1.1 椭圆及其标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及综合应用，通过“思考”问题（如2a>|F₁F₂|的条件辨析）和例1（圆内动点轨迹探究）衔接圆的知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以定义双向运用和焦点三角形问题（如例3及变式求面积）培养数学思维，结合待定系数法、定义法等教学方法，易错点分析（如动圆轨迹忽略变量范围）强化严谨性。帮助学生提升逻辑推理与数学表达能力，教师可通过分层训练高效落实教学目标。

第二章　圆锥曲线 1 §1　椭　圆 1.1　椭圆及其标准方程 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.掌握椭圆的定义及其标准方程、几何图形、会用待定系数法求椭圆的标准方程． 2．通过对椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　椭圆的定义 1．定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两个焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|PF1|＋|PF2|＝______(a为大于0的常数)且2a____|F1F2|. 常数 2a > 新知学习 探究 返回导航 思考　椭圆定义中为什么要有条件2a>|F1F2|? 提示：只有加上条件2a>|F1F2|，点P的轨迹才是椭圆，否则当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在． 新知学习 探究 返回导航 　　　如图，圆O的半径为r，A是圆O内一个定点，P是圆上 任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点 P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【解】　如图，连接QA.由已知，得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆． 新知学习 探究 返回导航 椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离) 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边AB，AC上的中线之和为30，则三角形重心G的轨迹为________________________________． 椭圆(去掉点(－10，0)，(10，0)) 新知学习 探究 返回导航 二　椭圆的标准方程 F1(－c，0)，F2(c，0)　 F1(0，－c)，F2(0，c)　 b2＋c2 新知学习 探究 返回导航 　　　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”． 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件． (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积． 新知学习 探究 返回导航 2．(条件变式)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． 新知学习 探究 返回导航 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识求解． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 60° 新知学习 探究 返回导航 [典例展示]　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为_____________________． 易错点 求出轨迹方程后忽略方程中变量的范围致错 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [易错警示]　错解在于求出轨迹方程后没有注意方程中变量的范围，通常在求出轨迹方程后需要进行检验，检验也并不是每一个点都要检验，主要检验一些特殊点(坐标轴的交点、顶点等)是否符合题意． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 √ 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．故“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．若方程kx2＋y2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是____________． (0，1) 课堂巩固 自测 返回导航 4．如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定 圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的 轨迹方程． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系； (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 课堂巩固 自测 返回导航 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图象 焦点坐标 __________________________ ______________________ a，b，c的关系 a2＝____________ $