精品解析：陕西商洛市山阳县2025-2026学年度第一学期期末八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，、分别平分、，于点．若，的面积为75，则的周长为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 7. 如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 若关于分式方程无解，则的值为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：=______． 10. 某食品包装袋的营养成分表中注明某种微量元素的含量为，即，将数据用科学记数法表示为_____． 11. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 12. 如图，在和中，已知，，要证明，可补充的条件是_____．（写出一个即可） 13. 有一电脑程序能处理整式相关计算，已知输入的整式，整式，屏幕自动将整式补齐，则整式_____． 14. 如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，，点，在边上，且，连接，，．求证：． 20. 【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上．请根据图示，完成下列各题． （1）在图中画出关于直线对称的；（点、、的对应点分别是点、、） （2）在图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点关于轴对称的点的坐标：_____． 22. 如图1是某公园内的一条河，欣欣同学想运用所学知识测量这条河某一段的宽度，如图2，她在空地上找一点，沿方向走到点处，使得，再从点处出发，沿着与平行的方向走20米到达点处（即米），沿继续向前走，到达点处时，发现、、三点在一条直线上，欣欣在线段上取了一点，测得米，，，请你根据欣欣的测量结果，计算这条河此段的宽度． 23. 在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用直径相同的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．求制作1个榫构件和制作1个卯构件各需圆木的长度． 24. 如下图，在等边三角形中，，，分别是，，上的点，且，，连接，平分交于点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 25. 某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此可得答案． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， 故选：A． 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，点为边上的点，连接．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，根据，可得：，从而可知的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， . 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的运算，完全平方公式，根据相关运算法则和完全平方公式求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 6. 如图，在中，、分别平分、，于点．若，的面积为75，则的周长为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，作，连接，根据角平分线的性质，得到，分割法表示三角形的面积，进行求解即可. 【详解】解：作，垂足分别是E、F，连接， ∵、分别平分、，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选：B. 7. 如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解通常是由于解出的值使分母为零（增根）. 通过求解方程并排除使分母为零的值，可得的值. 【详解】解：， 去分母得：, 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 原分式方程无解， 是原分式方程的增根， 或， 解得：或． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 10. 某食品包装袋的营养成分表中注明某种微量元素的含量为，即，将数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握表示方法是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法即可求解． 【详解】解：由科学记数法表示绝对值小于1的数的方法可得：． 故答案为：． 11. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 【答案】 【解析】 分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 12. 如图，在和中，已知，，要证明，可补充的条件是_____．（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或 13. 有一电脑程序能处理整式的相关计算，已知输入的整式，整式，屏幕自动将整式补齐，则整式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，根据题意，易得平分，在上截取，连接，证明，得到，进而得到，再根据垂线段最短，得到时，最短，利用面积公式求出的长即可. 【详解】解：在上截取，连接， ∵边上的点到、边的距离相等， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时的值最小为的长， 又∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∵平分， ∴为的中线， ∴， ∴当时，， ∴, ∴的最小值为； 故答案为：. 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和含乘方的有理数混合运算，计算负指数幂、零指数幂和立方，然后求和即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程． 先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得： ∴ 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，作线段的垂直平分线交于点D，连接，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】解：如图所示，即为所求． 19. 如图，在四边形中，，点，在边上，且，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，据此可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 20. 【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了拆项法分解因式． 通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上．请根据图示，完成下列各题． （1）在图中画出关于直线对称的；（点、、的对应点分别是点、、） （2）在图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点关于轴对称的点的坐标：_____． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据点A和点C的坐标确定坐标轴和原点的位置，建立平面直角坐标系得到点B的坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案． 小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：平面直角坐标系如下所示，则点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 22. 如图1是某公园内的一条河，欣欣同学想运用所学知识测量这条河某一段的宽度，如图2，她在空地上找一点，沿方向走到点处，使得，再从点处出发，沿着与平行的方向走20米到达点处（即米），沿继续向前走，到达点处时，发现、、三点在一条直线上，欣欣在线段上取了一点，测得米，，，请你根据欣欣的测量结果，计算这条河此段的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明，再结合含角的直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用直径相同的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．求制作1个榫构件和制作1个卯构件各需圆木的长度． 【答案】制作1个榫构件和制作1个卯构件各需圆木的长度分别为和 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程进行求解即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要圆木为，， 根据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ； 答：制作1个榫构件和制作1个卯构件各需圆木的长度分别为和． 24. 如下图，在等边三角形中，，，分别是，，上的点，且，，连接，平分交于点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度直角三角形的性质，等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 又∵平分， ∴， ∴的周长． 25. 某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． （1）求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） （2）零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； 【小问2详解】 解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证； （2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 在延长线上找一点，使得，连接， ， 又， ， 在和中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $