1.3 第3课时 直线方程的一般式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦直线方程的一般式，通过回顾点斜式、斜截式等旧知，构建从特殊到一般的知识支架，帮助学生理解二元一次方程与直线的关系及五种形式的转化应用。 其亮点在于对比五种直线方程形式的适用范围培养分类讨论思维，结合含参数方程、恒过定点等问题训练逻辑推理，例题变式体现数学语言精确表达。助力学生提升灵活解题能力，为教师提供系统教学资源和分层训练素材。

第3课时　直线方程的一般式 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系．　2.掌握直线方程的一般式．　3.了解直线方程的几种形式的关系，能灵活利用直线的几种形式解决问题． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　直线方程的一般式、点法式 1．直线方程的一般式 关于x，y的二元一次方程__________________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． Ax＋By＋C＝0 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； (2)当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； (3)当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； (4)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； (5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 新知学习 探究 返回导航 2．直线方程的五种形式 (1)直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k _______________ 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b _____________ 不垂直于x轴的直线 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b 新知学习 探究 返回导航 Ax＋By＋C＝0 新知学习 探究 返回导航 (2)直线方程的一般式与其他四种形式的转化 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； 【解】　因为直线平行于x轴，所以斜率等于0， 由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0. 新知学习 探究 返回导航 (4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)； 新知学习 探究 返回导航 (5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°； 【解】　斜率k＝tan 45°＝1，由点斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0. (6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3. 新知学习 探究 返回导航 根据已知条件求直线方程的解题策略 　　在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)经过点(－2，1)，且倾斜角为135°的直线的一般式方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 解析：因为倾斜角为135°，所以斜率为tan 135°＝－1，由点斜式可得直线的方程为y－1＝－(x＋2)，化简得x＋y＋1＝0.故选C． √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若直线l的一个方向向量为a＝(2，4)，且l过点A(2，－3)，则直线l的方程为________________________． 2x－y－7＝0 新知学习 探究 返回导航 二　含参数的直线方程的一般式 　　　已知直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)证明：无论a为任意实数，直线l经过定点． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)对于本例中的直线l，是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 新知学习 探究 返回导航 (1)已知含参数的直线的一般式方程求参数的步骤 新知学习 探究 返回导航 (2)直线恒过定点的求解策略 ①将方程化为点斜式，求得定点的坐标． ②将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是___________． 解析：方法一：一般取任意两个k值，解二元一次方程就可以了．但是取合适的k值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为0.取k＝－3，方程就是7y－14＝0，即y＝2；取k＝0.5，方程就是3.5x＋3.5＝0，x＝－1，所以A点的坐标是(－1，2)，将A点坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过A点． (－1，2) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3).若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和为0，则k＝________. 5 1 新知学习 探究 返回导航 三　直线方程的一般式的综合应用 　　　已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　利用直线方程的一般式，可以确定直线的斜率、截距、交点等特征，解决和直线有关的最值问题，可以建立目标函数，利用求函数最值的方法求解． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知直线l过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 33 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．(2024·江西南昌月考)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，－1)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A(4，3)，则该直线的一般式方程为__________________________________． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：直线方程的一般式． 2．须贯通：求直线的一般式方程及应用直线的一般式方程体现了分类讨论与化归转化的思想方法． 3．应注意：忽略直线斜率不存在的情况及两直线重合的情况． 课堂巩固 自测 返回导航 名称 已知条件 标准方程 适用范围 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 ______________ A，B不全为零 证明：因为l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0，可化为a(x－1)＋x＋y＋2＝0，令解得 所以无论a为任意实数，直线l经过定点(1，－3). $