2.3 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，包含位置关系判断（几何法、代数法等）、切线问题及弦长计算，通过实例探究导入，以例题、跟踪训练为支架，衔接前后知识，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于融合数学眼光与数学思维，通过例1求参数范围、变式探究切线方程等实例，引导学生用几何直观分析问题，培养推理能力。课堂小结点明易错点，助力学生形成严谨思维，教师可借助系统训练提升教学效率。

2.3　直线与圆的位置关系 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系．　2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题．　3.会解决直线与圆相切、弦长等问题，能利用直线与圆的位置关系解决应用性问题. 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　直线与圆的位置关系的判断 　　直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2 1 0 ＝ < 新知学习 探究 返回导航 　　　求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交； 新知学习 探究 返回导航 (2)相切； (3)相离． 新知学习 探究 返回导航 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程联立所得方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)只有一个公共点； 新知学习 探究 返回导航 (3)没有公共点． 新知学习 探究 返回导航 二　圆的切线问题 　　如图，直线l与圆C相切，切点为P，圆C的半径为r.则： (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝______； (3)切点P在直线l上，也在圆上． r 新知学习 探究 返回导航 　　　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，则直线l的方程为_____________________________________________． 12x－5y－9＝0或x＝2 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，则直线l的方程为_________________． 解析：因为(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，所以点P在圆上．所以过P(2，－2)的切线方程为x＝2，即直线l的方程为x＝2. x＝2 新知学习 探究 返回导航 2．(设问变式)在本例条件下，此切线长为_________． 5 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求切线长的最值 ①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长用一个变量表示，利用函数求最值； ②(几何法)把切线长的最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为______________________________________________________________． y＝4或3x＋4y－13＝0 新知学习 探究 返回导航 (3)若过直线y＝x＋1上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径的长，最短弦与最长弦所在的直线垂直． (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径的长，没有最短弦长． (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况． 新知学习 探究 返回导航 　　　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)(2024·陕西西安期中)已知直线x＋2y－5＝0与圆x2＋y2＝9交于A，B两点，则线段AB的长为________． 4 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [典例展示]　已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，求实数a的取值范围． 易错点 忽略方程表示圆的隐含条件致错 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [易错警示]　不要忘记二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0. 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 38 √ 1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0)，则位置关系是相交但直线不过圆心．故选C． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．过点P(1，－2)引圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的切线，则切线长是________． 3 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知圆C的方程是x2＋y2＝9.当b为何值时，直线l：2x－y＋b＝0与圆C分别有两个不同的交点？一个交点？没有交点？ 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：直线与圆的位置关系、圆的切线问题及弦长问题． 2．须贯通：判断直线与圆的位置关系的方法有代数法与几何法，其中几何法较为简捷，体现了数形结合思想． 3．应注意：根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况． 课堂巩固 自测 返回导航 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __个 __个 __个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝(A，B不全为0) d<r d__r d>r 代数法：由方程组消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ__0 解析：方法一(函数思想)：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.设点P(a，a＋1)，则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时等号成立). 所以|PQ|≥ ，即|PQ|的最小值为. 方法二(数形结合思想)：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2，|CQ|2＝r2＝1.当|PC| 取得最小值时，|PQ|最小，而点P是直线y＝x＋1上的动点，所以当CP垂直于直线y＝x＋1时，|CP|最小，则|CP|min＝＝＝2，|PQ|＝|PC|－|CQ|2＝8－1＝7, 即|PQ|min＝. [跟踪训练3] (1)若直线3x＋4y－8＝0被圆C：(x－a)2＋y2＝4截得的弦长 为2，则a＝___________. 1或 $