河南巩义市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试题

2025一2026学年上学期期末考试 高二年级数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置」 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选 择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效， 4.考试结束后，将答题卡交回， 第I卷（选择题共58分）】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上 1.若直线1的一个方向向量为(1，-3)，则它的倾斜角为 A.309 B.150° C.120° D.60° 2.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若a2=2,S=25,则a4= () 毛 A.5 B.6 C.7 D.8 3.若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-y-3=0之间的距离是5，则m+n= A.-10 B.0 C.1 D.10 4.如图，空间四边形0A-,0B=i,0C=c,点M在0A上，且O=子O,点N为BC中 点，则M示= n B.-221,1- 3+ 2b+2 c8+6- 高二数学第1页（共4页） 5.已知数列{a.}满足：a1=2,an+1+an=4n-3(n∈N·),则数列{an}的前4项和S4= A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，在空间四面体ABDC中，已知AC⊥AB,BD⊥AB,AB=2,AC =3,BD=4,CD=√7，则异面直线AC与BD所成角是 ( A.30° B.45° C.60° D.120° 7.圆C1:(x-2)2+y2=4,圆C2:x2+y2-4y=0,则圆C,与C2 （.) A.相离 B.关于直线x-y=0对称 C.有3条公切线 D.公共弦所在直线方程为x+y+1=0 已知R,分别是双曲线后-茶=1(a>0,6>0)的左，右熊点P为双线右支上- 点，LF,PF2=60°，∠F,PF2的角平分线PA交x轴于点A,F,A=3AF,则双曲线的离 心率为 () A马号 B.7 C.5 D.3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等比数列{an}的公比为g,前n项和为S.,a1+a2=3,a4+a5=24,则下列说法正确 的是 () A.q=2 B=9 C.数列{log2an}是公差为1的等差数列 D.a1aaa-1a,=2Ψ 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为B,C,边的中点，点P在底面 ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有 A.当点P与B重合时，有D,P⊥A,D B,点B到平面ACM的距离为号 C.点A1到直线AM的距离为1 D D.点N在棱BB,上，且B,N=4NB,存在点P,使得DP⊥NP P 高二数学第2页（共4页）》 11.已知曲线2+y2=lx半l,点P(m,n)在曲线D上，则下列结论中，正确的是 ( A.曲线2既是中心对称又是轴对称图形 B.曲线围成的图形的面积为T+2,上31.中网学墙 Cm22的最小值为-1 前咖@0户￥， ,“ D.点P(m,n)到直线x+y+3=0的距离的最大值为52 第Ⅱ卷（非选择题共92分）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 D已知方程。+二1表示椭肉，则m的取值范围易 13.在空间直角坐标系中，平面aα的一个法向量的坐标为(4,4，-7)，直线1的一个方向向 量的坐标为(8,4，)，则直线1与平面α所成角的余弦值为》 14.若正整数m,n的公约数只有1，则称m,n互质，对于正整数n,p(n)是小于或等于n 的正整数中与n互质的数的个数.函数p(n)以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧 拉画数.例如：p1)1e(3)=2e(4)）=2.p(5)=4若数列侣别 的前n项和为 Sn,则Sn= 四、解答题本题共5小题，共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤兰 15.(13分)已知动点P到直线x年，6的距离与到点(60)距离相等，设动点P的轨迹为 曲线E.呢，+ =,,将n9大公0军日七 (1)求曲线E的方程； (2)直线1与曲线E交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(5，-6)，求直线1的 0 方程. =m,DDrG较没各1基公， 在立4，是中心，中○一出：·式外手.心 16.(15分)已知圆C过两点A(-1,1),B(1,3),且圆心C在直线x2+1=0上.日 1)求圆C的标准方程； 40,:,注15 (2)求过点P(3,4)的圆C的切线方程 休附馆话狂南出 武州拉文h 路，克4，月，6 高二数学第3页（共4页） 17.(15分)在正四棱柱ABCD-AB,C,D,中，已知AM,=3AD,点E,F,G满足BB=3B正， C C=3 C F,DD =3 DG. (1)证明：A,E,F,G四点共面； (2)求平面AEFG与平面B,BCC,夹角的余弦值. B x中学“，十的5本客等 G D 了分品公点域装的装. 18(17分)已知等比数列{a,的前n项和为且a。-3.+1(neN)。 (1)求数列{a,}通项公式；心产 实， 2n+1,n为奇数 宝食王此带.冷来音通要燕西 (2)若求数列{bn}满足bn= a,n为偶数，求数列化，的前2n项和7 14 (3)在a.与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成-个公差为dn的等差数列，在 数列{d.}中是否存在3项dm,d,d,(其中m,k;p成等差数列)成等比数列？若存在， 求出这样的3项；若不存在，请说明理由。 .n.9守的50：- 9.7分)已知椭圆C:名+ +京=1(a>6>0),焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之 2 和为26. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的右焦点F,交椭圆C于A,B两点.记线段AB 的中点为N,直线ON交直线x=3于点M(0为坐标原点)，直线MF交椭圆C于P,Q 两点。 ①求证：∠MFA=90°； ②求四边形APBQ面积的最小值 高二数学第4页（共4页）2025一2026学年上学期期末考试 高二年级数学参考答案 题号 1 3 4 6 9 10 11 答案 C D B D B A BC ABD ABC 12.{ml1<m<3,且m≠2} 1345 4多-() 15.(1)由已知得：动点M的轨迹是以(6,0)为焦点，x=-6为准线的抛物线 所以曲线E的方程为y2=24x.…5分 y听=24x1, (2)设A(x1y1),B(x2,y2),则{ 2=24x2, 两式相减得-号=24(x1-2),由题意易知x1≠x2, 整理可得业=24 x1-x2y1+y2 因为线段AB的中点坐标为(5，-6)，易知(5，-6)在抛物线内部，且y1+y2=-12, 所以直线1的斜率=-上=24」 新-光12-2，……11分 故直线l的方程为y+6=-2(x-5),即2x+y-4=0.…13分 16.(1)因为圆心C在直线x-2y+1=0上，设圆心为C(2t-1,t), 因为点A(-1,1),B(1,3)在圆C上，所以1CA|=1CB1,即√4+(t-1)7= √(2-2)2+(t-3)7,解得t=1,所以圆心C(1,1),…4分 半径r=|CA|=2,… 6分 所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y-1)2=4;…7分 (2)由(1)可得圆C:(x-1)2+(y-1)2=4, 则圆心C(1,1),半径r=2, 因为(3-1)2+(4-1)2>4，则点P在圆C外， 当过点P(3,4)的直线斜率不存在，则直线方程为x=3. 圆心C到直线x=3的距离为2，故直线x=3为圆C的切线；…9分 当过点P(3,4)的直线斜率存在，可设直线方程y-4=k(x-3),即x-y-3k+4=0, 圆心C到该直线的距离d=13-2 10分 √2+1 高二数学参考答案第1页（共4页） 由直线-y-3k+4=0与圆C相切，则d=,即13-2型=2，…12分 1+ 可得4松-12k+9=4+4,解得=名 …13分 此时，直线方程为)y-4=高(x-3),即5x-12+3=0: …14分 综上，切线的方程为x=3或5x-12y+33=0;…15分 17.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系， 设AD=1,则A41=3,所以A(1,0,0) 因为BB=3B正，CC=3C,DD=3DG, D 所以E(1,1,1),F(0,1,2),G(0,0,1).…2分 B 所以4G=(-1,0,1).E7=(-1,0,1), 所以AG=E疗，… 6分 所以A,E,F,G四点共面.…7分 (2)因为DC⊥平面B,BCC1, 所以平面B,BCC,的一个法向量为m=(0,1,0).…9分 因为A(1,0,0),E(1,1,1)所以AE=(0,1,1) 设平面AEFFG的法向量为n=(x,y,z), 「n·AG=0 「-x+z=0 则。·正-0即+:=0 取x=1,则z=1,y=-1,所以n=(1,-1,1).…11分 设平面AEFG与平面B,BCC1的夹角为0， 则cos0=1cos<m,n>|= (0,1,0)·(1-11) -3 1×5 3 …13分 所以平面4BFG与平面B,BC,夹角的余弦值为写 …15分 18.(1)解：由数列{an}满足an+1=3Sn+1(n∈N), 当n=1时，a2=3S1+1=3a1+1, 当n≥2，n∈N时，n=3Sn-1+1,…2分 两式相减，可得an+1-an=3an(n≥2)， 整理得a1=40(n≥2)，即=4(n≥2)，…3分 又a2=3a1+1,且{an}是等比数列，则其公比为4，所以a2=3a1+1=4a1,即a1=1, 高二数学参考答案第2页（共4页） 所以{an}的通项公式为：0n=1×4"-1=4”-1;…5分 2n+1,n为奇数 (2)由题意，bn= an,n为偶数 则前2n项中： 奇数项：b1,b3,…,b2m-1,共n项，是首项为3，公差为4的等差数列（因为2(2k-1)+1 =4k-1,相邻两项差为4)，则5奇=3n+mm,-》.4=2n2+n…8分 2 偶数项：b2,b4,…,b2n,共n项，对应2，a4,…,a2m,是首项为4，公比为16的等比数列 (ax=44-=4×16-,则：54=4(6D.416- …11分 16-1 15 因此前2n项和为： ,42m+1-4 72.=S务+Sg=n(2n+1）+416-D=2n2+n+4 …12分 15 15 (3)由(1)知an=4"-l,an+1=4",因为a+1=an+(n+2-1)dn=am+(n+1)dm, 所以4"=4"-l+(n+1)dn,整理得：4×4-I-4-1=(n+1)dn, 所以3×4-=(n+1)d,即d,=3×4- n+1, ………14分 因为m,k,p成等差数列，即2k=m+p(m<k<p), 假设dm,d,d。成等比数列，则d=dnd,代入dn的表达式： /3·4-23·4m-3·4-」 42%-2 4m+p-2 k+1 m+1·p+,化简得：+m+7 由2k=m+p,得424-2=4+p2,故：(k+1)2=(m+1)(p+1),… 16分 结合2k=m+p,(m+1)(p+1)≤ （m+1)+(p+1)〉 =(k+1)2, 2 等号仅当m=p=k时成立，这与题设(m,k,P互不相等)矛盾. 故数列{dn}中不存在3项dm,d,d,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列.…17分 2c=4 19.（1)由题意得{2a=26,解得a=6;b=√2，c=2 a2=b2+c2 所以椭圆C的标准方程为 ，…4分 (2)①由(1)知点F(2,0),则直线1的方程为y=k(x一2)， 设A(x1,y1),B(x2,y2), x2+3y=6 由 消去y得(3k2+1)x2-122x+122-6=0, y=k(x-2) 高二数学参考答案第3页（共4页） 则△=144-24(22一1)(32+1)=24(k2+1)>0, 则y1+y2=k(x1+x2)一4h= -4h 7分 3k2+1' -2k 所以线段AB的中点为N 6k2 32+1'32+1 所以直线ON的斜率kN=~3 …8分 则直线0N:y=交交直线x=3于点M3,-}】 1-0 因此直线MF的斜率r=3-2=-方， 即kMr·A=-1, 则直线MF与直线AB垂直， 所以∠MFA=90°. 10分 ②由①知，I4B1=√1+k1x1-x2l=√1+k√(x1+x2)2-4xx2 =√1+ 12k2 1+32 -4.122-6=26(2+) 1+3k2-3k2+1 …12分 直线MF的方程为y=-左(x-2), 同理得PQ1 26+ 26(1+2) 、2 3+k2 …13分 因此四边形APBQ的面积 s)=aP0=}.22.261:21+的 3k2+1 3+2 (32+1)(3+),…14分 而(3+1)(3+)≤[3+1)+(3+) 2 =4(1+k2)2,…16分 当且仅当3k2+1=3+k2,即k=±1时取等号， 12(1+2)2、12(1+2)2 则s(k)=32+i)(3+)产4(1+) =3 所以四边形APBQ面积的最小值为3.…17分 高二数学参考答案第4页（共4页）