1.1椭圆及其标准方程 同步基础练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1 第2章 1.1 椭圆及其标准方程 同步基础练习 一、选择题 对于常数 ，，“方程 表示的曲线是椭圆”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 的面积等于 A． B． C． D． 设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，则下述结论正确的是 A． 为定值 B． 的周长的取值范围是 C．当 时， 为直角三角形 D．当 时， 的面积为 已知点 是椭圆 上一点，， 分别是圆 和圆 上的点，那么 的最小值为 A． B． C． D． 已知 为椭圆 上一点，， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 A． B． C． D． 已知椭圆 的上焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动时， 的最大值为 A． B． C． D． 一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 A． B． C． D． 如图，在圆 ： 内有一点 ， 为圆 上一动点， 的垂直平分线与 ， 的连线交于点 ，则动点 的轨迹方程为 A． B． C． D． 二、填空题 已知 是椭圆 : 的右焦点，且 过点 ，则椭圆 的标准方程为 ． 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，， 是椭圆上一点，且 ，则 的面积是 ． 1. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ，，并且该椭圆上一点 到点 ， 的距离之和等于 ，则该椭圆的方程为 ． 三、解答题 2. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，， 是椭圆 上的一点，且 ，求 的面积． 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 为椭圆 上一点，，，． (1) 求椭圆 的方程； (2) 求点 的坐标． 答案 1. 【答案】A 【解析】方程 表示的曲线是椭圆， 则 所以“方程 表示的曲线是椭圆”是“”的充分不必要条件． 2. 【答案】A 【解析】由题意得 ，所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故 的面积 ． 3. 【答案】A；D 【解析】设椭圆的左焦点为 ，则 ， 所以 ，为定值，A正确； 的周长为 ， 因为 为定值 ， 的范围是 ， 所以 的周长的范围是 ，B错误； 令 ，可得 ， 两点坐标， 不妨设 ，， 又因为 ， 所以 ， 所以 不是直角三角形，C错误； 令 ，可得 ， 两点坐标， 不妨设 ，，则 轴， 所以 ，D正确． 4. 【答案】C 【解析】椭圆 中，，， 所以 ． 圆 和圆 的圆心为椭圆的两个焦点， 则当 ， 为如图所示位置时， 的值最小，最小值为 ． 5. 【答案】D 【解析】根据椭圆方程可知 ，． 设 ，，由椭圆的定义和余弦定理得 可得 ， 故 ． 6. 【答案】D 【解析】如图所示，设椭圆的下焦点为 ， 则 ，， 因为 ，当且仅当 ，， 共线且 在线段 上时等号成立， 所以 ． 7. 【答案】A 【解析】设动圆的半径为 ，圆心为 ，根据题意可知，，， ，，， ， 故动圆圆心的轨迹为焦点在 轴上的椭圆， 且焦点坐标为 和 ，其中 ，，，， 所以 ， 故动圆圆心的轨迹方程为 ． 8. 【答案】B 【解析】连接 ， 因为圆 ：， 所以圆心为 ，半径 ． 由垂直平分线的性质可知 ，则 ， 则点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 ，即 ，， 则 ， 因此，点 的轨迹方程为 ． 故选B． 9. 【答案】 【解析】因为 是椭圆 : 的右焦点， 所以 ， 因为椭圆 过点 ， 所以有 解得 所以椭圆 的标准方程为 10. 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知，， 又 ， 所以 ，． 又 ， 所以 ， 所以 是以 ， 为直角边的直角三角形， 所以 的面积为 ． 11. 【答案】 【解析】由题意得椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的方程为 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ， 所以该椭圆的方程为 ． 12. 【答案】因为 ，且 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 13. 【答案】 (1) 由椭圆的定义，有 ， 在 中， 即 ，得 ， 所以 （负值舍去）， 所以 ， 故椭圆 的方程为 ． (2) 设点 的坐标为 ， 因为 ， 所以 ． 又 ， 所以 ，解得 ． 将点 的坐标代入椭圆 的方程，得 ， 解得 （负值舍去）， 故点 的坐标为 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$