寒假作业09 函数的应用（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 函数的应用 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 3．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 4.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 分段函数模型的应用 1．某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 2．第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程．设该参与者从处出发后，徒步的路程为S米，所用的时间为t分钟． (1)求S关于t的函数解析式； (2)求该参与者徒步全程的路程； (3)求该参与者徒步前半段路程花费的时间． 【答案】(1)； (2)5700（米）； (3)45分钟． 【分析】（1）根据给定的信息，利用速度、时间、路程的关系分段求出即得解析式. （2）由（1）的结论求出函数值. （3）由（2）求出半段路程及所属范围，再列出方程求解. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以S关于t的函数解析式为. （2）由（1）得（米）． （3）由（2）得前半段路程为2850米，， 由，解得， 所以该参与者徒步前半段路程花费的时间为45分钟. 3．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【分析】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【详解】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 题型二 分式函数模型的应用 1．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】(1) (2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 2．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨? (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内? 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）求出购买次数关于的表达式，再乘以每次的运费即可得出关系式； （2）结合（1）中结论，利用基本不等式计算可求得每次购买20吨，一年的总运费与总存储费用之和最小； （3）依题意得出不等式，解不等式即可求得每次购买量的范围. 【详解】（1）依题意可知一年的购买次数共次，且 所以总运费; 因此一年的总运费y与x的函数关系式为； （2）由（1）可知一年的总运费为万元，总存储费用为4x万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和为， 当且仅当，即时，等号成立； 即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小为万元. （3）根据题意可知需满足， 整理可得，即， 解得， 所以每次购买量的范围是. 题型三 函数的零点与方程的解 一、单选题 1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再计算，根据零点存在性定理确定零点存在的区间即可. 【详解】因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，， ，，， 所以函数的零点所在的区间是 故选：D 二、多选题 2．已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 3．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】函数转化为图像交点的问题，然后画出的图像解决. 【详解】函数有三个零点，等价于方程有三个不同的实数解，即直线与函数的图像有三个交点. 如图， 当 时，直线 与() 有一个交点，与 有两个交点，总共三个交点. 故答案为： 题型四 用二分法求方程近似解 一、单选题 1．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二分法的原理计算即可. 【详解】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次二分法的操作，区间的长度变为， 由，解得. 故选：C. 2．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 二、填空题 3．方程在上的近似解为 （精确度为0.1）． 【答案】1.3126（答案不唯一） 【分析】根据二分法，依次计算区间端点及中间点的函数值，根据精确度判断零点所在区间，根据精确度要求写出方程的一个近似解. 【详解】设函数， 区间端点及中点的函数值用二分法逐次计算列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 因为，，， 所以原方程的解在区间上，所以取方程的近似解1.3126. 故答案为：1.3126（答案不唯一） 题型五 函数模型的应用 一、单选题 1．已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为 时，的值约为（    ） 附: . A．67 B．45 C．33 D．78 【答案】A 【分析】根据题意，得到，两边取对数，得到，即可求解. 【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即， 两边取对数得，解得. 故选：A. 二、解答题 2．为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供（万元）的专项补贴.该企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时该企业生产（万件）产品需要投入成本（万元）关于政府补贴（万元）满足函数：现以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据实际意义表示出收益即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数各段的最大值，然后可解. 【详解】（1）由题意， （2）由（1）知，当时，， 则当万元时，最大，其最大值为16万元； 当时，， 当且仅当，即：万元时，最大，其最大值为万元. 所以当（万元）时，该企业收益最大，为万元. 3．一食品生产厂第t年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式．已知该厂第二年比第一年多生产了吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第n年生产该食品的年产量比前一年增加的量不低于吨，求整数n的最小值. 【答案】(1)5； (2)6. 【分析】（1）根据函数关系式直接由第二年比第一年多生产了吨食品解得m的值； （2）由（1）可得函数解析式，进而可得不等式，结合指数函数的性质可得n的最小值. 【详解】（1）由，令，得，令. 又因为该厂第二年比第一年多生产了吨该食品， 所以，即，解得. 故m的值为5. （2）由（1）知，所以，第n年生产该食品的年产量为， 第n年的前一个生产该食品的年产量为，由题意可得， 所以，， ，，即. 下面求满足的最小值n. 当时，，不符合题意； 当时，，且函数在正整数集上是单调递增的， 所以当时，该厂第n年生产该食品的年产量比前一年增加的量不低于吨，所以整数n的最小值为6. 故整数n的最小值为6. 4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少（函数模型如图）.    (1)求血液中酒精含量（单位：）关于时间（单位：小时）的函数解析式； (2)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）.（参考数据：，） 【答案】(1) (2)10个小时 【分析】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，利用待定系数法求解析式，并求出，再由指数型函数模型求时的解析式； （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶，根据题意，，两边取对数，利用换底公式和对数运算性质求解. 【详解】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，设， 函数过点，， ， 解得，，即， 当时，解得， 又当其上升到时，会以每小时的速度减少， 当时，， . （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶， 根据题意，， 即，即， 可得， ， ， 驾驶员至少要经过10个小时才能合法驾驶. 一、单选题 1．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 2．已知函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 在同一直角坐标系中作出函数的图象， 则函数与函数的交点的横坐标分别为，    由图可知，. 故选：B. 3．某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（m为常数）．若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】通过储存6年的函数值得到的取值，再利用幂的运算性质，将储存12年的函数值转化为的平方形式代入计算. 【详解】由，得. 当时，， 代入，得. 故选：B 4．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性与零点存在定理求解即可. 【详解】由于单调递增，且， 则零点所在的区间为， 故选：B. 5．设函数，若函数与都没有零点，则函数与（   ） A．恰有一个零点 B．至少有一个没有零点 C．至少有一个有零点 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过定义、的值域，结合已知的无零点条件，分值域的包含（或相等）关系讨论，推导与的零点情况. 【详解】设二次函数的值域为集合， 指数函数的值域为集合. 由“无零点”，得方程在时无实根； 由“无零点”，得方程在时无实根. 分三种情况讨论与的关系： ①若： 的自变量， 结合“在无实根”，得无零点； ②若： 的自变量， 结合“在无实根”，得无零点； ③若： 的自变量， 的自变量，故两者均无零点. 综上，函数与至少有一个没有零点. 故选：B 二、填空题 6．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先化简函数可得：，然后根据题意将问题转化为在上有两个解，最后根据二次函数判别式和韦达定理进行求解即可. 【详解】已知，其定义域为， 因此可将函数化简为， 由于函数有两个零点，即方程在上有两个解， 即方程在上有两个解， 当时，方程仅有一个正根，不符合题意； 当时，需满足：，得：，解得：. 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为： 7．已知函数，其中且.若函数恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，由可得，分析可知，则直线与函数的图象有四个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，则，令，可得， 当时，由，由于， 此时方程无实数解； 当时，由可得， 所以关于的方程有四个不同的实数解，显然，所以， 故直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有四个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 8．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)元，元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 9．设函数. (1)求当时，的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，则，可得，因为，且，进而求解时的解析式； （2）根据解析式，且，即可直接判断该函数为奇函数； （3）根据题意分析，等价于，，求出的解析式，即可得到其在内的最值，进而解出关于的不等式即可. 【详解】（1）由， 令，则，所以， 所以， 又，所以， 所以当时，. （2）是奇函数. 由（1）知，时，， 则，即， 当时，，由（1）知，， 而， 故当时，， 且，则是奇函数. （3）若， 则满足，， 由（1）知，， 所以时，； 当时，，； 当时，. 所以， 当时，的图像在上递减，在上递增， 且时，，时，， 所以当时，， 所以，， 所以，即， 所以或. 即的取值范围为. 10．某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？ (2)如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放药剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的最大值. 【答案】(1)21 (2) 【分析】（1）当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可； （2）分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可． 【详解】（1）当时，， ①当时，恒成立， 即当时，自来水达到有效净化的标准； ②当时，由，解得， 即当时，自来水达到有效净化的标准. 由①②可知当时，自来水均能达到有效净化的标准， 也即自来水达到有效净化一共可持续21天. （2）因为从投放药剂第1天算起到第9天结束， 所以， ③当时，，设， 则，即， 则函数在区间上为增函数，故，即， ④当时，，设. 则，即， 则函数在区间上为减函数， 故，即； 由③④得， 又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳净化标准， 所以必有，解得， 所以投放的药剂质量的最大值为. 11．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点． (1)若函数（且），求的局部对称点； (2)若函数，设函数，若在上有局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出，由得到的方程计算得解. （2）求出，，由在上有局部对称点得到，即得到，设，利用基本不等式得到，将代入，得到，故在的范围内有实数解，设，则有或，计算得到实数的取值范围. 【详解】（1），， 设，即， 即，即， ，，， 的局部对称点为或. （2），， ， ， 在上有局部对称点， 设， ， ， ， ， ， 设，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故， 将代入， 得到， 故在的范围内有实数解， 设， 则有或， 即或， 解得或， 即， 故实数的取值范围为. 一、单选题 1．“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先求出各个函数的解析式，进而判断各选项即可. 【详解】由题意，， ， ， . 对于A，，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确. 故选：D 2．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，确定，进而可求解. 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，． 故选：B． 3．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明・《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是，一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：，，）（   ） A．68天 B．70天 C．71天 D．73天 【答案】B 【分析】，两边取常用对数，解方程，得到答案. 【详解】由题意得，两边取常用对数得， 即，. 故选：B 二、多选题 4．若函数在（）上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BCD 【分析】根据“完美函数”的定义逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A,,当时,,当时,,, 不满足,故A不是"完美函数"; 对于B,,当时,,当时,, ,故B是"完美函数"; 对于C,,当时,,当时,, ,故C是"完美函数"; 对于D,,设, 则, 当时,,当时,,,故D是"完美函数". 故选：BCD. 5．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．函数的值域是 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可. 【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确； 对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确； 对C，函数，当时，，故C错误； 对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（   ） A．函数的最大值为1； B．函数的最小值为0 C．函数的图象与直线有无数个交点 D．函数是增函数 【答案】BC 【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解. 【详解】由题意， 对于A：函数，故A错误； 对于B：函数的最小值为0，故B正确； 对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确； 对于D：函数不是上的增函数，故D错误； 故选：BC 三、填空题 7．函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先由零点定义结合求得，再逐一分析取值得有6个零点，再根据的定义，解不等式即可. 【详解】令，则有，即， 又因为表示不超过的最大整数，所以， 从而得， 由可得，由，可得， 所以， 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 因为， 所以当或均不满足题意； 所以的值只能取，即有个零点，所以； 所以不等式即为， 即，解得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以不等式的解集. 故答案为： 四、解答题 8．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， (1)对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】(1)为定值，定值为 (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. （2）， ，得证. （3）依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 9．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. (1)判断函数是不是倒函数，并说明理由； (2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 【答案】(1)函数是倒函数，理由见解析 (2) (3)有， 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解； （3）当时结合函数的单调性及函数值得到，从而得解. 【详解】（1）函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 对任意的， 函数是倒函数. （2）当时，， 因为当时，，所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. （3）方程有正整数解，理由如下： 当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为，，， 所以是方程的一个正整数解， 由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解. 10．列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为. (1)求的值； (2)解不等式：； (3)函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，列不等式求解即可. 【详解】（1）. （2）因为恒成立，故是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为. （3）因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，. 作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间：月日 天气： 作业09函数的应用 积累运用 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根一函数y=f(x)的图象与x轴有交点台函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数图象与零点的关系 △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 可x1x2x 0 与x轴的交点 (x1,0),(x2.0) (x10 无 零点个数 2 1 0 3.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax-十c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y=x+(a>0) 4.三种函数模型的性质 函数 y=a*(a>1) y=logax(a>1) y=x"(n>0) 性质 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在(0，十∞) 单调递增 单调递增 单调递增 上的单调性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大，逐渐表 随x的增大，逐渐表 随n值变化而各有不 图象的变化 现为与y轴平行 现为与x轴平行 同 值的比较 存在一个xo,当x>xo时，有10gax<x<a× 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 题型一分段函数模型的应用 1.某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，己知总收入R(单位： 元)关于月产量x(单位：台)满足函数：R= 300.x- )x2,0≤x<300 60000,x≥300 ()将利润P(单位：元)表示为月产量x的函数： (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 2.第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民 健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以 70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息 半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程.设该参与者从A处出发后， 徒步的路程为S米，所用的时间为1分钟 (1)求S关于t的函数解析式： (2)求该参与者徒步全程的路程； (3)求该参与者徒步前半段路程花费的时间. 3.某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究通过对每天销售情况的调查 发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格p(x)(单位：元)与时间第x天(x∈N)的函 数关系近似满足(x)=10+《,(k>0),日销售量g(x)(单位：件)与时间第x天的部分数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 8(x) 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元 (1)求p(x): 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)给出以下两个函数模型：①g(x)=。-b;②g()=-x-a+b:(a,b为常数)根据上表中的数据，从中选 择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量g(x)与时间第x天的变化关系，并求出该 函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值 题型二分式函数模型的应用 1.某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛ABCD扩建成更大的矩形花坛AMPN(如图所示)， 其中点M,N分别在AB,AD的延长线上，对角线MN过点C.已知AB=I0m,AD=6m,设DN=xm x>0 D B M (1)试用x表示矩形花坛AMPN的面积S; (2)若因场地限制，矩形花坛AMPN的面积不能超过2502，则AM最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛ABCD)的修建费用为80元/m2,另外为了美观，还需对矩形花坛 AMPN的边缘进行装饰，装饰费用为1O0元m,试问当DN的长为多少米时，扩建花坛的总费用F最少？ 最少为多少元？（结果可保留根号） 2.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH 构成的面积为200m?(四个阴影部分加中间小正方形)的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛， 造价为4200元/m2;在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空 角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2,设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m) H G B M (1)试用x表示DQ的长，并求x的取值范围； (2)求S关于x的函数关系式，当x为何值时，S最小？并求出这个最小值 3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4万元. (I)写出一年的总运费y与x的函数关系式： (②)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三函数的零点与方程的解 一、单选题 1.函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在的区间是() A.-2,- B.(-1,0 C.(0,1 D.1,2 二、多选题 2.已知函数fx)=1-lx-2的零点为m,函数gx)=e+r-2的零点为n,则() A. 2<m<1 B.n+Inm =0 C.I +n=2 D.m+1=2 m n 三、填空题 -lnx,0<x≤1 3.已知函数f(x)= 1-(x-2,x>1'若函数8=f八-m有三个零点，则实数m的取值范围 是 题型四用二分法求方程近似解 一、单选题 1.用二分法求函数f(x=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间 的次数为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.己知函数y=∫x)的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是() A. B.2 C.3 D.4 二、填空题 3.方程x3-x-1=0在[1,1.5]上的近似解为一（精确度为0.1）. 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f(x -0.2969 0.224 -0.05151 -1 0.875 6 题型五函数模型的应用 单选题 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.已知某放射性同位素的含量N与时间的关系式为N=N,e,其中N,为初始含量则当该放射性同位素 的含量为二N,时，t的值约为() 附：ln2≈0.693 A.67 B.45 C.33 D.78 二、解答题 2.为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供x(万元)的专项补贴.该企业在收到政府x∈(0,20]（万 元)补贴后，产量将增加到2（万件）同时该企业生产之x(万件)产品需要投入成本)（万元）关于 x2-14x+70,0<x≤10， 10 政府补贴x(万元)满足函数：f(x)= 225_105,10<x≤20. 以每件 +6 元的价格将其生产的产 5x 品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益x)（万元)关于政府补贴x(万元)的函数关系式： (②)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 3.一食品生产厂第t年生产某食品的年产量y(单位：吨)满足关系式y=m1.5+mtm∈R.已知该厂第 二年比第一年多生产了8.75吨该食品 (1)求m的值； (②)若该厂第n年生产该食品的年产量比前一年增加的量不低于20吨，求整数n的最小值 4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量 达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80g及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后， 酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到1.2mg/mL时，会以每小时 20%的速度减少（函数模型如图） Ay(mg/mL) 1.2 0.3 00.25 x(h) (I)求血液中酒精含量y(单位：gmL)关于时间x(单位：小时)的函数解析式： (②)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）·（参考数据： lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 2 能力培优练 一、单选题 1.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的 5/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种 多肉植物的最低售价为() A.25元 B.20元 C.10元 D.5元 2.已知函数f(x)=2+x,g(x=log2x+x,h(x=√x+x的零点分别为a,b,C,则() A.a>b>c B.bxc>a C.c>axb D.b>a>c 3.某品牌酒产自陕西省宝鸡市.一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高.己知一箱原价800元 的该品牌酒，储存x(x≥0)年后的收藏价值f(x)(单位：元)满足函数关系式f(x)=800×26(m为常数)。 月月1 若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为() A.1600元 B.1800元 C.2400元 D.2800元 4.函数f(x=lnx+2x-4的零点所在的区间为(） A.(0,1 B.(1,2 C.2,e D.(e,3) 5.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2+c,若函数y=f(g(x)与y=g(f(x)都没有零点，则函数 y=f(f(x)与y=g(g(x)() A.恰有一个零点 B.至少有一个没有零点 C.至少有一个有零点 D.无法确定 二、填空题 6.若函数fx=-1-e“+4有两个零点，则实数4的取值范围是】 7.己知函数f(x)= x2+2x+3,x≤0 2 其中m>0且m≠1.若函数h(x)=ff(x)恰有4个零点，则k的取 log,x>0 值范围是」 三、解答题 8.某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销 售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 y/件个 100 70 3045x/元 ()求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式： 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多 少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ xx-2),x>0 9. 设函数f(x)= -f-x),x≤0 (1)求当x∈(-o,0时，f(x)的解析式： (2)判断fx)的奇偶性，并证明： (3)设g(x=fx+fx,若x,ye[-3,3],g(x)-g(y≤a2-7a,求a的取值范围 10.某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知 每投放质量为a的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足：y=af(x),其中 +5,0<x≤5 10 f(x)= ，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度 5(x+19) ,x>5 4x-4 不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化， (I)如果投放的药剂的质量为=2，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？ (②)如果投放的药剂的质量为m,为了使在前9天（从投放药剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最 佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量m的最大值 11.已知函数y=f(x,若在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)成立，则称x为函数y=f(x的局部 对称点。 (I)若函数f(x)=x2+x-k(k∈R且k≠0)，求(x)的局部对称点； (2)若函数f(x)=x2-2ax+a2-3,设函数h(x)=f2),若h(x在R上有局部对称点，求实数a的取值范 围。 3 创新题型练 一、单选题 1.“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、 丙、丁四家店铺.已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A, 甲每件均按原价的6折（即原价的60%）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价 的80%)、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部 分按照40%返现.若该时间段内小李准备购买x(x=1或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、 丙、丁店铺购买所需费用分别为(x),(x),f(x),f(x),记(x),f(x),f(x),f4(x)中的最小值 为f(x),则() 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.f(0)<()B.fI)=42 C.f(3)=118 D.f(3)=3(3) 2.Peukert于1897年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位： A)之间关系的经验公式C=I”t,其中n=log:2为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流 I=15A时，放电时间t=28h,则当放电电流I=10A时，放电时间为() A.42h B.56h C.70h D.64h 3.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的语句. 假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.016；如果每天的“退步率”都 是1%，那么一年后是1-1%)%=0.9，一年后“进步者”是“退步者的101 -1.01）36 0.996 ≈1481倍.照此计 0.99 算，当“进步者”是“退步者”的4倍时，大约需经过（参考数据：1g1.01≈0.00432，g0.99≈-0.00436， 1g2≈0.3010)() A.68天 B.70天 C.71天 D.73天 二、多选题 4.若函数G(x)在m≤x≤n（m<n)上的最大值记为ymax,最小值记为ymin,且满足ys-m=1,则称函 数G(x)是在m≤x≤n上的完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有() A.y=|2x(1≤x≤2) B.y=Vx+1+2(0≤x≤3) C.y=-x2+2x+3(0≤x≤2) D.y=4-2x+-3(0≤x≤1) 5.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设 x∈R,用符号[表示不大于x的最大整数，如1.6]=1，[-1.6=-2称函数f(x=[x]叫做高斯函数.下列 关于高斯函数f(x=[x]的说法正确的有() A.f(-3=-3 B.若fa)=f(b),则a-b<1 C.函数y=f(x-x的值域是[-1,0) D.函数y=x·∫(x在l,+0）上单调递增 6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为 世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x,符号[x表示不超过x的最大整数，则y=[x 称为高斯函数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f(x)=x-[x],则下列命题中正确的是() A.函数f(x)的最大值为1： B.函数f(x)的最小值为0 C.函数y=)的图象与宜线y=号有无数个交点 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.函数f(x)是增函数 三、填空题 7.函数f(x)=[x称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中[x表示不超过x的最大整数，例如[2.4=2， [-2.4]=-3,[24=24.若函数g(x)=6x-7x]有个零点，则关于x的不等式2[x-[x≤n的解集是 四、解答题 8.意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布·伯努 利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三 人各自得到了正确答案，至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一 类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为∫(x), 双曲余弦函数为g(x,已知这两个最基本的双曲函数为fx)=。 2，g)=e+er 2 (I)对任意实数x,[f(x)]-[g(x]是否为定值，若是定值，请求出定值： (2)证明：两角和的双曲余弦公式g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f（y): ()证明：F()=(x+gx+n[f(+gx]-2有唯一的正零点，并比较x和n3的大小 4X0 9.欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽 象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数y=∫(x),如果对于其定义域D中任意给定的 实数x,都有-x∈D,并且fx·f(-x=1,就称函数y=f(x)为“倒函数” (1)判断函数∫(x)=2是不是倒函数，并说明理由； ②者函数/八是定义在R上的倒函数，当x≤0时，3十，求函数∫的解析式 (3)在(2)的条件下，判断方程f(x)=2025是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有， 请说明理由 10.列奥纳多：达·芬奇(Leonardo da Vinci,1452-1519)是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链 的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出 了悬链线的函数表达式p()=acosh，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 coshx=e+e,相反地，双曲正弦函数的函数表达式为sihr=e-e 2 2 (1)求cosh2x-sinh2x的值； (2)解不等式：sinh(3x+l)+sinh(x-3)>0; (3)函数f(x)=2 n cosh(2x)-2sinh(x)-3的图象在区间[0，ln2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围 10/10