第3章 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“点在空间直角坐标系中的坐标”核心知识点，从平面直角坐标系类比过渡，通过问题链引导学生回顾数轴（1个实数）、平面坐标系（有序实数对）确定点的位置，进而构建空间直角坐标系概念，系统讲解点的坐标表示（投影法）、特殊位置点坐标形式及对称问题（坐标轴、坐标平面、点对称）。 该资料以吴文俊先生“几何数量化”观点为导语，培养学生用数学眼光观察空间形式的意识。通过类比平面到空间的推理过程，发展数学思维中的推理能力，结合长方体、正四棱锥等模型例题，强化数学语言表达。课中问题引导促进主动探究，课后跟踪训练与课时对点练助力学生巩固知识，查漏补缺。

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 学习目标　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标. 导语 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算. 一、空间直角坐标系 问题1　在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数？ 提示　在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点的位置. 知识梳理 空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面. 注意点： (1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分. (2)将x轴和y轴放在水平面上. (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合. (4)建立的坐标系一般为右手系. 二、点在空间直角坐标系中的坐标 问题2　如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？ 提示　类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可. 知识梳理　空间中点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z). 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标. 注意点： 点的位置对应坐标的形式 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的 形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的 位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标的 形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 例1　(课本例1)　如图，在空间直角坐标系O－xyz中，已知长方体OABC－O'A'B'C'，|OA|＝3，|OC|＝4，|OO'|＝2，写出O'，A'，B'三点的坐标. 解　点O'在z轴上，且|OO'|＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O'的坐标为(0，0，2). 点A'在zOx平面内，则它的纵坐标为0，点A'在x轴、z轴上的投影依次为点A、点O'，又|OA|＝3，|OO'|＝2，所以点A'的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A'的坐标为(3，0，2). 点B'在x轴、y轴和z轴上的投影依次为点A、点C和点O'，所以点B'的坐标为(3，4，2). 例1　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为　　　　　　　　； ②棱C1C中点的坐标为　　　　； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　. 答案　①(0，0，0)，(0，1，1)　② ③ (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心O为原点，平行于BC，AB的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2). 答案不唯一. 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)某点坐标与建系的方式有关，建系不同，坐标不同. 跟踪训练1　建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标. 解　以BC的中点O为原点，BC所在直线为y轴，射线OA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知，|AO|＝， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)， B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)， B1(0，1，3)，C1(0，－1，3). (答案不唯一) 三、空间点的对称问题 例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标. 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4). (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 反思感悟　空间点的对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 跟踪训练2　已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　. 答案　(2，－3，1) 解析　点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)点在空间直角坐标系中的坐标. (3)空间点的对称问题. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求. 1.在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是(　　) A.(－1，3，－5) B.(1，3，5) C.(1，－3，5) D.(－1，－3，5) 答案　B 2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D. 答案　A 解析　点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值. 3.已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A'(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(　　) A.λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B.λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C.λ＝2，μ＝10，v＝8 D.λ＝2，μ＝10，v＝7 答案　D 解析　由两个点关于x轴对称，得这两个点的横坐标相同，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7. 4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为　　　　　　　　. 答案　(2，2，0)，(0，2，0)，(0，2，1)，(2，0，4) 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列空间直角坐标系中，是右手系的是(　　) 答案　AD 解析　按右手螺旋法则逐项验证，易得A，D选项满足. 2.在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为(　　) A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4) C.(1，2，－4) D.(1，2，4) 答案　A 解析　关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 3.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a，0，c) 答案　BCD 解析　在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0).故A错误，B，C，D正确. 4.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A.(3，5，4) B. C. D. 答案　C 解析　设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，由题图知，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 5.在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(－1，2，3)(　　) A.关于xOy平面对称 B.关于zOx平面对称 C.关于yOz平面对称 D.关于x轴对称 答案　C 解析　空间中的两个点(1，2，3)和(－1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称. 6.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A. B.3 C. D. 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为. 7.(5分)在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标是　　　　　　　　. 答案　(1，－1，－1) 解析　由空间点的坐标定义可知，点A的坐标是(1，－1，－1). 8.(5分)已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为　　　　. 答案　(1，1，1)或(－1，－1，－1) 解析　分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1，1，1).或过点(－1，0，0)，(0，－1，0)，(0，0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1). 9.(10分)建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 解　由题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D'(0，0，a)，A'(a，0，a)，B'(a，a，a)，C'(0，a，a)，∵E，F，G，H，I，J分别是棱C'D'，D'A'，A'A，AB，BC，CC'的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标分别为E，F，G，H，I，J. 10.(10分)在空间直角坐标系O－xyz中，作出点M(6，－2，4). 解　方法一　如图所示，从原点O出发沿x轴正方向平移6个单位长度得到点M1， 再将点M1沿y轴负方向平移2个单位长度得到点M2，然后将点M2沿z轴正方向平移4个单位长度即得点M. 方法二　如图，先在xOy平面内确定点M'(6，－2，0)的位置，因为点M在z轴上的坐标为4， 所以|MM'|＝4，且MM'平行于z轴，点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点M的位置. 方法三　如图，以原点O为一个顶点，构造三条棱长分别为6，2，4的长方体，使此长方体交于点O的棱长分别为6，2，4的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴和z轴正半轴上，则长方体上与顶点O相对的顶点为所求的点M. 11.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴对称的点在zOx平面上的投影的坐标为(　　) A.(4，0，6) B.(－4，7，－6) C.(－4，0，－6) D.(－4，7，0) 答案　C 解析　点M的坐标是(4，7，6)， 点M关于y轴对称的点为M'(－4，7，－6)， 点M'在zOx平面上的投影的坐标为(－4，0，－6). 12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确； B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)， 故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误； 在长方体中，|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确. 13.(5分)如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点P在BD'上，|BP|＝|BD'|，则P点的坐标为　　　　. 答案　 解析　连接BD(图略)，点P(x，y，z)在xDy平面内的射影在BD上，∵|BP|＝|BD'|，∴x＝y＝，z＝，∴P. 14.(5分)如图所示，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点D在yOz平面内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为　　　　　　　　　. 答案　 解析　如图所示，过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，所以|DE|＝|CD|·sin 30°＝， 所以|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|·cos 60°＝1－， 所以点D的坐标为. 15.(5分)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B的坐标为　　　　　　　，点A的坐标为　　　　　　　. 答案　　 解析　设CD交y轴于点E，由题意可知，|BG|＝|BE|＝×， |AG|＝， 则B，A. 16.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，点E在xDy平面内，且DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标. 解　由题意知D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)， 设点E的坐标为(x，y，0)， 在xDy平面内，直线AC的方程为＝1， 即2x＋y－4＝0， ∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0. 由得∴E. 学科网（北京）股份有限公司 $