广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高二数学试卷

汕尾市2025一2026学年度第一学期期末教学质量监测 高中二年级数学答案及评分标准（参考）》 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的： 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 题号 9 10 11 答案 AC ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.6 13.2 14.y=-x+3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)直线1的斜率为k=anT=1,…1分 又因为l过点P(1,2), 所以直线1的方程为y-2=x-1,即直线1的一般式方程为x-y+1=0,…3分 因为圆心M在直线I上， 所以可设圆心M(a,a+1), 因为A,B是圆上的两点， 所以MA=|MB|, 即(a-1)2+a2=(a-2)2+(a+3)2,…4分 解得a=-3,…。 …5分 所以圆心M(-3,-2),圆M的半径为r=|MA=√(3+1)2+(1+2)2=5，…6分 所以，所求的圆M的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.…7分 (2)直线AB的方程为3x+y-4=0,…8分 圆心M(-3,-2)到直线4B的距离为4=1-3×3-2-4=15 …10分 √32+12 √10 |AB|=√/(2-1)2+(-2-1)2=/10 …11分 所以△的面颜为Sw号l以=名×亮x而-号 13分 16.解法1：(1)从8件纪念品中依次不放回取出2个，共有n(2)=8×7=56(种)等可能的 结果，… …1分 高二·数学答案及评分标准（参考）第1页（共5页） 记事件A=“第一次取到捷胜泥塑挂件”，事件B=“第二次取到捷胜泥塑挂件、2一© …2分 3人A 则B=ABUAB,且AB与AB互斥.…3分 3(B 由图可知n(AB)=3×2=6,n(AB)=5×3=15,…5分 4⑧ 所以P(B)=P(AB)+P(AB)=n(AB)+n(MB)_6+15=3 n(2) 56 , …7分 所以第二次取到捷胜泥塑挂件的概率为 3 …8分 (2)记M=“至少取到1件捷胜泥塑挂件”，则M=“两次都没有取到捷胜泥塑挂件”， …9分 M=AB. 。。…。……。。……。。。 10分 所以P(m)=n(MB=5×4_5 n(2)-56-14' 13分 所以P(M)=1-P(m)=1-5=9 14-14 14分 因此至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率为 9 ……………*……………………*…*…*… 15分 解法2：(1)第二次取到捷胜泥塑挂件，有两种情况： 情况1：第一次取到甲子贝雕书签，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为P,…1分 5C263 有P, CgC15628 …3分 情况2：第一次取到捷胜泥塑挂件，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为P,，…4分 有P2= CC 15 …6分 56 第二次取到捷胜泥塑挂件的总概率为P,P=P,+P,=8+568 3.153 …8分 (2)设取到2件甲子贝雕书签的概率为P',则P'= CC_54-5 *C=8×7=i4 …12分 至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率为P”,则P”=1-P=1各=号 …15分 17.(15分)解：(1)由频率分布表可知5+10+20+a+25+10=100,解得a=30,…2分 所以频率分布直方图中b=300=0.03. …4分 (2)根据频率分布表和频率分布直方图可估计样本的众数0+80 2 =75 …6分 设样本的中位数为0，由颜率分布直方图可得3+0+20+(，-70)·Q03=0.5,7分 100 解得X0=75,…8分 根据频率分布直方图估计样本的平均数为x=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+ 85×0.25+95×0.1=74.……10分 高二·数学答案及评分标准（参考）第2页（共5页） (3)两组成绩合并后的总平均数0=10×54+20×63=60，…12分 10+20 两组成绩合并后的总方差s2 10+20[10×(54-60)2+10×7+20×(63-60)2+20×4] =23. …15分 18.(17分)(1)证明：如图1，连接AC交BD于点H,连接EH. …1分 因为AD∥BC且BC=2AD 所以AH:HC=1:2, 2分 又因为A=3A正， 所以AE:EP=1:2, 3分 所以提品、 因为点A,H,C,E,P共面， 图1 所以EH∥PC, 4分 因为EHC面BDE,PC￠面BDE, 所以PC∥面BDE.…5分 (2)解：因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又因为AB⊥AD, 所以以A为坐标原点，直线AD,AB,AP所在方向分别 为x轴，y轴，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系， …6分 因为PA=AB=BC=2AD=6,AB=3AF, D 图2 所以B(0,6,0),F(0,2,0),设Q(x,y,0), 7分 ①因为QB=√5QF,所以x2+(y-6)2+02=3[x2+(y-2)2+0], (因为QB=3QF,在x0y平面中，有x2+(y-6)2=3[x2+(y-22)]亦可) 化简整理可得x2+y2=12,… 8分 因为PA⊥平面ABQ, 所以PA为三棱锥P-ABQ的高，… 9分 所以V装-m=3PA:Sm=石PH·AB·g=6|≤6×25=125 …10分 所以三棱锥P-ABQ的体积的最大值为12√5.…11分 ②因为P(0,0,6),D(3,0,0), 所以PB=(0,6,-6),PD=(3,0,-6), 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), rn·PB=0, 所以/-6=0, Y=, 则n·p币=0，所以3x-6=0,=2, 即 …13分 高二·数学答案及评分标准（参考）第3页（共5页） 令z=1,则y=1,x=2,故n=(2,1,1)是平面PBD的一个法向量， 由①可设Q(25cos0,25sin0,0),则P=(25cos0,25sin0,-6),…14分 设直线PQ与平面PBD所成角为a, 则sinw=cos<P元，n>|=45cos9+23sin0-6 √15sin(0+0)-3 √6·√48 3√⑧ 其中tn00=2,…15分 因为-1≤sin(0+0)≤1， 所以当si(0+%)=-1时，sina取到最大值，最大值为-压-3_3o+32 62 12 ………16分 即PQ与平面PBD所成角的正弦值的最大值为√30+3巨 12 …17分 2a+2c=6, 1 19.(17分)解：(1)由题意可得 2’ …2分 a2=b2+c2, 解得a=2,c=1,所以b2=3, 3分 故T的标准方程为+了印 …4分 (2)①由题意可设直线l的方程为y=x+m, [y=hx +m, 联立 221消去y可得(42+3)x2+8kmx+4m2-12=0, 4+3=1, 依题意可得△=(8m)2-4(42+3)(4m2-12)>0,即42+3>m2, 8km 6m 6+6=4+3,1+n …5分 4k2+3 所以线段MN中点的坐标为 4km 3m 4k2+3’42+3 易知当k=0时，x0=0, …6分 当≠0时，线段MN的垂直平分线方程为y4+3- 3m 1/ x+- 4km 4k2+3 …7分 即y=--42+3' km 令y=0,解得0=42+3' 所以m=(42+3)0 -k 故4状+3>4+3)，则(1-4)2>3. 2 ………8分 高二·数学答案及评分标准（参考）第4页（共5页） 由题意关于k的不等式(1-4x品)k2>3x有解， 则1-4话>0，解得-2<。<2， …9分 综上所述，的取值范围是(-之， 10分 ②根据题意可知，A(-2,0),B(2,0),0C的方程为y=2x,直线BM的方程为y= 无-2(x-2), ………………………11分 1 4y1 [y= 由 x=21-x+2 可得 2-2 2y1 y=2y1-x1+2 4y1 2y1 故川2+22y,-+2' 12分 2y1 因为4，H,Q三点共线，所以2，+2 -y2 一三 4y1 2-4+2+2 -x2+2’ 化简整理得xy2+x2y1=4y1y2+2(y1+y2), ……13分 又因为y2=kx2+m,y1=kx1+m, 所以(4k2-2k)x1x2+[2k(2m+1)-m](x1+x2)+4m2+4m=0,…14分 将+=是代人上试可得 8km 4h2+3 (4k2-2k)(4m2-12)+[2k(2m+1）-m](-8m）+(4m2+4m)(4h2+3)=0 化简整理可得(m+2k)(m-2k+1)=0, 解得m=2-1或m=-2k,…15分 当m=-2k时，直线1的方程为y=k(x-2),经过(2,0)，不符合题意。…16分 所以m=2k-1,直线l的方程为y=(x+2)-1,此直线1过定点(-2，-1).…17分 高二·数学答案及评分标准（参考）第5页（共5页）★开封前注意保密 2025-2026学年度第一学期期未教学质量监测 高中二年级 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1。答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处 2。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区城内作答，起出答题区城书写的答案无效 3。答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄被，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1.已知a=(2,-1,3),b=(,2,9),且a1b,则x=( A.4 B.-4 C.1 D.-1 2.现有7个红色研学纪念勋章盲盒，其中3个放有“彭湃故居”纪念勋章。甲、乙两名学生先 后从中各任取一个盲盒，则乙领到“彭湃故居”纪念勋章的概率为( A号 B c号 n 3.抛物线x2=8y的准线方程为() A.x=-2 B.x=2 C.y=-2 D.y=-4 4.汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆 河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕)种养户众多.现有荔枝户40户、杨桃户 50户、油柑户60户、莲藕户50户.用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户 () A.2户 B.4户 C.6户 D.15户 5.已知直线l:(3a+2)x+(1-4a)y+8=0,直线：(5a-2)x+(a+4)y-7=0,则a=1 是11山2的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.过点(0,3)与圆(x+3)2+y=4相切的两条切线的夹角为0，则c0s0=( 号 B. c D.2I4 9 高二·数学第1页（共4页） 7.在棱长为2的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，则直线AM和CN夹角的 正弦值为( 9 B子 c D.22 3 8.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2,AM,=4,现有一个动平面，且a∥A,BD. 当平面α截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为( A.45+22 B.42+25 C.25+42 D.25+22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若一组数据6,4，a,8,6,10,12的平均数为7，则( A.a=3 B.该组数据的极差是8 C.该组数据的第75百分位数为10 D.去掉a后该组数据的方差不变 10.已知点P(4,4),圆0：x2+y2=4,0,P是圆Q的一条直径的两个端点，且圆0和圆 Q相交于A,B两点，则() A.圆Q的方程为x2+y2-4x-4y=0 B.直线AB的方程为x+y+1=0 C.PA与圆O相切 D.若圆0上恰有三个点到直线y=x+:的距离为1，则t=±2 I1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是 AB,BC上的动点，且AE=BF,则( A.AF⊥C,E B.平面A,B,F⊥平面B,C,E C.若M,N分别为对角线DC,和AC上的动点，则IMNI的最小 值为号 D.当三棱锥B,-BEF的体积最大时，面B,EF与面BEF的夹角的余弦值为分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2若P=子，P(B)=子且事件A与事件B相互独立，则P(B) 13.已知矩形ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线BD将△BCD折起，使得AC=√193，则 二面角A-BD-C的余弦值为· 14.已知直线与抛物线y2=2x(p>0)交于A,B两点，点F为焦点，OA10B,OD1AB且交 AB于点D(2,2),点M(x0,2)为该抛物线上的点，则∠DMF的平分线所在直线的方程 为 高二·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知倾斜角为牙的直线1过点P(1,2),圆M的圆心M在直线1上，且圆M过点 A(1,1)和点B(2,-2) (1)求直线1的一般式方程和圆M的标准方程； (2)求△MAB的面积 16.(15分)汕尾文旅文创展区有8件不同的特色纪念品，其中5件是甲子贝雕书签，3件是 捷胜泥塑挂件。现从中不放回依次随机取出2件作为文旅伴手礼 (1)求第二次取到捷胜泥塑挂件的概率； (2)求至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率 17.(15分)“广东万里碧道·汕尾品清湖铁人三项赛”是汕尾市重点打造，融合体育竞技 绿美生态体验与滨海旅游资源的品牌赛事，吸引了全国众多爱好者.为科学评估大众选 手在品清湖“欢乐跑”(10千米)项目的表现，组委会从所有完赛选手中随机抽取了100人 的成绩（单位：分，成绩均为不低于40的整数）作为样本进行分析，并据此绘制了如下 频率分布表和频率分布直方图。 成绩分组/分钟 频数 [40,50) 小颗率组距 [50,60)y 10 [60,70) 20 [70,80) a [80,90) 5 10 0405060708090100成绩/分 [90.100] (1)根据样本数据，计算频率分布表中的α值和频率分布直方图中的b值： (2)根据样本数据，估计这100名选手“欢乐跑”成绩的样本众数、中位数和平均数； (3)已知落在区间[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在区间[60,70)的平均成绩 为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差 高二·数学第3页（共4页） 18.(I7分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC,AD∥BC, PA⊥平面ABCD,且PA=AB=BC=2AD=6. (1)若A=3A花，证明：PC∥平面BDE: (2)若点F在线段AB上，AB=3AF,动点Q在平面ABCD内，且QB=3QF ①求三棱锥P-ABQ的体积的最大值： ②求直线PQ与平面PBD所成角的正弦值的最大值 设（们分）尼知腾圆八导号 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P为椭圆厂上 的一点，且△PF,F的周长为6，椭圆的离心率为2 (1)求椭圆T的方程： (2)直线1与椭圆厂相交于M(x1,为)，N(x2,y2)(:1≠x)两点. ①若线段MN的垂直平分线与x轴的交点坐标为(x。,0),求x。的取值范围； ②已知点C(4,2),A,B分别为椭圆「的左、右顶点，0为坐标原点，直线BM与OC 交于点H,点N与点Q关于原点对称，A,H,Q三点共线，求证：直线I经过定点. 高二·数学第4页（共4页）