01-§1 01-1.1 椭圆及其标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，通过动圆与已知圆相切求轨迹等问题导入，衔接圆的知识，搭建从圆到椭圆的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是结合多样化题型（多选、综合题）与跨知识综合（椭圆与圆、三角），以数学眼光观察几何关系，用数学思维推理转化，如利用椭圆定义求周长、结合正弦定理计算比值。助力学生深化概念理解与解题能力，为教师提供分层教学资源，提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　椭圆的定义及其应用 1.[教材习题改编][多选题]过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是( ) A.圆　    B.椭圆　    C.线段　    D.射线     AB     解析　设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆C的半径为r,则r=|BC|. 若点A与点B不重合,由题意知圆A与圆C内切,则|AC|=R-r=R-|BC|, 即|AC|+|BC|=R, ∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R, ∵B为圆A内的定点,∴|AB|<R, ∴动点C的轨迹为椭圆. 若点A与点B重合,则动点C的轨迹是以R为直径的圆. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西赣州厚德外国语学校月考]若F1,F2分别为椭圆C: + =1的左、右焦点,A,B为C上两动点, 且A,B,F1三点共线,则△ABF2的周长为 ( ) A.4　　    B.8　　    C.10　　    D.20     D     解析　由椭圆方程知a=5,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF|2=2a=10, ∵A,B,F1三点共线, ∴△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF|2)=20. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏泰州姜堰期中]已知△ABC的顶点B(-4,0)和C(4,0),顶点A在椭圆 + =1上,则  的值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由椭圆方程知a=5,c2=a2-b2=25-9=16,故c=4,∴B(-4,0)和C(4,0)分别为椭圆的左、右焦点, 由顶点A在椭圆 + =1上, 结合椭圆的定义得|AB|+|AC|=2a=10, 由正弦定理得 = = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖南长沙段考]椭圆 + =1的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小 为____________.     120°     解析　由椭圆方程知a=3,b= , 则c= = = , ∴|F1F2|=2 , ∵|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=2, 在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2= =- , 又0°<∠F1PF2<180°, ∴∠F1PF2=120°. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌新民外语学校期中]已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,M为C上任意一点, N为圆E:(x-5)2+(y-7)2=1上任意一点,则|MN|-|MF1|的最小值为___________.      -7     解析　如图,由椭圆方程知a=3,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a=6, 所以|MN|-|MF1|=|MN|-(6-|MF2|)=|MN|+|MF2|-6, 因为N为圆E上任意一点,所以|MN|≥|EM|-|EN|=|EM|-1, (涉及圆上的点的距离的最值问题,通常转化为到圆心的距离,再加减半径) 所以|MN|-|MF1|=|MN|+|MF2|-6≥|EM|+|MF2|-7≥|EF2|-7, 当且仅当M,N,E,F2共线且M,N在E和F2之间时等号成立. 由题意知E(5,7),F2(1,0),则|EF2|= = , 所以|MN|-|MF1|的最小值为 -7. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　椭圆标准方程的求解 6.[2025浙江南太湖联盟联考]在△ABC中,B(-4,0),C(4,0),|AB|+|AC|=10,则顶点A的轨迹方程是 ( ) A. + =1(x≠±3)　　    B. + =1(x≠±5) C. + =1(x≠±3)　　    D. + =1(x≠±5)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵在△ABC中,B(-4,0),C(4,0), ∴|BC|=8,又|AB|+|AC|=10, ∴|AB|+|AC|>|BC|, ∴点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,但不包括与x轴的交点,且2a=10,2c=8, ∴a=5,c=4,则b= =3, 因此所求轨迹方程为 + =1(x≠±5). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西鹰潭第一中学月考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,椭圆上任意一 点到F1,F2的距离之和为4,过焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,若|AB|=3,则椭圆C的方程为 ( ) A. + =1　　    B. +y2=1　　     C. + =1　　    D. + =1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和为4,所以由椭圆的定义得2a=4,即a=2, 设椭圆C的半焦距为c(c>0), 则F2(c,0),直线AB:x=c, 由 解得y=± , 所以|AB|= =3, 又a=2,所以b2=3, 所以椭圆C的方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[教材习题改编]平面内的动点P的坐标(x,y)满足方程 + =2 ,则动点P的轨 迹方程为 ( ) A. + =1　　　    B. + =1 C. - =1　　　    D. + =1     B     解析     + =2 表示点P(x,y)到点(- ,0)与( ,0)的距离之和为2 ,记F1(- , 0),F2( ,0),则|PF1|+|PF2|=2 ,又|F1F2|=2 <2 ,所以动点P的轨迹为椭圆,且2a=2 ,2c=2 ,则a= , c= ,故b2=a2-c2=3,故动点P的轨迹方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025福建泉州四校期中联考]已知M(-2,0),P是圆N:x2-4x+y2-32=0上一动点,线段MP的垂直平分线交 直线NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为_____________.      + =1     解析　圆N:x2-4x+y2-32=0即(x-2)2+y2=36,所以其圆心为N(2,0),半径为6, 由线段MP的垂直平分线与直线NP的交点为Q,得|QM|=|QP|, (已知条件与圆、线段的垂直平分线有关,故利用相关几何性质列出几何条件来解决问题较为方便) 所以|QN|+|QM|=|QN|+|QP|=|PN|=6>|MN|=4, 根据椭圆的定义,知点Q的轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4, 所以a=3,c=2,所以b= , 因此动点Q的轨迹方程是 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东泰安第一中学学情检测]已知四点A ,B(1,1),C(0,1),D 中恰有三点在椭圆E上, 则椭圆E的标准方程为______________.      +y2=1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　椭圆E关于坐标轴对称, 因为点A 与点D 关于y轴对称,且恰有三点在椭圆上, 所以A,D两点必在椭圆上, 若点B(1,1)在椭圆上,设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 将A,B的坐标代入椭圆方程得 此方程组无解,故点B不在椭圆上, 因此,在椭圆上的三点为A,C,D, (另解:因为A,D在椭圆上,且A,B的横坐标相等,纵坐标都大于0,所以B一定不在椭圆上) 设椭圆方程为m1x2+n1y2=1(m1>0,n1>0,m1≠n1), 第1讲　描述运动的基本概念 将A,C的坐标代入,得  解得  所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. 解题技法　已知椭圆上两点,求椭圆的标准方程时,若焦点位置不确定,则可设所求椭圆的方程为mx2+ny2 =1(m>0,n>0,m≠n)进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江西上饶第二中学月考] (1)求过点P 且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程; (2)已知动圆P与圆E:(x+ )2+y2=25内切,与圆F:(x- )2+y2=1外切,求圆心P的轨迹方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:因为所求椭圆与椭圆 + =1的焦点相同, 所以所求椭圆的焦点在x轴上, 设所求椭圆的半焦距为c, 则c2=15-6=9. 设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0), 则  解得  第1讲　描述运动的基本概念 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 解法二:由题意可设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-6). 将点P的坐标代入,得 + =1,所以λ=10, 故所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)由题可知圆E的圆心E(- ,0),半径rE=5, 圆F的圆心F( ,0),半径rF=1. 设圆P的半径为r, 则|PE|=rE-r,|PF|=rF+r, 所以|PE|+|PF|=rE+rF=6, 第1讲　描述运动的基本概念 又|EF|=2 ,2 <6, 所以圆心P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且2a=6,2c=2 ,则a=3,c= , 故b= = , 所以圆心P的轨迹方程为 + =1. 解题技法　与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程可设为 + =1(λ>-b2). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　椭圆标准方程的简单应用 12.点P(4cos α,2 sin α)(α∈R)与椭圆C: + =1的位置关系是( ) A.点P在椭圆C上 B.不能确定,与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外     D     解析　把(4cos α,2 sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边,得 + =4(cos2α+sin2α)=4>1, 因此点P在椭圆C外. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026河南驻马店联考]已知F1,F2分别是椭圆C: + =1的左、右焦点,点M在椭圆C上,则 ·  的最小值是( ) A.-1　　    B.1　　    C.3　　    D.4     A     解析　由椭圆方程得y2=4- x2,a=3,b=2,c= , 所以F1(- ,0),F2( ,0), 设点M(x,y),-3≤x≤3, 则 =(- -x,-y), =( -x,-y), 故 · =(- -x)( -x)+(-y)2=x2+y2-5=x2+4- -5= -1, 故当x=0时, · 取得最小值,为-1. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[多选题][2026江西鹰潭余江第一中学月考]关于x,y的方程x2sin α+y2cos α=1,下列说法正确的是 ( ) A.若α∈ ,则该方程表示椭圆,其焦点在y轴上 B.若α= ,则该方程表示圆,其半径为  C.若α∈ ,则该方程表示椭圆,其焦点在x轴上 D.该方程不可能表示直线 AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当α∈ 时,0<cos α<sin α<1,则 > >1, 方程x2sin α+y2cos α=1,即 + =1表示椭圆,其焦点在y轴上,故A正确; 对于B,当α= 时,方程为x2+y2= ,表示圆,其半径为 ,故B错误; 对于C,当α∈ 时,0<sin α<cos α<1,则 > >1, 方程x2sin α+y2cos α=1,即 + =1表示椭圆,其焦点在x轴上,故C正确; 对于D,当α=2kπ,k∈Z时,方程为y2=1,表示两条直线y=±1,故D错误. 易错警示　椭圆的标准方程中x2,y2的系数不能相等,若相等,则方程表示圆. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2026江西抚州金溪第一中学等校阶段测试]设F1,F2分别为椭圆C:x2+2y2=4的左、右焦点,P 为椭圆C上一点且在第一象限内,若△PF1F2的面积为 ,则下列说法正确的是 ( ) A.△PF1F2的周长为4+2  B.点P的坐标为( ,1) C.以F1F2为直径的圆经过点P D.直线PF1的斜率为      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　椭圆的标准方程为 + =1, 则a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2, 所以|F1F2|=2c=2 . 对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2 ,A正确; 对于B,设P(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则 = |F1F2|y0= , 解得y0=1, 将y0=1代入 + =1,解得x0= (舍负), 所以点P的坐标为( ,1),B正确; 对于C,因为F1F2的中点为坐标原点,|F1F2|=2 ,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2, 第1讲　描述运动的基本概念 将( ,1)代入,得( )2+12=3≠2, 所以以F1F2为直径的圆不经过点P,C错误; 对于D,因为P( ,1),F1(- ,0), 所以直线PF1的斜率为 = ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025河南商师联盟期中联考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(- ,0),F2( ,0), 且经过点B(0,1). (1)求椭圆C的方程; (2)若椭圆C上的点P满足PF1⊥PF2,求点P的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵椭圆C的左、右焦点分别为F1(- ,0),F2( ,0), ∴半焦距c= . ∵椭圆C经过点B(0,1), ∴b=1,∴a2=b2+c2=4, ∴椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设点P(x0,y0), 若PF1⊥PF2, 则 · =(- -x0,-y0)·( -x0,-y0)=0, 即 + =3, 第1讲　描述运动的基本概念 联立 解得  ∴x0=± ,y0=± , ∴点P的坐标为 或 或 或 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　椭圆的定义的应用 1.[2026江西九江第一中学月考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且过点P ,Q为 C上一动点,则|PQ|+|QF|的最大值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设椭圆C的半焦距为c,由F(1,0)知c=1. 因为椭圆C过点P , 所以 + =1. 将a2=b2+c2=b2+1代入上式, 得a2=4,b2=3,即a=2,b= , 所以C的方程为 + =1. 设椭圆C的左焦点为F'(-1,0), 连接PF',QF', 故|PF'|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 根据椭圆的定义可知|QF|+|QF'|=2a=4, 因此|PQ|+|QF|=|PQ|-|QF'|+4≤|PF'|+4= +4= .(利用椭圆的定义进行转化) 当且仅当P,F',Q在同一条直线上,且P,Q不重合时等号成立.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026吉林长春第二实验中学测试]已知F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点O 对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为( ) A.10　　    B.8　　    C.24　　    D.15      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆方程知a=4,c= =2 , 因为P,Q为C上关于坐标原点O对称的两点,所以|OP|=|OQ|, 又|OF1|=|OF2|, 所以四边形PF1QF2为平行四边形, 又|PQ|=|F1F2|, 所以平行四边形PF1QF2为矩形, 所以PF1⊥PF2, 由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=48①, 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=8②, 由②平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,结合①得|PF1|·|PF2|=8, 故四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=8. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026福建福州福九联盟期中]已知椭圆G: + =1(0<b< )的两个焦点分别为F1,F2,与y轴的两个交 点分别为B1,B2,O为坐标原点,点P在椭圆G上,且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.当b变化时,|OP|的最小值为  ( ) A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆的定义知|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|=2 , 所以点P也在以B1,B2为焦点的椭圆上,且其长轴长为2 , 故其方程为 + =1(0<b< ). 联立  即  即  两式相加可得 (x2+y2)= +6(6-b2), 第1讲　描述运动的基本概念 则x2+y2=  =  =12- , 当b2=3时,x2+y2取得最小值,为4, 即|OP|的最小值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北保定多校联考]已知椭圆C: + =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限 的一点,且sin∠F1MF2= .过原点O作平行于MF2的直线l,l与MF1和∠F1MF2的平分线分别交于A,B两点,且 |AB|= |MF2|,则实数a的值为_________.     7     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,因为AB∥MF2,且MB平分∠F1MF2,   所以∠BMA=∠ABM, 所以|AM|=|AB|,易知AO为△MF1F2的中位线,所以|MF1|=2|AM|=2|AB|, 设|MF2|=t,则|AB|= |MF2|= t,|MF1|=2|AB|= t, 由椭圆的定义可知|MF2|+|MF1|=2a,则t+ t=2a,所以t= a, 即|MF2|= a,|MF1|= a, 第1讲　描述运动的基本概念 在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1MF2=  = = -1, 由sin2∠F1MF2+cos2∠F1MF2=1, 得 + =1, 解得a2=49,故a=7. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　椭圆的标准方程及其应用 5.[2025江西南昌第一中学期中]定义:若点P(x0,y0)在椭圆 + =1(a>b>0)上,则以P为切点的椭圆的切 线方程为 + =1.已知椭圆C: + =1,M为直线x-2y-6=0上的一个动点,过点M作椭圆C的两条切线 MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB过定点( ) A. B. C. D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意设M(2t+6,t),A(x1,y1),B(x2,y2), 所以直线MA的方程为 + =1, 则 + =1①, 同理可得 + =1②, 由①②可得直线AB的方程为 + =1, 即2x(2t+6)+3yt=6, 即(4x+3y)t+(12x-6)=0, 令 解得  故直线AB过定点 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026山东青岛五十八中高新学校调研]已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别是F1,F2,M  为椭圆C上一点,则下列关于△MF1F2的说法正确的是 ( ) A.周长为6　　    B.面积为  C.内切圆的半径为 　　    D.外接圆的直径为      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知F1(-1,0),F2(1,0),a=2,b= ,c=1, 把 代入椭圆方程,得 + =1,则|y0|= , 所以|MF1|= = , |MF2|=4- = . 对于A,易知△MF1F2的周长为2a+2c=4+2=6,故A正确; 对于B,△MF1F2的面积为 ×2c×|y0|=c×|y0|=1× = ,故B正确; 对于C,设△MF1F2的内切圆半径为r, 则 ×6×r= ,所以r= , 第1讲　描述运动的基本概念  故C正确; 对于D,在△F1MF2中, 由余弦定理得cos∠F1MF2= = ,则sin∠F1MF2= = = , 所以△MF1F2的外接圆的直径为 = = = ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽部分学校期中联考]如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是矩形,|AB|=6,|BC|=2,E,F, G,H分别是所在边的中点,R,T分别是线段OF,CB上的动点(均不与端点重合),且满足|OR|=|CT|,直线ER, GT的交点为P,则|OP|的最大值为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设|OR|=|CT|=t,则R(t,0),T(3,1-t),0<t<2, 由已知得E(0,-1),G(0,1), 则kER·kGT= · =- , 设点P(x,y),0<x<3, 则kER·kGT=kEP·kGP= · =- , 整理可得 +y2=1,0<x≤ , 所以|OP|= = = ≤ = , 当且仅当x= 时等号成立,故|OP|的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　圆与椭圆相交汇考查椭圆的标准方程 8.[2026山东青岛第十六中学期中]吹奏乐器“埙”(如图1)在古代通常是用陶土烧制的,一种埙的外轮 廓的上部是半椭圆,下部是半圆.半椭圆 + =1(y≥0,a>b>0且为常数)和半圆x2+y2=b2(y<0)组成的曲线 D如图2所示,曲线D交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点C,点M是半圆上任意一点,当点M的坐标 为 时,△ACM的面积最大,则半椭圆的方程是__________________.  图1     图2      + =1(y≥0)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵M 是半圆x2+y2=b2(y<0)上的点, ∴ + =b2, ∴b2= ,∴b= , ∴半圆的方程为x2+y2= (y<0),半径r= , ∵半椭圆 + =1(y≥0)交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点C, ∴A ,C(0,a), 当△ACM的面积最大时,点M在与直线AC平行的直线上,且此直线与半圆x2+y2= (y<0)相切于第四象限, 第1讲　描述运动的基本概念 易知kAC= = , 设与直线AC平行且与半圆x2+y2= (y<0)相切的直线方程为y= x+m, ∴圆心O(0,0)到直线y= x+m的距离d= = = = , 整理得4a2+3=4m2, ∵当点M的坐标为 时,△ACM的面积最大, ∴ 在直线y= x+m上, ∴- = × +m, 第1讲　描述运动的基本概念 解得m=- - , 联立  解得a= (二重根), ∴半椭圆的方程为 + =1(y≥0), 即 + =1(y≥0). 第1讲　描述运动的基本概念 $