精品解析：山西省大同市第三中学校2025-2026学年度第一学期八年级期末测试题数学

大同三中2025~2026年度第一学期八年级期末测试题 数学 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下图所示的四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：C项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 2. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故． 【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位， ∴， 故选：C． 3. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项D中是的高． 故选：D． 4. 马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 5. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式，分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法和加法运算，需根据运算法则逐一判断，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 8. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，点关于轴的对称点的坐标为，则与的数量关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据作图方法可得点在第二象限角平分线上，点到轴、轴的距离相等，∵点关于轴的对称点的坐标为，故． 10. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 13. 如图，已知，若 ，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为6米，则松树断裂前的高为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由题意可得，米，，由直角三角形的性质可得米，即可得解． 【详解】解：由题意可得，，米，， ∴米， ∴松树断裂前的高为米， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为10，则周长的最小值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，，由作图可得垂直平分，则，从而得出，当且仅当点在上时取等号，即的最小值为，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式求出，结合周长，且为定值，得出当的值最小时，周长最小，由此即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点在上时取等号， ∴的最小值为， ∵在中，，D为的中点， ∴，， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∵周长，且为定值， ∴当的值最小时，周长最小，为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算．熟悉实数的混合运算的运算法则：包括绝对值的性质、零指数幂的定义、负整数指数幂的定义，整式的混合运算：包括完全平方公式的展开、单项式乘多项式的运算，是解题的关键． （1）根据绝对值的性质、零指数幂的定义、负整数指数幂的定义，依次计算即可． （2）根据完全平方公式展开，单项式依次乘多项式的每一项后再相加，去括号后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，． （1）请在图中画出； （2）将点，，横坐标分别乘以，纵坐标不变，依次得到，，，请在图中画出，并写出和的位置关系是_________； （3）若点是内一点，点是内点的对应点，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得点，则点的坐标是________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，关于轴对称 （3） 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与图形、点坐标与轴对称变换、点坐标与平移变换，熟练掌握点坐标的轴对称和平移变换规律是解题关键． （1）先画出点，再顺次连接即可得； （2）先求出点的坐标，再画出点，顺次连接即可得，然后根据轴对称图形的定义即可得； （3）先根据点坐标与轴对称变换可得点，再根据点坐标与平移变换规律即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：∵将点，，横坐标分别乘以，纵坐标不变，依次得到，，， ∴，，， 如图，即为所求． 则和的位置关系是关于轴对称， 故答案为：关于轴对称． 【小问3详解】 解：∵和的位置关系是关于轴对称，是内一点，点是内点的对应点， ∴， ∵将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得点， ∴， 故答案为：． 20. 大运（大同一运城）高速铁路纵贯山西南北，穿越三晋腹地，助力山西的经济发展．高铁开通前，从大同开往运城的某次普通列车，运行距离是．大运高速开通后，从大同开往运城的某次动车，运行距离是．从大同开往运城，动车花费的时间比普通列车少，动车的平均速度是普通列车的3倍，求动车的平均速度． 【答案】动车的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为， 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：动车的平均速度为． 21. 【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题： 如图（1），在与中，，，． 求证：． 【方法探究】以下是小强的方法： 证明：如图②，延长AC至点使，连结BG． ， ．（ ） ． 接下来只需证明，小强就能解决该问题了， （1）（ ）中应填写的理论依据为__________． （2）请补全证明过程． 【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍半关系，可谓一举两得 ． 【方法应用】如图③，在与中，若，，，则__________． 【答案】[方法探究]（1）等边对等角；（2）见解析；[方法应用]． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． [方法探究]（1）由等腰三角形的性质可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； [方法应用]延长到，使，证明，得出，由三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】[方法探究]（1）证明：延长至点使，连结． ， （等边对等角）． ． 故答案为：等边对等角； （2）证明：延长至点使，连结． ， （等边对等角）． ． 补全过程为：， ， 即． ，， ， ， ． [方法应用]解：延长到，使， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 22. （1）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． 比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式：___________（用字母、表示）； （2）将边长分别为的正方形各1个，以及长为，宽为的长方形2个，拼接成正方形（如图3）．（卡片间不重叠、无缝隙） 则由图3可以得到等式：___________（用字母、表示）； 嘉嘉将边长分别为的正方形按适当方式摆放，利用（1）（2）得到的等式很方便就能解决下面的问题，请你也来试试． （3）将正方形按如图4所示的方法摆放，其中边在同一条直线上，且点与点重合，点在上，点在上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是___________； （4）将图4中正方形沿向下翻折，得到如图5，已知，阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的几何应用． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用大正方形的面积等于两个小正方形与两个长方形的面积和可得公式； （3）由正方形的面积差为，可得，再列式计算阴影部分的面积即可； （4）由题意可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； （2）由题意可得：乘法公式为：； （3）∵两个正方形的面积差为， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积是： ； （4）∵阴影部分的面积为15， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∴两正方形的面积和为． 23. 综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°； 【类比探究】 ②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？ 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________． 【答案】（1）①，；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①由题意可得，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出结果；②由题意可得，由等边三角形的性质可得,再证明，得出，从而得出，即可得出结果； （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，，再根据，计算即可得出结果． 【详解】解：（1）①由题意可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②由题意可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同三中2025~2026年度第一学期八年级期末测试题 数学 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下图所示的四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，点关于轴的对称点的坐标为，则与的数量关系为（ ）． A. B. C. D. 10. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 12. 如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是________． 13. 如图，已知，若 ，则的长为______． 14. 如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为6米，则松树断裂前的高为_______米． 15. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为10，则周长的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算题 （1）； （2）． 17. 因式分解 （1） （2） 18. 解分式方程： 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，． （1）请在图中画出； （2）将点，，横坐标分别乘以，纵坐标不变，依次得到，，，请在图中画出，并写出和的位置关系是_________； （3）若点是内一点，点是内点的对应点，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得点，则点的坐标是________． 20. 大运（大同一运城）高速铁路纵贯山西南北，穿越三晋腹地，助力山西的经济发展．高铁开通前，从大同开往运城的某次普通列车，运行距离是．大运高速开通后，从大同开往运城的某次动车，运行距离是．从大同开往运城，动车花费的时间比普通列车少，动车的平均速度是普通列车的3倍，求动车的平均速度． 21. 【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题： 如图（1），在与中，，，． 求证：． 【方法探究】以下是小强的方法： 证明：如图②，延长AC至点使，连结BG． ， ．（ ） ． 接下来只需证明，小强就能解决该问题了， （1）（ ）中应填写的理论依据为__________． （2）请补全证明过程． 【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍半关系，可谓一举两得 ． 【方法应用】如图③，在与中，若，，，则__________． 22. （1）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． 比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式：___________（用字母、表示）； （2）将边长分别为的正方形各1个，以及长为，宽为的长方形2个，拼接成正方形（如图3）．（卡片间不重叠、无缝隙） 则由图3可以得到等式：___________（用字母、表示）； 嘉嘉将边长分别为的正方形按适当方式摆放，利用（1）（2）得到的等式很方便就能解决下面的问题，请你也来试试． （3）将正方形按如图4所示的方法摆放，其中边在同一条直线上，且点与点重合，点在上，点在上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是___________； （4）将图4中正方形沿向下翻折，得到如图5，已知，阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和． 23. 综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°； 【类比探究】 ②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？ 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $