精品解析：湖南岳阳市岳阳县2025-2026学年八年级上学期期末质量监测数学试题

2025年下学期期末质量监测试题 八年级数学 （时量： 120分钟 总分： 120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年5月19日， 央视新闻发布我国某国产品牌实现(即0.000000003m)芯片研发设计突破．数0.000000003，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 3. 要使分式有意义，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案． 【详解】∵分式有意义时，需满足分母， ∴， 故选择D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若一个等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的两个底角相等得到另一个底角为，再利用三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的底角为， ∴该等腰三角形的另一个底角为， ∴它的顶角的度数为， 故选：C． 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 8. 数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过的边上一点（图①）作（图②）．我们可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点； ④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 下列排序正确的是（ ） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 【详解】解：正确的排序为：②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； ④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点． ①作射线； 故选：D． 9. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 10. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ，即， ， 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 12. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 13. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，熟练掌握同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，求三角形的面积，掌握角平分线的性质和三角形的面积公式是解决此题的关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于E， 平分，，， ， ， 的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，再结合求解即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4； 16. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 三、解答题： (共72分．其中17， 18题每题6分．19，20题每题8分．21， 22题每题10分．23，24题每题12分) 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、有理数的乘方，再计算加减． 【详解】解：原式， ． 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）23 （2）8 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． （1）直接把x、y代入，用平方差公式计算即可； （2）先计算，再根据，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【小问1详解】 解：原方程去分母得：， 整理得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； 【小问2详解】 解：原方程去分母得：， 整理得：， 检验：当时，， 所以是增根， 故分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分母有理化．先计算括号内的，同时把除法化为乘法运算，然后计算，再将，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式= 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD=3，CD=5，求AE的长． 【答案】（1） 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠1=∠2，AD=DE， ∴△ABD≌△DCE． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE； （2）得出AB = DC = 5，CE= BD= 3，求出AC = 5，则AE可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△DCE ∴DB=EC=3，CD=AB=AC=5． ∴AE=2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22. 【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】 问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程： ． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】略 23. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； （2）若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； （3）当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 【答案】（1）；3 （2）1；大； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，三角形的三边关系，解决本题的关键是理解配方法的解答过程． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出，然后求出c的取值范围． 【小问1详解】 解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1；大；． 【小问3详解】 解：， 即， 即， 所以，， 所以，， a，b，c分别为的三边长， ， 即． 24. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明： 证明：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用：见解析； 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 【解析】 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明：略 模型应用：略 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试题 八年级数学 （时量： 120分钟 总分： 120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年5月19日， 央视新闻发布我国某国产品牌实现(即0.000000003m)芯片研发设计突破．数0.000000003，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则（ ） A. 或 B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中没有一个内角小于 D. 三角形中每个内角都大于 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 8. 数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过的边上一点（图①）作（图②）．我们可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点； ④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 下列排序正确的是（ ） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 9. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 12. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 13. 已知，，则的值为________． 14. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 15. 如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 16. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 三、解答题： (共72分．其中17， 18题每题6分．19，20题每题8分．21， 22题每题10分．23，24题每题12分) 17. 计算： 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD=3，CD=5，求AE的长． 22. 【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 23. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； （2）若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； （3）当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 24. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $