精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学试题卷 本试卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.谷题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设函数的导函数为，已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 2. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 13 B. 26 C. 39 D. 52 3. 重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 100 B. 97.5 C. 95 D. 92.5 4. 数列中，若，，则（ ） A. B. 2026 C. D. 2025 5. 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 7. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 数据1，2，2，2，3，4，6的极差与众数之和为7 B. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是4 C. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，，，…，的平均数和标准差分别为8和9 D. 将总体划分为两层，其个体数分别为，，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则可估计总体的方差 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且点在第三象限，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若点，则直线与的斜率之积为 C. 的取值范围为 D. 若轴于点，则 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 B. ，都存在极大值 C. ，使得恒成立 D. 当时，若方程有两个不同实根，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线上的点到直线：的距离的最小值； （2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围. 16. 已知椭圆：（）的长轴长为4，过左焦点作直线交椭圆于，两点，的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）若面积为1，求直线的斜率． 17. 设正项数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和： （3）设，求证：. 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且经过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2），是双曲线上与点同支且异于点的两动点.直线，的斜率互为相反数. （i）试判断：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由； （ii）求外接圆在点处的切线方程. 19. 已知函数. （1）讨论的极值情况； （2）是否存在使得对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由； （3）若，此时有两个不同的零点，和一个极值点，记，，.判断是否为等腰三角形？请说明理由. 参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高二上期期末考试 数学试题卷 本试卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.谷题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设函数的导函数为，已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数的运算法则化简原函数，再求导计算求解． 【详解】， 求导得， ，故B正确． 故选：B． 2. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 13 B. 26 C. 39 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、性质及求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以，即， 所以. 故选：C 3. 重庆市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对1500名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这1500名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 100 B. 97.5 C. 95 D. 92.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质及中位数的概念，即可求解． 【详解】根据题意可得前几组的频率依次为 所以中位数在内，且为． 故选：C． 4. 数列中，若，，则（ ） A. B. 2026 C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，结合常数列的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是常数列， 因为，所以， 因此，所以. 故选：B 5. 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 6. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，结合数列的奇数项和偶数项的性质、等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列是公比为3的等比数列， 所以， 因此数列的奇数项和偶数项都是以为公比的等比数列， 所以数列的前20项和为： . 故选：A 7. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，将不等式转化为，根据的单调性求解. 【详解】构造，对其求导， ， 已知，且，因此，即在上单调递增. 已知，代入得： ， ， 两边同乘(即)，得： ， 根据的定义，左边即为，因此不等式等价于： ， 因为单调递增，所以， 解得， 又因为中，故解集为. 故选：B 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 由椭圆的定义，， ， 因为，又因为斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点， 所以点是椭圆的上顶点，且点在第三象限，设坐标为， 由余弦定理可知： ， ， 所以， 因此椭圆的方程为， 因为点在该椭圆上，所以， 因为，， 所以， ，代入中， 得， 解得，或舍去， 把代入中，得，或舍去， 所以点的坐标为. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 数据1，2，2，2，3，4，6的极差与众数之和为7 B. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是4 C. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，，，…，的平均数和标准差分别为8和9 D. 将总体划分为两层，其个体数分别为，，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则可估计总体的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差和众数的定义、下四分位数的定义，结合平均数和标准差的性质、总体方差的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为数据1，2，2，2，3，4，6的极差为， 数据1，2，2，2，3，4，6的众数为2， 所以数据1，2，2，2，3，4，6的极差与众数之和为7，因此本选项说法正确； B：数据11，13，5，6，8，1，3，9从小到大排列为： 1，3，5，6，8，9，11，13， 因为， 所以数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是，因此本选项说法正确； C：因为样本，，…，的平均数和方差分别为2和3， 所以，，…，的平均数和标准差分别为、， 因此本选项说法不正确； D： 因为， 所以总体平均数为， 所以总体的方差， 所以本选项正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且点在第三象限，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若点，则直线与的斜率之积为 C. 的取值范围为 D. 若轴于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合向量垂直的点积为0判断选项A；计算斜率之积代入曲线方程判断选项B；利用双曲线定义转化表达式，再分析取值范围判断选项C；计算距离之比，利用极限分析判断选项D． 【详解】双曲线方程为， ，故， 过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且点在第三象限，则位于第一象限， 设，，则， 选项A：，， ，即， ，则，解得， ，故A正确； 选项B：，， ，故B错误； 选项C：在第一象限，由双曲线的定义可知， ， ， 在第一象限，，， 函数开口向上，对称轴为， 函数在上单调递增， ， ，即故C正确； 选项D：轴于点，， ， ， 位于第一象限，， 当时，分子，分母， ， 当时，高次项之比为，故， 综上可知，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 B. ，都存在极大值 C. ，使得恒成立 D. 当时，若方程有两个不同实根，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用函数的单调递增区间求参数的范围；选项B考查导数的单调性及极值问题；选项C考查恒成立问题和存在问题；选项D考查函数的零点和不等式证明。 【详解】选项A，，若在上存在单调递增区间， 则在上有解，即，，，， ，令，则，所以在上单调递减， 在[1，e]上的最大值为，最小值为, 要使在上有解，只需的最大值，即.因此A错误； 选项B，由选项A可知，令，则当时，， 单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为， 因为，所以必有唯一的解.当时，当时，. 故是的极大值点，对任意，都存在极大值，因此B正确： 选项C，要使对所有的恒成立， 当时，，需，即，成立；当时，，需， 即，当时，满足条件,取显然成立，因此C正确； 选项D，当时，，,,,, 所以在原点处的切线为,在处的切线为, 设直线与两条切线的交点横坐标是,联立方程和, 可得,,由图可知,因此D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合两点间距离公式计算求解． 【详解】 的标准形式为，则， 抛物线焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则，则， ，， ，令，方程化为，整理得， 解得或（舍去），，， 故答案为：． 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合数列奇数项和偶数项的单调性、任意性定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减，得， 当为偶数时，，显然适合， 当为奇数时， ， 所以， 所以当为偶数时，此时数列单调递增，， 而，所以； 当为奇数时，，显然此时数列单调递减， ，而，所以. 因为实数满足对恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线上的点到直线：的距离的最小值； （2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线的切线，结合平行线间距离公式进行求解即可. （2）根据的正负性分类讨论函数的单调性，通过单调性求出函数的最值，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 设曲线在点处的切线为， 当切线与直线平行时，该切点到直线：的距离最小， 直线的斜率为， 所以切线的斜率也为， 由，或舍去， 因为， 所以切线的方程为， 所以曲线上的点到直线：的距离的最小值为. 【小问2详解】 该函数的定义域为. ， 当时，，函数是上的增函数， 此时函数最多有一个零点，不符合题意； 当时， 当时，，函数是上的减函数， 当时，，函数是上的增函数， 所以， 因为函数在区间内有两个零点， 所以， 因为，且当时，， 所以当时，函数在区间内有两个零点， 因此的取值范围为. 16. 已知椭圆：（）的长轴长为4，过左焦点作直线交椭圆于，两点，的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）若面积为1，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，利用长轴长求出，利用过焦点的弦长最短求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线斜率为，联立椭圆方程，结合韦达定理和三角形面积公式构造方程求解． 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 椭圆的长轴长，则，， 焦点弦中垂直于长轴的弦最短，此时， 即， ， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， ，， 设直线斜率为，则直线方程为，即， 联立直线与椭圆方程得， 设点，则， ， ， ， ， ， ，令， 则，解得，． 17. 设正项数列的前项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和： （3）设，求证：. 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时，  ， 因为，所以，即. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）根据错位相减法求和即可； （3），当时，放缩可得，据此求和即可得证. 【小问1详解】 当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为, 则 ① ② ①②可得： . . 【小问3详解】 略 18. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且经过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2），是双曲线上与点同支且异于点的两动点.直线，的斜率互为相反数. （i）试判断：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由； （ii）求外接圆在点处的切线方程. 【答案】（1） （2）（i）是定值，理由如下： 显然直线存在斜率时，斜率一定不为零， 所以设直线的方程为，与双曲线方程联立， 得， 由题意可知：， 设，， 因为直线，的斜率互为相反数， 所以 ， 解得，或， 当时，， 显然直线的斜率是定值； 当时，， 显然该直线过定点，与已知矛盾， 综上所述：直线的斜率是定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率与一条渐近线斜率的大小关系确定双曲线的焦点位置，再利用代入法进行求解即可； （2）（i）设直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到结合，根据一元二次方程根与系数关系得到不等式组，解出即可； （ii）利用待定系数法设外接圆的方程为，结合圆的切线性质进行求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率为，直线的斜率为，显然， 所以该双曲线的焦点在横轴上，设为， 于是有， 所以该双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，所以， 设外接圆的方程为， 圆心坐标为， 因为该圆过点， 所以， ， 直线与该圆有两个交点，，所以 ， ， 由，代入中， 得， 或， 当时，， 此时，则，不符合， 所以这种情况舍去， 当时，， ， 所以外接圆在点处的切线的斜率为， 切线方程为， 所以外接圆在点处的切线为. 19. 已知函数. （1）讨论的极值情况； （2）是否存在使得对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由； （3）若，此时有两个不同的零点，和一个极值点，记，，.判断是否为等腰三角形？请说明理由. 参考数据： 【答案】（1）时，无极值；时，在处取得极大值，极大值为，无极小值 （2） 实数的值为，理由如下： ①当时，由（1）知，在上单调递减， 故当时，，则， 故不满足题意； ②当时，由（1）知，在上单调递增， 在上，单调递减，故当时，， 取，对任意，不合题意； ③当时，令， 由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减， 所以， 故对任意的，总存在，使得成立，即成立， 则，故，即， 即，解得． 综上所述，存在满足题意的实数，且实数的值为． （3）不可能是等腰三角形；理由如下： 当时，，由（1）知在单调递增， 在单调递减，故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设，此外， 则，记，则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故， 下证，由此可得不是等腰三角形． 首先，我们证明：，即． 由于，故， 由，知， 接下来，我们证明，即证． 令， 则单调递增，且， 由零点存在性定理，在有唯一零点，且在单调递减， 在单调递增，且，故，得证. 因此，则， 故要证，只需证． 构造函数． 注意到，又， 令，解得，故在单调递增， 在单调递减，故，只需证． 而，证毕. 【解析】 【分析】（1）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （2）通过讨论时，时，时函数的最值情况，可求得 的值； （3）若是等腰三角形，不妨设，由(1)可知，由，可知，若是等腰三角形，从而可得，结合导数可证明此时方程组无解，即证出假设不成立. 【小问1详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $