检测6指数函数与对数函数 基础卷-2025-2026学年高一上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测6指数函数与对数函数-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（   ） A．e B． C． D． 2．已知函数则（    ） A．0 B．2 C．4 D．16 3．某企业初始年利润为1，每年以的增长率递增，至少经过（    ）年后年利润会翻一番？（参考数据：） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列区间中，方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 6．函数在下列哪个区间上存在零点（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ）． A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数，则 . 13．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 ． 14．已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 17．某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 19．已知奇函数的定义域为. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测6指数函数与对数函数-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（   ） A．e B． C． D． 2．已知函数则（    ） A．0 B．2 C．4 D．16 3．某企业初始年利润为1，每年以的增长率递增，至少经过（    ）年后年利润会翻一番？（参考数据：） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列区间中，方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 6．函数在下列哪个区间上存在零点（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ）． A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数，则 . 13．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 ． 14．已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 17．某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18．已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 19．已知奇函数的定义域为. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B B B C B ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解． 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 2．B 【分析】利用分段函数，结合指数和对数运算求函数值. 【详解】由题意得：， 故选： B 3．B 【分析】根据题意列指数方程，化为对数求解. 【详解】由题，，即，两边同时取以为底的对数， 得，由换底公式， 因为年数为整数，当时，，利润尚未翻一番， 故至少经过年后利润会翻一番， 故选：B. 4．B 【分析】由函数的零点定理进行判断即可. 【详解】设, 因为在上都是增函数, 所以函数在上是增函数, 而, 得, 所以函数在上存在唯一一个零点, 故方程的解所在的区间为, 故选：B 5．B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得，，，即可得答案. 【详解】由题意得，， ，即，故. 故选：B. 6．B 【分析】利用函数的单调性结合零点存在性定理判断区间即可. 【详解】因为和都是R上的增函数， 所以在R上单调递增， 因为，， 所以，所以在有零点， 所以存在唯一零点. 故选：B 7．C 【分析】由奇函数得，又因为，故有，再代入，即可得解. 【详解】由题可知，是奇函数，故有， 又由，可得， 则. 故选：C. 8．B 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断. 【详解】因为与均在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，， 所以的唯一零点在内. 故选：B. 9．ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 10．AC 【分析】由二次函数，对数函数，幂函数，指数函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，由二次函数的性质可得函数的值域为，故A正确； 对于B，由对数函数的性质可得函数的值域为，故B错误； 对于C，由幂函数的性质可得函数的值域为，故C正确； 对于D，由指数函数的性质可得函数的值域为，故D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】利用特殊值法、指数函数和对数函数的性质逐个判断即可． 【详解】对于A，令，，，得，即，故A错误； 对于B，令，是减函数，又，所以，故B正确； 对于C，令，是减函数，又，所以，故C正确； 对于D，由C可知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 12．3 【分析】根据解析式直接代入，结合指数和对数的运算求解. 【详解】. 故答案为：3. 13．4 【分析】直接根据偶函数的定义，将转化成求解即可． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以． 故答案为：4． 14． 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图象：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)3 【分析】（1）结合指数运算性质即可计算； （2）结合对数运算性质即可计算． 【详解】（1）． （2）． 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据指数运算得，最后开根号即可； （2）求出，再根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】（1）由于，则， 故， 因为， 所以. （2）因为，所以， 则. 17．(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义令，解出即可求解； （2）由（1）得，利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得：令，即，解得或（舍去）， 所以； （2）由（1）有：， 又因为在单调递增， 所以，解得， 所以原不等式的解集为：. 19．(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数可得的定义域对称，求得定义域后确定0在定义域中，所以有，进而可计算，的值； （2）不妨设，通过比较和的大小即可确定的增减性； （3）先将原式变换为，再结合奇偶性与增减性即可求该不等式的解集. 【详解】（1）因为是奇函数，所以定义域关于原点对称，故. 此时定义域一定包含；所以，即， 则有，解得， 此时有，，故符合奇函数定义， 故，. （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）得，定义域为， 设， 则， 因为单调递增，且，故，即； 又，，因此，即. 故在上单调递增. （3）原不等式可化为， 由奇函数性质，则有， 又因为在上单调递增， 所以有，解得， 故原不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $