2026年江苏省南京市建邺区南京双校中考一模数学试题

2025-2026学年第一学期升学模拟 数 学 2026.2 一、单选题（本大题共6小题，共12分） 1．方程x2－5x＝0的解为(　　) A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝，x2＝5 2．从，，3三个数中随机取一个数作为a，则使抛物线的开口向下的概率是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（　　） A．y=﹣（x﹣）2﹣ B．y=﹣（x+  ）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣ D．y=﹣（x+ ）2+ 4．某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（　　） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 5．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　   ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，共20分） 7．一组数据1，3，8，9，6，4的极差是 ． 8．已知，则 . 9．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若，则k的值为 ． 10．一个圆锥的母线长为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的底面半径为 ． 11．抛物线的最小值为 ． 12．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ． 13．如图，在正八边形中，是两条对角线，则 14．如图，在中，，，，是边的中线，过点作于点，连接并延长交于点，则的长是 ． 15．如图，在中，，平分交于，于，且，，，则的周长 ． 16．如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，且满足，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共88分） 17．解方程：． 18．某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表： 日均生产能力（件） 10 11 12 13 14 16 人数 1 2 6 4 2 1 (1)这16名工人日均生产件数的平均数　　件，众数　　件，中位数　　件； (2)为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？ 19．今年五一西安被冲上热搜成为全国旅游网红城市，小红和妈妈也准备去西安旅游．去之前她们收集了自己感兴趣的景点名片，这些名片除文字外其余均相同，出发前一天她们以抽签的形式决定去哪个景点，请根据下列问题求出相应的概率． 市内景区：大雁塔、大唐芙蓉园、钟楼、明长城、曲江极地公园． 市外景区：秦岭野生动物园、朱雀国家森林公园、秦始皇兵马俑． (1)抽到去“大唐芙蓉园”的概率； (2)抽到去市内景区的概率； (3)抽到去公园的概率； 20．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 0 8 (1)根据上表填空： ①抛物线经过点（，    ），对称轴为___________； ②方程的解是___________，当时，取值范围是___________； (2)求该抛物线的解析式． 21．已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 22．已知：在中，，点D、E分别在边AC、AB上，连接BD、CE交于点，且. （1）求证：. （2）求证：. 23．近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x／元 … 25 26 27 … 每天销售数量y／件 … 150 140 130 … 设销售这种商品每天的利润为W（元） (1)求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价； (3)当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值． 24．在平面直角坐标系中，对于一次函数，若为常数，，则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 2025-2026学年第一学期升学模拟 数 学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A B D C 1．C 【分析】因式分解法即可求解一元二次方程. 【详解】解：x2－5x＝0 x(x-5)=0, 解得：x1＝0，x2＝5 故选C. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键. 2．C 【分析】本题主要考查了概率公式和二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键． 根据二次函数开口方向向下时，再根据概率计算公式计算即可； 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∴在，，3中符合条件的是，，有2种情况， ∴使抛物线的开口向下的概率是． 故选C． 3．A 【详解】试题分析：已知抛物线的解析式为y=x2+5x+6，它绕原点旋转180°后变为y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+，再向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故答案选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 4．B 【分析】根据频数分布直方图中，众数就是分布图里最高的那条，中位数是第24和25个数的平均数，即可求出答案． 【详解】解：根据频率分布直方图可得： 众数就是分布图里最高的那条， 所以这次次数统计的众数是5， 因为有48位学生， 所以这次次数统计的中位数是（5+5）÷2=5； 故选B． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图，关键是能够根据频数分布直方图获取有关信息，根据有关定义列出式子，是一道常考题型． 5．D 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤错；共三个对， 故选：C． 7．8 【分析】找出数据中的最大值与最小值进行相减即可得出答案． 【详解】解：数据1，3，8，9，6，4的极差是9﹣1=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 8． 【分析】由比例的性质设，，代入即可求解. 【详解】设，， 则 故答案为. 【点睛】本题考查根据比例式求代数式的值，设比例参数是解决本类问题的常用方法. 9．/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，两点距离计算公式，联立两函数解析式求出点A和点B坐标，再利用两点距离计算公式得到，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得或， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或 当时，，，故舍去， 故 故答案为：． 10． 【分析】根据圆锥的侧面面积公式，即可求得圆锥的底面半径 【详解】解：设底面半径为，则底面周长为：， 圆锥的侧面展开图的面积为：， 故答案为： 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 11．8 【分析】本题考查二次函数的最值，由二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值8． 故答案为：8． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，多边形内角和定理，等边对等角，三角形内角和定理，由正多边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 又∵，且（正八边形的对称性）， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】过点D作，交于点G，根据勾股定理和三角函数的有关知识，求出，，根据平行线分线段成比例定理，得出，设，则，，证明，得出，从而求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点G，如图所示： ∵为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，利用三角函数解直角三角形，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，求出的长． 15． 【分析】根据已知条件利用AAS证明，可得，，从而得到，再根据的周长可得结果． 【详解】∵平分交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（AAS） ∴，，则 ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 16． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，找到最大和最小时点P的位置成为解题的关键． 经分析可知，当点P与点A重合时，此时有最大值；当点P是的中点时，此时有最小最小值，然后分别求得的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：①如图1，当点P与点A重合时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴,即，解得：，此时BC是满足题意的最大值； ②如图3，当点P是的中点时，此时最小， 过点B作于E， 设，则 ∵， ∴，， ∴，解得：（舍）或， ∴． ∴此时是满足题意的最小值． 综上，． 故答案为：． 17． 【分析】先化为一般式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18．(1)12.5，12，12 (2)应选择中位数作为日生产件数的定额 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行求解，根据平均数的公式进行计算即可； （2）根据数据特点进行选择即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 平均数为：（件）， 12出现的次数最多，故众数是12， 16名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为12、12，故中位数是（件）； 故答案为：12.5；12；12． （2）解：当定额为13个时，有13人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性， 当定额为12个时，有9人达标，7人获奖，利于提高大多数工人的积极性， ∴定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性， 故应选择中位数作为日生产件数的定额． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的平均数，中位数和众数，解题的关键是掌握相关的定义和公式，中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列（或者从大到小的顺序）之后处在数列中点位置的数值．众数是指一组数据中出现次数最多的数． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）直接由概率公式求解即可； （3）直接由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抽到去“大唐芙蓉园”的概率为； （2）解：由题意可知，抽到去市内景区的概率为； （3）解：由题意可知，抽到去公园的概率为． 20．(1)①8，直线；②，1， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等； （1）①抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出． 【详解】（1）解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴对称轴直线； ∵抛物线经过点，点和关于直线轴对称， ∴抛物线经过点， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴方程的解是或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， 由①得：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴当时，； 故答案为：，1，； （2）解：由表格可得：抛物线与x轴的交点坐标是和，与y轴的交点坐标是， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 21．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； （2）证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 22．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，即可得出∠BFC=∠DCB，由∠FBC是公共角即可证明△BCF∽△BDC；（2）由（1）得△BCF∽△BDC，根据相似三角形的性质可得，由∠BFC=∠EBC，∠BCF=∠ECB可证明△CFB∽△CBE，即可得△CBE∽△DCB，根据相似三角形的性质可得，进而可得结论. 【详解】（1）∵AB=AC， ∴， ∵， ∴∠BFC=∠DCB， ∵， ∴△BCF∽△BDC. （2）∵△BCF∽△BDC， ∴，即， ∵∠BFC=∠EBC，∠BCF=∠ECB， ∴△CFB∽△CBE， ∴△CBE∽△DCB， ∴，即， ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 23．(1) (2)24元每件或32元每件 (3)W最大值为1400元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，求出函数关系式和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案 （3）先根据销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件，求得，再根据（2）中所求函数解析式，利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设商品每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系式为：； （2）解： ． 当元时，代入，得，． 故当定价为24元每件或32元每件时，商家可获利1280元； （3）解：每天销售商品的数量超过60件，所以，解得． 又销售单价不低于30元每件， ． ， ∴抛物线对称轴为直线， 又∵， ∴当时，w随x增大而减小， 当时，W有最大值，最大值为1400元． 24．（1）； （2）①时，为定值2；②； （3）或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1），即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）当时，，即可求解；当时、时，同理可解． 【详解】解：（1），则， 故答案为：； （2）①由题意得：， 当时，为定值2； ②， 若随的增大而增大，则； （3）由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $