河南开封市祥符区第四高级中学等校2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学试卷 满分:150分 时间:120分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 第I卷(选择题) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1.已知,下列不等式变形正确的是( ) A. B. C. D. 2.“”是“”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.下列函数中最小正周期为的是( ) A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为( ) 5. 若函数在上单调递增,则的最大值为( ) A. B. C. D. 6. 已知角是第四象限角,且,则角是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7.已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 8.若定义在上的函数,且,,函数在区间上的所有零点为,则( ) A.8 B.6 C.4 D.2 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有写错的得0分). 9. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是( ) A. B. C. D. 10. 已知函数 满足以下条件: ①最小正周期为 ; ②当 时,函数取得最小值 -1; ③当 时,函数值为0。 则下列说法正确的是( ) A. B. C. 函数图象关于直线 对称 D. 函数图象关于点 对称 11.已知函数(),则下列说法正确的是( ) A.当时,函数在上的最大值为 B.当时,函数的最小正周期为 C.当,时,函数的值域为 D.对任意的正整数,函数的图象都关于直线对称 第II卷(非选择题) 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分). 12. 函数的定义域为_. 13.已知,则_。 14. 已知函数在区间有且仅有2个零点,则的取值范围是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)已知全集, ,. (1)若,求; (2)若“”是“”的充分条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)已知均定义在上的奇函数与偶函数满足. (1)求与的解析式; (2)用定义法证明:在上单调递增; (3)证明:存在实数,使得,并解不等式:. 17.(本题15分) 函数在一个周期内的图象如图所示。 (1)求函数解析式; (2)求的单调递增区间; (3)当时,求的值域。 18. (本题17分)已知函数,. (1)求的最小正周期和单调递减区间; (2)求在区间上的最大值和最小值. 19.(17分) 对于定义在 上的函数 ,如果存在实数 (),使得对任意的 ,都有 ,且存在 使得 ,存在 使得 ,则称 是 上的“闭函数”,区间 称为 的“闭区间”。 (1)判断函数 在区间 上是否为“闭函数”,并说明理由; (2)若函数 在区间 上是“闭函数”,求实数 的取值范围; (3)若函数 是 上的“闭函数”,求实数 的取值范围。 参考答案: 一、1 . A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.B 8.A 二、9【答案】AD 10【答案】AC 11【答案】ACD 三、12【答案】 13. 14.【答案】 四、15(1)若,,所以;………………6分 (2)因为“”是“”的充分条件,所以,…………………………9分 所以,即实数m的取值范围是.……………………………………13分 16.(1),(2)证明见详解(3)证明见详解, 【详解】(1)是奇函数,是偶函数,,, 由①,将替换为得,,即②, 联立①②,相加得,; 相减得,; 的解析式为,的解析式为. 4分 (2)由(1)知,设, 则 , ,,,,, ,即,在上单调递增. 8分 (3)由(1)知,, , ,即存在实数满足条件; 将,代入不等式得,, ,,即, 两边同时乘以得,即, ,,, 不等式的解集为. 15分 17. 解:(1)由图象知,,,即。 由图象过点,代入函数, 即,因为,则, 所以; (2)令,, 解得,, 故函数的单调递增区间为,; (3)因为,所以,则, ,所以的值域为。 18【答案】(1)最小正周期;单调递减区间; (2)最大值为;最小值为. 【解析】 【分析】(1)利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期;解不等式,可得出函数的单调递减区间; (2)由求出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值. 【小问1详解】 因为, 所以函数的最小正周期; 由,得. 即函数的单调递减区间为; 【小问2详解】 因为,所以,所以, 当即时,函数取最小值,; 当即时,函数取最大值,. 【点睛】方法点睛:求函数在区间上值域的一般步骤: 第一步:三角函数式的化简,一般化成形如的形式或的形式; 第二步:由的取值范围确定的取值范围,再确定(或)的取值范围; 第三步:求出所求函数的值域(或最值). 19.解: (1)函数 在区间 上, 当 时,取最小值 ; 当 或 时,取最大值 。 所以对任意 ,有 , 且存在 使 ,存在 或 使 。 因此函数 在区间 上是“闭函数”,闭区间为 。 (2)函数 在区间 上单调。 若 ,则 在 上单调递减, 所以 , 即 。 由“闭函数”定义得 ,所以 ,。 此时闭区间为 。 同理,若 ,则 在 上单调递增, 闭区间为 。 若 ,则 为常函数,也是闭函数。 所以实数 的取值范围为 。 (3)函数 表示点 到点 和点 的距离之和。 由几何意义知,当点 在点 和点 的连线与 轴的交点时, 取最小值。 计算得最小值点坐标需解方程,且 在 上先减后增,最小值为 (当三点共线时)。 当 时,,所以 的值域为 。 若 是 上的“闭函数”,则需存在 使 ,但值域为无穷区间,所以不存在有限闭区间。 因此不存在实数 使 是 上的“闭函数”。 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $