精品解析：广东省汕头市金山中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学学科试题

2025级高一第一学期期末考试 数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆心角为的扇形半径是3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 10. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 13. 已知，则______． 14. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 16. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 （1）求的解析式； （2）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； （3）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 19. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设，求的最大值； （3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第一学期期末考试 数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义计算. 【详解】根据补集定义，，， 则 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知圆心角为的扇形半径是3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算即可. 【详解】由题意在扇形中，弧长 扇形面积. 故选：C. 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性与当时的正负判定即可. 【详解】因为.故为奇函数,排除CD. 又当时, ,排除B. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 6. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据可得，从而可求其最小值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后 得到的图象， 又，， 由题可知，，，解得，， 又，当时，取得最小值. 故选：B. 8. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小，即可得答案. 【详解】由题意知，， 则， ， 因为，故， 又因为，故，即 故，即得， 同理可得，故，即， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，然后再结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小即可. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 已知，则 C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A由三角函数的定义计算判定；B已知等式两边同时平方，结合平方关系和二倍角正弦公式计算求解判定；C利用两角和差的正切公式计算判定；D逆用两角差的正弦公式计算后判定. 【详解】A选项，由三角函数的定义可知，，故A正确； B选项，因为， 所以，则，故B正确； C选项，因为，所以， 故C正确； D选项， ，故D错误. 故选：ABC 10. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由可得，解得， 所以，，B错； 对于C选项，由可得，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，， 因为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对. 故选：ACD. 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接运用正弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆半径为. 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式并将所求写成齐次式形式，再将弦化为切即可. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦型函数的单调性和零点性质进行求解即可. 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递增， 当时，， 则， 因为，所以， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，求出； （2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 故，解得， 故. 16. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 【答案】（1） （2） 任取，，且， 则 ， 因为，所以， 又， 所以，所以，故为R上的增函数. 当时，，即， 所以在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得函数在上的值域. 【小问1详解】 因为为R上的奇函数， 所以，即，① 又因为函数的图象经过点， 所以，即，② 由①②，可得，，故， ，， 故为奇函数， 所以； 【小问2详解】 略 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象求出，再将代入求； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）根据三角函数以及复合函数求值域. 【小问1详解】 由图象知，则，即. 由图象过点，则 ，即， 因为，则， 所以； 【小问2详解】 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为，所以，则， 则， 所以的值域为. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 （1）求的解析式； （2）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； （3）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 【答案】（1） （2）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据最值可求解，根据周期可求解，进而代入，可得，即可求解解析式， （2）解不等式，即即可得解， （3）根据，结合正切函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，则， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. 【小问2详解】 由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 【小问3详解】 设乙的座舱高度与时间函数为， ， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. 19. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设，求的最大值； （3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域； （2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案； （3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案. 【小问1详解】 由且，得． 则函数的定义域为． ，且， 得，则函数的值域为． 【小问2详解】 ， 令， 则，， 所以， 令，，则为函数，的最大值． 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线． ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则． 综上可得． 【小问3详解】 由（2）易得． 要使在上恒成立，即使在恒成立， 所以在上恒成立． 令，， 若，则对任意恒成立； 若，则有，即， 解得或． 综上，实数m的取值范围是． 【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $