2.1 双曲线及其标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦双曲线，系统涵盖定义、标准方程及应用。通过“思考”问题辨析定义中绝对值、常数范围等关键条件，结合例题与跟踪训练，搭建从定义到方程推导再到实际应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光引导学生观察定义条件变化，通过分类讨论培养推理意识，如“思考2”分析常数与焦距关系。结合焦点三角形面积计算、隧道运土等实例，用数学语言构建模型，提升学生运算能力与应用意识，助力教师高效教学，促进学生核心素养发展。

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.掌握双曲线的定义及其标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．　2.通过对双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．　3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　双曲线的定义 1．文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于________(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．集合语言：M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． 常数 新知学习 探究 返回导航 思考1　若去掉双曲线定义中的“绝对值”，结果如何？ 提示：若将绝对值去掉，其余条件不变，则此时动点的轨迹是双曲线的一支． 思考2　把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，将“等于非零常数”改为“等于零”，结果如何？ 提示：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹不存在．(2)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 新知学习 探究 返回导航 　　　(1)已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或a＝5时，点P的轨迹分别为(　　) A．双曲线，一条直线 B．双曲线，两条直线 C．双曲线的一支，一条直线 D．双曲线的一支，一条射线 【解析】　当a＝3时，2a＝6，|AB|＝10，所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，|AB|＝10，所以点P的轨迹为射线，且是以B为端点沿y轴正方向的一条射线． √ 新知学习 探究 返回导航 (2)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(4，＋∞) D．(0，4)∪(4，＋∞) 【解析】　由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0<a<4.故选A． √ 新知学习 探究 返回导航 　　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2024·河南南阳期中)已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　) A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 解析：选项A中，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线； 选项B中，动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线； 选项C中，符合条件的点P不存在； 选项D中，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知相距4k米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是________________． 解析：||PA|－|PB||＝2k＜4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上． 双曲线 新知学习 探究 返回导航 二　双曲线的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ________________________ _________________________ 图象   焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝____________ a2＋b2 新知学习 探究 返回导航 　　　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为______________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (条件变式)若将“3|PF1|＝4|PF2|”改为“|PF1|·|PF2|＝48”，求△PF1F2的面积． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 四　双曲线在生活中的应用 　　　某工程需要开挖一个横截面为半圆形的柱形隧道，挖 出的土只能沿道路AP或BP运到P处(如图)，已知AP＝100， BP＝150，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地 在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线) 上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲 线PQ的轨迹方程是_______________________；现要在曲线PQ上选一处M 建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是___________km. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 解析：由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选BC． 课堂巩固 自测 返回导航 (－∞，5) 课堂巩固 自测 返回导航 4.如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2： (x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动 圆圆心M的轨迹方程． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：双曲线的定义、双曲线的标准方程，双曲线在实际生活中的应用． 2．须贯通：(1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：(1)忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为是双曲线的两支； (2)辨明双曲线的标准方程中a，b，c的关系． 课堂巩固 自测 返回导航 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) x2－＝1 －＝1 解：由已知得2a＝2，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝±2.因为|PF1||PF2|＝48，所以cos ∠F1PF2＝＝ ＝＝0，所以△PF1F2为直角三角形，所以S△＝×|PF1|·|PF2|＝24. 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式S△＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式S△＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． 解析：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B． x2－＝1(x≥1) 2－2 $