 结 一、离散型随机变量的方差及标准差的概念 二、求离散型随机变量的方差及标准差 25 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 26 $