湖南沅澧共同体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

沅澧共同体高二年级2025年下学期期末考试（试题卷） 数学 时量：120分钟 总分：150分 命题单位：常德外国语学校 注意事项： 1本试卷共6页，其中试题卷4页，答题卡2页。满分150分，考试时间120分钟。答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，只上交答题卡。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合A={2+x<0,B={k≥0}，则4UB= A.{x1<xs0} B.{xx<-1或x20} C.x>-1 D.R 2.已知命题p:3n∈N,2">2026,则P为 A.n∈N,2"≤2026 B.n∈N,2">2026 C.3n∈N,2"≤2026 D.3n∈N,2">2026 3.复数(4-i)(1+)的虚部为 A.-3 B.3 C.3i D.-3i 4.下列区间中，包含函数f(x)=3x+log2(x+2)零点的区间是 A.(2,3) B.(1,2) C.(0,) D.(-1,0) 5.如图是某地.100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是 A.12.5,12.5 ◆频率组距 0.1 B.13,13 C.12.5,13 0.04 D.13,12.5 05101520月均用水量1 6。双曲线号。1的左顶点到其一条渐近线的距离为 A. 12 B.号 c.9 D 3 高二数学试题卷第1页共4页 7.若一个正方体内切球的表面积为12π，则该正方体的棱长为 A.3 B.6 C.5 D.25 8.已知奇函数/，对任意的，5e0,o,5*5,都有）-飞>2，且了0=2026， x2- 则满足不等式f(x-2026)>2(x-1014)的x的取值范围是 A.(2026,+0) B.(2027,+o) C.(1013,+o∞) D.(1014,+o) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x,下列说法正确的有 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[-2,2] C.fy在周上单调递端 D.将函数y=(y的图像向右平移石个单位长度后可以得到函数y=2s血2x的图像 10.设，是等差数列{a,}的前n项和，若S<0,<-1,则 a A.d<0 B.lal<la C.当Sn取得最大值时，n=7 D.使S,>0成立的最大整数n为14 11.如图，若正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E为CC的中点，则 A.48与AC所成的角为牙 D B B.DB⊥AB C.AE=√5 D.D8与平面ABCD所成角的正切值是 B 2 高二数学试题卷第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.抛物线y=x2在x=1处的切线斜率为 13.己知向量a=(-2,m),6=(1,-2),若a16,则m的值为_ 14.己知点A(-25),点M是抛物线x2=8y上的一点，点B是圆F:x2+(y-2)=1上的一点， 则MA+M⑧的最小值为 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（13分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bcos C=csinB. (1)求C: (2)若△BC的面积为√5，求c的最小值. 16.(15分)已知数列{a}满足a1=2,且a1=2an+3. (1)证明：数列{a.+3}是等比数列： (2)求{an}的通项公式： (3)求{an}的前n项和Sn. 17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长2的等边三角形， PC=3,AC=BC=V万. A (1)证明：平面PAB⊥平面ABC; (2)求点B到平面PAC的距离； (3)求二面角A-PC-B的正弦值， 高二数学试题卷第3页共4页 18.（17分)已知椭圆C:三+片=a>b>0)的左、右焦点分别为R,B,离心率为 过点R的直线1与椭圆交于AB两点当AG上x轴时，M= (1)求椭圆C的方程： (2)设M(5,当△MBM面积为子5时，求直线1的方程。 19.17分)已知函数-=受+42是定义在R上的奇函数，且f0=名 (l)求m,n的值； (2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义证明； (3)求不等式f2-21)+f1-)<0当t∈[2,4恒成立的实数k的取值范围. 高二数学试题卷第4页共4页沅澧共同体高二年级2025年下学期期末考试 数学参考答案 单选题(40分) 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A B D 二、 多选题(18分) 题号 9 10 11 答案ABD ACD BD 三、填空题(15分) 12.2 13.-1 14.6 四、解答题（共77分） 15.(13分) (1)由已知及正弦定理得sin B cos C=sinC sin B, .2分 由B∈(0，)，得sinB≠0，得cos C sinC=2sin- 2 3分 C 由Ce0,,得，0,2 得c0 30, 得simS、1 22 ）5分 得S=”,得C= 26 396分 (2)由S△ABC= absinC-b 4 8分 得ab=4, 9分 由余弦定理得c2=a2+b2-2bc0SC=2+b2-ab,11分 因为a2+b2-Gb≥2b-ab=ab=4,12分 当且仅当a=b=2时，等号成立， 所以c2≥4，得c≥2.故c的最小值为2. .13分 16.(15分) (1)因为a1=2a+3,所以a1+3=2(an+3), 3分 且☑+3=5≠0，… 4分 因为数列{a,+3}是以4+3=5为首项，q=2为公比的等比数列5分 答案第1页，共5页 (2)由(1)可知an+3=(4+3)q1=5×21 8分 所以an=5×20-1-3.… 10分 (3)Sn=5×(2°+2+22+.+2m-）-3n. 12分 51x1-2）3n=5×2°-3n-5 Sn=5× 15分 1-2 17.(15分) (1)证明：取AB中点O,连接P0,CO,如图所示， P A -------C 因为△PAB是边长为2的等边三角形，O为AB中点， 所以PO LAB,且P0=√PA2-AO2=√3,2分 因为AC=BC=√7，O为AB中点， 所以C0⊥AB,且CO=VAC2-AO2=√6， 3分 因为PC=3,所以PC2=PO2+C0,所以PO1CO, 4分 因为AB∩CO=O,AB,COC平面ABC, 所以PO1平面ABC,5分 所以POC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC (2)由(1)得OB,OC,OP两两垂直，则以O为原点，OB,OC,OP所在直线为x,y,z轴 建系，如图所示， ZA P A B 答案第2页，共5页 则B(1,0,0),C(0,V6,0),A(-1,0,0),P(0,0,V5),.7分 所以AC=1,V6,0),AP=1,0,V3),AB=(2,0,0),BP=(-1,0,V3),BC=(←1，V6,0), 设平面PAC的法向量1=（化，，Z),8分 则nc0 ,即 「x+V6y,=0 iAp=0'即x+V5z=0 令X=V6,则y=-1,名=-V2,即n=(6,-1,-2),9分 所以点B到平面PAC的距离d= 4B.2626 闭√6+1+23 10分 (3)设平面PBC的法向量m=(x2,y2,2), mBP=0 -x2+V3z2=0 所以 ,即 m.BC=0'-x,+V6y,=0 令5=6，则y=1,2=√2，即m=(6,1V2), 12分 由(2)得平面PAC的法向量=(6，-1，-√2)， m-6-1-21 所以cos元，= 阿3×331 …14分 所以sin,n)=V1-cos(m,n)= 2√2 即二面角A-PC-B的正弦值2V2 15分 3 18.(17分) (1) 因为离心率e=5,所以c-5。 a 2 a,1分 B 又b2=ad-c2=a2- Ta'= d,即a=2b,则c=√3b,3分 4 手+若a60可化为名芳4山 所以椭圆c:+y 所以当A迟上x轴时，h-分，所以x=-c,号 5分 答案第3页，共5页 所以点4在稀圆上，所以c:, +4=1将c=V36代入，得B=1,所以b=1, 4b2b2 所以a=2.c=5,所以椭圆C的方程为年+2=1：…7分 (2) F 由(1)知F（-V3,0),设A(x,片)，B(y2), 当直线l的斜率不存在时，1：x=-√5，M(-√3,1)， 此时A,B,M三点共线，不能构成三角形，故不满足题意；9分 当直线1的斜率存在时，设1：y=十V5),.10分 y=k(x+3) 联立直线1与椭圆的方程 x2 ,消去y,得(1+4k2)x2+83k2x+12k2-4=0, +y2=1 .4 则x十x2= 1+4h2，青5=12k24 -8V3k2 1+4k2 12分 质以AB+8420y 41+4k21+4k2 ，13分 又点M(B列到直线：y=+)的距离d-V5A-1+V例 14分 V2+1 Vk2+1 所以aw=hA卧a=}0+.1-21+25 21+4k2V1+2 1+4k2 5 化简得324-92-23=0，解得k=1或k2=- 23 32 （舍)，则k=士1,16分 经检验k=+1符合题意。 所以直线I的方程为x-y+√3=0或x+y+√3=017分 答案第4页，共5页 19.(17分) (1)因为f(是定义在R上的奇函数，所以f(0)=m+”=0, 2 即m+n=0①， 2分 又f0)=3+2-1 6 得3m+2n=-1②，.3分 6 由①@可得m=-1,n=1,此时f(y)=-+,1 21+2 …4分 经检验此时满足f(-x)=一∫(x),即满足∫(x)在R上是奇函数， 所以m=-1,n=1. .5分 (2)f(x)在R上是减函数，证明如下： 任取X,X2∈R,且<x2,… 6分 (2-2) (2+1)(2+1) 因为x<x2,所以2-25>0，(2+1(2+1>0， .8分 所以f(x)-f(x2)>0,即f(x)>f(x), 9分 因此f(x)在R上是减函数。… .10分 (3)由f(t2-2t)+f1-kt)<0可得f(t2-2t)<-f1-kt)11分 因为f(x)是奇函数， 所以不等式可化为：f(t-2)<f(t-1)13分 由(2)知f(x)在R上是减函数， 所以t2-2t>t-1,即t2-2t+1>t, 即t+2>k,t[2,4到恒成立 .14分 因为y=1+}2当1∈2,4时是递增函数， .15分 所以y=t+二-2当t∈[2,4]时的最小值是 16分 t 即k的取值范围是k< 17分 2 答案第5页，共5页