精品解析：河南省 驻马店市第二初级中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年九年级上册数学期末测试 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，，若，则的值是（   ） A. B. C. D. 5. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 7. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数的图象上，则 8. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象经过第二象限的函数表达式：_______． 12. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 14. 如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 15. 如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）解方程； （2）． 17. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________； （2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 18. 安阳文峰塔始建于五代后周广顺二年，距今已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．某数学活动小组到达该景区，利用无人机测量这座塔高．如图，他们先控制无人机到点D处悬停，此时，从遥控器飞行数据中得到无人机距离地面的高度为，观测到塔底点处的俯角为，塔顶点处的仰角为，且点，，，，在同一个平面内，求塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点，． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 20. 长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 21. 如图，AB为的直径，点C是上一点，过点A作的切线交BC的延长线于点D，连接AC． （1）求作：过点A作AE平分∠BAC交⊙O于点E；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，记AE与BD交于点F． ①求证：DF＝AD； ②若AB＝8，当四边形COBE为菱形时，求CD的长． 22. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； （3）若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出的取值范围． 23. 【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学期末测试 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了左视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图是． 故选：A． 2. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 3. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 4. 在中，，若，则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义可得，据此解答即可． 【详解】解：如图： 在中，， 、， ， 故答案为：C． 5. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次数据扩容的平均增长率为x，根据初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，进行列方程，得，即可作答． 【详解】解：∵ 初始数据量为500万亿，每次增长率为x， 经过第一次增长后为， 经过第二次增长后为， ∴ 故选：C． 6. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键． 7. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，其中，根据的符号判断图象所在象限、点的位置、增减性及比较函数值即可． 【详解】解：A．∵， ∴图象在第一、三象限，故A正确； B．当时，，故点在图象上，故B正确； C．当时，随的增大而减小，故C不正确； D．，， ∴，故D正确． 故选：C． 8. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ① （①，②） （①，③） （①，④） ② （②，①） （②，③） （②，④） ③ （③，①） （③，②） （③，④） ④ （④，①） （④，②） （④，③） 共有12种等可能的结果，其中所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果有：（①，②），（①，③），（①，④），（②，①），（③，①），（④，①），共6种， ∴所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为． 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟悉掌握位似变换的概念是解题的关键． 根据图形的相似比，分类讨论位似图形的位置情况解答即可． 【详解】解：∵相似比为， ∴当所画四边形与四边形同侧时，，则对应点为：； 当所画四边形与四边形关于原点中心对称方向时，，则对应点为：； 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，图象上坐标的特征等知识，根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 当时，， ， ∵对称轴为直线， ， ，故①符合题意； ②∵对称轴为直线， ∴， ，故②不符合题意； ③根据图象可知，当时，，故③符合题意； ④有两个不同的实数根， ，故④不符合题意； ⑤距对称轴的距离为， 距对称轴的距离为， 与相比，距对称轴的距离更近， ，故⑤符合题意， 综上，符合题意的有个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象经过第二象限的函数表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据一次函数满足或，；反比例函数需满足；二次函数需满足或，；写出图象经过第二象限的函数表达式即可． 【详解】解：（答案不唯一）.若是一次函数，需满足或，； 若是反比例函数，需满足； 若是二次函数，需满足或，； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，通过设点的坐标表示矩形的面积是解决本题的关键．设的坐标为，将点代入反比例函数，得出，然后用坐标表示矩形的面积，从而得出关系式，即可求出的值． 【详解】解：设的坐标为， 点在反比例函数上， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：2． 13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 14. 如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 15. 如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为_____． 【答案】2或12 【解析】 【分析】根据关于对称的图形为，，，可得，，，若是直角三角形，根据题意可得不可能为直角，故分为和当时，画出图形，则，证明四边形是矩形，得出，证得四边形是正方形，可得，即可求出；当时，画出图形，过点作，证明四边形 是矩形，得出，勾股定理求出，得出，设，则，在中根据勾股定理列方程求出，即可解答； 【详解】解：∵关于对称的图形为，，，， ∴，，， 若是直角三角形， 分为和 当时，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 当时，如图 过点作， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， ∴， 综上，则的长为2或12； 故答案为：2或12． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）解方程； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，和特殊角的锐角三角函数值的运算，掌握解一元二次方程的方法和特殊角的锐角三角函数值是解题关键． （1）按照解一元二次方程的方法计算即可； （2）代入特殊角的锐角三角函数值，再计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：原式． 17. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________； （2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占比，即可得出答案； （2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， （人） ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为， 答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 18. 安阳文峰塔始建于五代后周广顺二年，距今已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．某数学活动小组到达该景区，利用无人机测量这座塔高．如图，他们先控制无人机到点D处悬停，此时，从遥控器飞行数据中得到无人机距离地面的高度为，观测到塔底点处的俯角为，塔顶点处的仰角为，且点，，，，在同一个平面内，求塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形并运用锐角三角函数值计算是解题关键． 过点D作的平行线，借助锐角三角函数求值，再通过线段和差运算求解即可． 【详解】解：过点D作，交于点H， 由题意，可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：塔的高度约为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点，． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． 20. 长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2）工人直立时头顶不会触碰到桥拱 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点代入求解即可； （2）根据工人距点的距离求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵，桥拱顶点到水面的距离是， ∴顶点的坐标为， 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴桥大拱部分抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入解析式得， ∵， ∴工人直立时头顶不会触碰到桥拱． 21. 如图，AB为的直径，点C是上一点，过点A作的切线交BC的延长线于点D，连接AC． （1）求作：过点A作AE平分∠BAC交⊙O于点E；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，记AE与BD交于点F． ①求证：DF＝AD； ②若AB＝8，当四边形COBE为菱形时，求CD的长． 【答案】（1） 如图，AE即为所求角平分线； （2）①如图，连接BE， ∵AD是的切线， ∴， ∴， ∵AE平分， ∴， ∵∠EBC=∠CAE， ∴， ∴， ∵AB为的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点P，作射线AP交于点E，即可求解； （2）①连接BE，根据切线的性质可得，再由AE平分，可得，然后根据AB为的直径，可得．从而得到，即可求证； ②连接OE，根据四边形COBE为菱形，可得△OBE是等边三角形，进而得到∠ABC=∠CBE=30°，再由直角三角形的性质，可得，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：略 ① ②如图，连接OE， ∵四边形COBE为菱形， ∴OB=BE，∠ABC=∠CBE， ∵OE=OB， ∴OB=OE=BE， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠OBE=60°， ∴∠ABC=∠CBE=30°， ∵AB为的直径， ∴∠ACB=90°， ∴， ∴， ∵AD是的切线， ∴∠BAD=90°， ∴BD=2AD， ∵AD2+AB2=BD2， ∴AD2+82=（2AD）2，解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题圆的综合题，主要考查了切线的性质，菱形的性质，同角的余角相等，勾股定理，作角平分线的方法，判断出ABOE是等边三角形是解本题的关键． 22. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； （3）若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 画出图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）代入点A的坐标，用待定系数法求解即可； （2）任取二次函数图象上的3个点，求出点坐标，然后描出图象即可； （3）先计算二次函数的最小值，和x取最小值和最大值时，y的值，再根据二次函数图象与一元二次方程的关系，通过图象写出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：任取该二次函数上的三个点， 如当时，； 当时，， 故取点，，； 【小问3详解】 解：， 故该二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 当关于x的一元二次方程有实数根时，二次函数与直线有交点， 由图象可知，满足题意的t的取值范围为． 23. 【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $