精品解析：河北保定市定州市2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 汉字是世界上最美的文字，有的汉字是轴对称图形．辞旧迎新，马年将至，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 马 B. 年 C. 吉 D. 祥 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果分式的值为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11. 如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为（ ） A. （4，1） B. （4， 2） C. （2，2） D. （4， 2）或（2，4） 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 14. 计算：________. 15. 分解因式：______． 16. 如图，是的角平分线，的面积为，长为，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）解分式方程：． 18. （1）已知：，求代数式的值． （2）先化简，再求值：．其中． 19. 如图，在直角坐标平面内，已知点，点平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）画出关于轴对称的． 20. 对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． （1）求的值； （2）求方程的解． 21. 如图，在四边形中，，连接，求证：． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 23. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 汉字是世界上最美的文字，有的汉字是轴对称图形．辞旧迎新，马年将至，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 马 B. 年 C. 吉 D. 祥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A 4. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如果分式的值为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分式的分母不为零且分子为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故选：B． 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； 符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：． 8. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， 平分． 故选：D． 9. 如图，在四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 根据四边形的内角和定理求出，再根据五边形的内角和定理列式求解即可． 【详解】解：在四边形中， ， ， 在五边形中， ， ， 故选：． 10. 如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出∠B=30°，结合EF=2，得到BF，连接AF，根据垂直平分线的性质得到FA=FB=4，再证明∠DAF=∠D，得到DF=AF=4即可． 【详解】解：∵DE⊥AB， 则在△AED中，∵∠D=30°， ∴∠DAE=60°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， 在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2， ∴BF=4， 连接AF，∵DE是AB的垂直平分线， ∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°， ∵∠BAC=60°， ∴∠DAF=30°， ∵∠D=30°， ∴∠DAF=∠D， ∴DF=AF=4， 故选B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相应定理，构造线段AF． 11. 如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为（ ） A. （4，1） B. （4， 2） C. （2，2） D. （4， 2）或（2，4） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可证当OP=CD时，△COD≌△OAP，或者△COD≌△OCP，从而得到OD=AP或OD=CP，即可得出结论． 【详解】由题可得：OC=AO=4，∠COD=∠OAP=90°， 当P运动至AB上时， 当OP=CD时，在Rt△COD与Rt△OAP中， ∴Rt△COD≌Rt△OAP（HL）， ∴OD=AP， ∵D为OA的中点， ∴OD=2，则AP=2， ∴P的坐标为（4，2）， 同理，当P运动至BC上时，当OP=CD时，有Rt△COD≌Rt△OCP， 此时OD=CP=2，则P的坐标为（2，4）， 综上，运动过程中P的坐标可为（4，2）或（2，4）， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质等，灵活根根据题意证明全等并运用全等三角形的性质是解题关键． 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 14. 计算：________. 【答案】 【解析】 【详解】公分母为x﹣5，将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分： ． 15. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先展开得到二次三项式，然后合并常数项，最后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为． 16. 如图，是的角平分线，的面积为，长为，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作点A关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值为，过A作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】作点A关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值为， 过A作于， 的面积为，长为， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称：最短路线问题、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的四则混合运算，解分式方程． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， 经检验是分式方程的根， ∴． 18. （1）已知：，求代数式的值． （2）先化简，再求值：．其中． 【答案】4；， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式； （1）先去括号，合并同类项，再将变形后代入计算即可； （2）先因式分解，再约分，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：即 （2）解： 当时，． 19. 如图，在直角坐标平面内，已知点，点平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）画出关于轴对称的． 【答案】（1） （2）如图所示． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握平行x轴的直线上点坐标特征，关于y轴对称的点坐标特征，网格三角形面积计算，是解决本题的关键． （1）根据平行于轴，得，解得，则，即得； （2）写出点A、B、C关于y轴的对称点，描点，连线，即得． 【小问1详解】 解：，点平行于轴， ， 解得：， 则， ； 【小问2详解】 解：关于y轴的对称点为， 描点，连线，即得， 20. 对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． （1）求的值； （2）求方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程； （1）按照新运算的公式计算即可； （2）先将目标式变形为分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 当，，所以是原方程的解。 21. 如图，在四边形中，，连接，求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 【解析】 【分析】根据已知条件得到，再求出，得证. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，属于基础题. 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 23. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再根据即可求证； （2）由三角形外角的性质可得，，由（1）可得，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由三角形外角的性质可得：， 由（1）可得 ∴， ∵点，，在同一直线上 ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 24. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）至少购进A型机器人14台． 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料， 根据题意，得， 解得：x=120， 经检验，x=120是所列方程的解， 当x=120时，x+30=150， 答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料； （2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台， 根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800， 解得a≥， ∵a是整数， ∴a≥14， 答：至少购进A型机器人14台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及不等关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $