安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

马鞍山二中2025~2026学年度高二年级期末考试 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 8 答案 B A A D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分。 9.AB 10.ABD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.213.4 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0. (1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程： (2)若直线y=2x+b与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值. 【答案】(1)3x-2y=0或x+y-5=0(2)b=-6或4 【详解】(1)圆C的标准方程为-2)2+y-3)2=9,故C(2,3),半径为3.…(1分) 若直线1不过原点，设直线1的方程为二+兰=1a≠0)， 又C(2,3)在直线1上，所以=1，解得5，故直线1的方程为xy-5=0:… (4分) 若直线1过原点，则直线1的方程为y=),即3x-2y=0,符合题意： 综上，直线1的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.… …（7分) (2)由题意知C(2,3)到直线y-2x+b的距离为V32-22=√5 (9分) 所以4-3+=5，解得b=-6或4 (13分) V12+22 16.5分)已知数列{a,}满足4=1，au+1=2 4.+1 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=n(a+1),求数列{b}的前n项和S。· 【答案】(1)a.=2”-1(2)Sn=2+(-1)2 【详解】（油41+1=2，a+1=2, (1分) a2+1 可得数列{an十1}是首项、公比均为2的等比数列，故a十1=2”，…(5分) 所以4=2”-1.… (6分) (2)由(1)可得b=×2,.… (7分) 则S=1×21+2×22+..+n×2, (8分) 所以2Sm=1×22+2×23+..+n×2+1,.… (9分) 两式相减得-S=2+22+23升..十2-X2+1… (11分) 20-2）-n×21=1-102-2, (13分) 1-2 所以S=2+01-1)21.… (15分) 17.(15分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形， PD∥QA, PDA=∠PDC2,且AD=PD=2OA=2: (1)求直线QB与平面CPB所成角的正弦值： (2)在楼PD上是香存在一点H,使得平面AB与平面PBD夹角的余弦值为5？若存在，试确定 10 点H的位置：若不存在，说明理由 【答案】(1) 10 【详解】I)由∠PDA=∠PC-于则PD1AD,PD1CD, 在正方形ABCD中，AD⊥CD,所以DA,DC,DP两两垂直， 以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图：…(1分) 则C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),2(2,0,1),故BC=(-2,0,0),PC=(0,2,-2), 0B=(0,2,-1), (2分) 设平面CPB的法向量为%=(6，y,),则区C=-2,=0 4·Pc=2y-2z=01 令y1=1,得x1=0,5=1,所以h=(0,1,1),…（4分) OB.n 所以直线OB与平面CPB所成角的正弦值为 0x0+2x1+1×(--10 B. (6分) V4+1×V1+1 10 (2)假设存在，设H(0,0,h),又A(2,0,0),则H=(2,0,-),AB=(0,2,0),…(7分) 设平面AHB的一个法向量为n2=(心2，y2,乙2)， z·ZA=2x2-z2=0 则 ，令=2，得2=(0,2， (9分) n2AB=2y2=0 由题得PD⊥平面ABCD,则PD⊥AC,又AC⊥BD,PDOBD=D,PD,BDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD,故AC为平面PBD的法向量，且AC=(-2,2,0),…(11分) AC AC m+44司你治解得0号或=}（合去， _上-2h+2x0+2x0M=5 3 所以在棱PD上存在一点刀Q0),满足题意，北时：是靠近D的三等分点（15分) 18.(17分)已知函数f因=ahx+)a+x,a∈R) (1)若a=0,求f(x)在x=2处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性 (3)若)-2>1-a对任意两个不相等的正实数飞，x,恒成立，求a的取值范围. 1-X2 【答案】(1)x-y-2=0 (2)a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在1，+w)上单调递增： 0<a<1时，f(x)在(0，a,1,+o)上分别单调递增，在(a,1)上单调递减： a=1时，f(x)在(0，+o)上单调递增： a>1时，f(x)在(0,1)，(a,+w)上单调递增，在(1，)上单调递减. (3)[1,+w) 【详解】)若a=0,则f)-兮，fy-x-2,所以f2)-1,f2)=0,…2分) 故f(x)在x=2处的切线方程为y=x-2,即x-y-2=0.… … (4分) (2)因为f)=+x-a+D=x-a+1r+a-t-a,且x∈0，+m, 当a≤0时，xe(0,1)时f"(x)<0,x∈1，+o)时f'(x)>0, 所以，f(x)在(0,1)上单调递减，f()在(1，+0)上单调递增： 当0<a<1时，x∈(0，)时f'(x)>0,x∈(a1)时f'(x)<0,x∈1，+∞)时f'(x)>0, 所以，f(x)在(0，a,1,+o)上分别单调递增，f(x)在(a,1)上单调递减： 当a=1时，x∈(0，+o)时f"(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>1时，x∈(0,1)时f"(x)>0,x∈Q,四时f'(x)<0,xe(a,+o)时f"(x)>0, 所以，f(x)在(0,1)，(a,+o)上单调递增，f(x)在1，上单调递减.… (12分) (3)设5>5>0，由)f1-a得fx)f5)>1-a05-x) X1-X2 即f(s)-(1-a)x>f(x)-(1-a)x. 设g(x)=∫(x)-(1-@x,则g(x)在(0，+o)上单调递增，…(14分) ·g(x)=∫'(x)-(1-a四=a+x-2≥0在(0，+)上恒成立， 则a≥-x2+2x在(0，+∞)上恒成立，设h(x)=-x2+2x,xe(0,+o), 函数的对称轴为x=1,则x=1时，Mx)取得最大值，最大值(x)s=1. 所以a≥1，实数a的取值范围为儿，+∞)…（17分) 19.Q7分已知双线C若-芳1ab:0的条渐近发方程为-，且过点2到.设4，B分 别是C的左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的两点， (1)求C的方程： (2)若直线MN经过C的右焦点F,且斜率为2，求△BMN的面积： (3)设直线AM,BN的斜率分别为k,k2,若2k+k=0,求证：直线N恒过定点，并求出定点 坐标。 【答案】(1)x2-上=1：(2)6N5:3wN恒过定点3,0). 【详解】(1)由题意得b=√5， (1分) a 又产名-1解相2人 所以C的方程为x2- =1.…(3分) b=V3 3 (2)由题意，F(2,0),直线MN的方程为y=2(x-2), 设M(x,),N(,2): 由y=2(-2),得-16x+1]9=0,所以5+飞=16,55=19.(4分) 3x2-y2=3 则wW=+(2)262-4x19=5x65=30,…(6分) 点B到直线W的距离为d= 5 所以△8N的面积为s=号N1d-65. (8分) (3) (方法一)由题意得，MN的斜率不为0， 设MN为x=y+t,M(s,y),N(x2,2). x=my+t 由 x-上=1得(3m-+6mw+32-3=0, 3 -6mt 所以3-1≠0，且y+⅓F3m-,%4 3t2-3 (11分) -3m2-1 因为x-号=1,410，B10,所以ww号长3 3 x+1x-1x2-1 3 又2访+名=0，即w=a所以kwkw=当h-6: (13分) x-1x2-1 即yy2=-6(%+t-1)(y2+t-1), 整理得(6m2+1)yy,+6t-1)(y+y2)+6(t-1)2-0, 防以am-)子mg16t10 化简得t2-4t+3=0,解得t=1或3.… (15分) 当t=1时，N的方程为x=y+1,此时N过点B(1,0),不合题意， 当t=3时，MN的方程为x=y+3,此时MN过点(3,0)，符合题意， 所以MN恒过定点(3,0).… (17分) (方法二)由题意得，MN的斜率不为0， 设MN为x=四y+t,M(s,y),N(x2,). x=my+t 由 x_ 71得(3m-少+6+3t-3=0、 -6t 议m1+0,且+y3m (11分) 又2站+=0，即21+为=0， x+1"x2-1 2y(x2-1)+y2(x+1)=2y(0y2+t-1)+y2(%+t+1)=0 整理得3y,y+2(t-1)y,+(t+1)y=0,… (13分) 即3my2+2t-1)y+y2)-(t-3)y2=0,(13分) 所以3m3t3+2t-0,6-t-3刃y=0, 32-1 整理得3t-10-3》+化-3y,=0,得t=3, 3m2-1 此时N的方程为x=y+3,所以N恒过定点(3,0).… (17分) 6马鞍山二中2025~2026学年度高二上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知向量a=（1,2,2),=(-2,2,1),且a⊥b,则实数1的值为（) A。-1 B.0 C.2 D.4 2.已知{an}为等比数列，且a=3,9=2,则S6=（) A.189 B.96 C.63 D.33 3.圆0：x2+y2=1与圆02：(x-3)2+y-4)2=16的位置关系是（) A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 4.若直线4：(a-1)x+2y+1=0与直线1：3x+ay-1=0平行，则a=() A.3 B.-2 C.3或-2 D.3或1 5.已知函数f(x)=xe￥-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.(0,) B.@ c.0 D.(+ 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S=4,a4+a+a.=6,则S,=（) A.8 B.10 C.14 D.18 7.已知定义域为R的函数∫(x)满足f()=e,且f'(x)-f(x)<0,则不等式f(x+1)>e1的解集是( A.(2,+o) B.(-∞，2) C.(0,+o) D.(-0,0) &.已知椭圆C:若+节=a>b>0)的左、右焦点分别为A、A,0为坐标原点，以乃为圆心，R 为半径的圆与椭圆C交于M,N两点，若OM=MF,则椭圆C的离心率为() A.V2-1 B.2-√2 C.5-1 D.2-√5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知椭圆C:亡+上=1的左、右焦点分别为A、,点P为椭圆C上一点，则(） 4 2 A.PFPR的最大值为4 B.不存在点P,使得∠FPF2=120° 数学试题卷第1页，共4页 C.若∠FPF=60°，则△FPE的面积为2√5 D.使得△FPF为等腰三角形的点P共有四个 10、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中提到“三角垛”的问题， 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球… 设第n层有a,个球，从上往下n层球的总数为S,则下列结论正确的是( (参考公式：12+2+32+…+=nm+12n+1) 6 A.a6=21 B.S6=56 C.1+L+1++L=198 D.设bn=(-)°an,则{bn}的前100项和为2550 a az as 4100100 I1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC的中点，点P在线段D,E上，则下列说法 正确的是() A.当点P为aE的中点时，PC=是 D B.对于任意点P,都有AP⊥AB C.三棱锥A-ABP体积的最小值为2 D.点P到直线CC的距离的最小值为 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.三棱锥0-ABC中，P为平面ABC内一点，且OP=mOA+OB-20C,则m= 13.设抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,P(x,4)为抛物线上一点，若PF=6,则p的值为 14.若函数f(x)=x+a2+bx+c有极值点，x2,且(x)=:<x2,则关于x的方程 3f(x)+2af(x)+b=0的不同实根个数是_个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0. (1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程： (2)若直线y=2x+b与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值. 数学试题卷第2页，共4页 16.(15分)已知数列，}满足4，=1，+1=2. a+l (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b,=n(a,+1),求数列{b}的前n项和Sn。 17.(I5分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥OA, PDA=∠PDC=7,且AD=PD=20A=2 (1)求直线QB与平面CPB所成角的正弦值： (2)在棱PD上是否存在一点H,使得平面MB与平面PBD夹角的余弦值为5？若存在，试确定点H 10 的位置：若不存在，说明理由。 数学试题卷第3页，共4页 。7分)已知函数/x)=alnx+7-(a+10x,女自 (1)若a=0,求f(x)在x=2处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若C)一x>1-4对任意两个不相等的正实数x,恒成立，求a的取值范围. 1-x2 19.(们分尼匆双曲线C号茶=a0>0的一条新近线方程为y=,且过点2).设么B分别是C 的左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的两点. (1)求C的方程； (2)若直线MN经过C的右焦点F,且斜率为2，求△BMN的面积； (3)设直线AM,BN的斜率分别为k,k2,若2k+k=0,求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标， 数学试题卷第4页，共4页