考点02 幂的乘方与积的乘方6大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点02 幂的乘方与积的乘方 考点一：幂的乘方 (am)n=amn (a≠0，m，n是正整数)，幂的乘方，底数不变，指数相乘． 考点二：幂的乘方公式推广 (a≠0，m，n，p是正整数). 考点三：幂的乘方的逆运算 个幂的指数如果可以拆成两个正整数的乘积，那么这个幂可以写成 “底数先进行其中一个指数的乘方，再进行另一个指数的乘方” 的形式．即amn=(am)n=(an)m (a≠0，m，n是正整数)． 考点四：积的乘方 (ab)n=anbn (n为正整数)，积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 考点五：积的乘方公式推广 (abc)n=anbncn(n为正整数) 考点六：积的乘方的逆运算 如果两个数（或式）的乘方的积，等于这两个数（或式）先相乘再整体乘方．即anbn=(ab)n(n为正整数)． 题型一：幂的乘方运算 幂的乘方，底数不变，指数相乘，直接利用运算法则进行计算． （1）幂的乘方，底数不变，指数相乘，注意与同底数幂乘法的区别，指数是相乘不是相加； （2）底数含负号时，注意指数奇偶性； （3）多个幂的乘方运算时，按顺序逐次计算，指数连续相乘． 【典例精讲】（2025秋•船营区校级期末）计算（a4）4＝（　　） A．a4 B．a8 C．a6 D．a16 【分析】直接应用幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝a4×4＝a16． 故选：D． 【变式训练1】（2025春•两当县月考）已知（m2）n＝m8，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．4 D．2 【分析】运用幂的乘方知识进行计算、辨别． 【解答】解：∵（m2）n＝m2n＝m8， ∴2n＝8， 解得n＝4， 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•太和县月考）若a3＝2，则（a2）3＝　　 ． 【分析】根据幂的乘方运算法则，将（a2）3转化为a6，再结合已知条件a3＝2，利用幂的乘方逆运算求解即可． 【解答】解：（a2）3＝a6＝（a3）2＝22＝4． 故答案为：4． 【变式训练3】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）（102）3； （2）（a3）4； （3）[（﹣b）3]3； （4）[（a+b）5]3． 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （4）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：（1）原式＝106； （2）原式＝a12； （3）原式＝（﹣b）9； （4）原式＝（a+b）15． 题型二：幂的乘方逆运算 amn=(am)n=(an)m (a≠0，m，n是正整数)，将指数写成两个或多个数乘积的形式. （1）注意指数拆分的正整数性，拆分后指数需为正整数，不可拆分成小数或分数； （2）含负号时，先判断底数符号. 【典例精讲】（2025•哈尔滨模拟）若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】把所给的等式进行整理，从而可求得相应的n与m的值，再代入所求进行运算即可． 【解答】解：∵2m＝4n+1，27n＝3m+1， ∴2m＝22n+2，33n＝3m+1， ∴m＝2n+2，3n＝m+1， 解得：n＝3，m＝8， ∴m﹣n＝8﹣3＝5． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•龙湖区期末）若22＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y等于（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．1 【分析】根据幂的乘方运算法则分别求出x，y，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵22＝4y﹣1＝22y﹣2，27y＝33y＝3x+1， ∴2y﹣2＝2，3y＝x+1， 解得y＝2，x＝5， ∴x﹣y＝5﹣2＝3． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•华阴市期末）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（　　） A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z 【分析】可得32x＝a，3y＝b，33z＝ab，从而可得32x+y＝33z，即可求解． 【解答】解：∵9x＝a，3y＝b，27z＝ab， ∴32x＝a，3y＝b，33z＝ab， ∴32x•3y＝33z， ∴32x+y＝33z， ∴2x+y＝3z； 故选：C． 题型三：积的乘方运算 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）积的所有因式都要分别乘方，不能遗漏任何一个因式； （2）因式为数字因数时，要先算数字的乘方，再与字母乘方结果相乘，避免直接和字母合并； （3）因式含负号时，根据指数奇偶性定结果符号：指数为偶，结果为正；指数为奇，结果为负． 【典例精讲】（2025秋•香洲区期末）已知an＝3，bn＝5，则（ab）n＝　　 ． 【分析】先根据积的乘方法则计算，然后代入求值即可． 【解答】解：∵an＝3，bn＝5，则（ab）n＝anbn＝3×5＝15， 故答案为：15． 【变式训练1】（2025秋•陇南期末）计算（2a2）3的结果为（　　） A．2a3 B．2a6 C．8a5 D．8a6 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6． 故选：D． 【变式训练2】计算下列各式，并用幂的形式表示结果． （1）（2x）4． （2）（xy2）3． （3）（t）3． （4）（﹣3a3）2． 【分析】各个小题均根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝24x4 ＝16x4； （2）原式＝x3•（y2）3 ＝x3y6； （3）原式 ； （4）原式＝（﹣3）2•（a3）2 ＝9a6． 题型四：积的乘方逆运算 如果两个数（或式）的乘方的积，等于这两个数（或式）先相乘再整体乘方． （1）必须保证所有因式的指数完全相同，指数不同时不能直接逆用，需先转化为同指数； （2）含负因数时，将负号归为一个因式参与运算，注意负号的乘方奇偶性； （3）与幂的乘方结合时，先统一指数，再逆用积的乘方． 【典例精讲】（2025•宁国市校级自主招生）已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（　　） A．30 B．27 C． D．3 【分析】由ab＝27和a、b的定义推出6n＝27，再结合3m＝6，将6用3m表示，得到3mn＝27，从而求出mn． 【解答】解：根据题意可知，ab＝3n×2n＝（3×2）n＝6n＝（3m）n＝3mn＝27， ∵27＝33， ∴3mn＝33， ∴mn＝3． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•永春县期末）如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝ ． 【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此解答即可． 【解答】解：∵5n＝a，4n＝b， ∴20n＝（5×4）n＝5n•4n＝ab． 故答案为：ab． 【变式训练2】（2024秋•抚顺期末）若2x+3×5x+3＝100x+1，则x的值是　 　 ． 【分析】由2x+3×5x+3＝100x+1可推出10x+3＝102x+2，得到x+3＝2x+2，运算求解即可． 【解答】解：∵2x+3×5x+3 ＝（2×5）x+3， ＝10x+3， ∴10x+3＝（102）x+1， ∴10x+3＝102x+2， ∴x+3＝2x+2， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【变式训练3】（2025秋•黄石期中）（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为6x+3＝62x+2，进而即可求出x的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把x3n＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式变形可得： 2x+3×3x+3＝36x+1， ∴（2×3）x+3＝（62）x+1， ∴6x+3＝62x+2， ∴x+3＝2x+2， 解得x＝1； （2）（3x3n）3+（﹣2x2n）3＝（3x3n）3+（﹣2）3（x3n）2， ∵x3n＝2， ∴原式＝（3×2）3+（﹣2）3×22＝184． 题型五：比较大小 （1）化同指数，利用幂的乘方逆运算：amn=(am)n=(an)m ，将所有幂转化为相同指数，再比较底数大小（指数为正整数时，底数越大，幂越大）； （2）化同底数，利用积的乘方/幂的乘方，将不同底数转化为相同底数，再比较指数大小（底数＞1时，指数越大幂越大）； （3）中间量法，利用积的乘方逆运算凑出±1、0等中间量，分别比较幂与中间量的大小，间接推导． （1）底数含负号时，先判断幂的符号：奇次幂为负，偶次幂为正，正数一定大于负数； （2）化同指数时，优先找指数的最大公因数，简化计算． 【典例精讲】（2025春•惠山区期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•临沂校级月考）350，440，530的大小关系为（　　） A．350＜440＜530 B．530＜350＜440 C．530＜440＜350 D．440＜530＜350 【分析】根据幂的乘方法则，将每一个数化为指数相同的数，再比较底数． 【解答】解：∵350＝（35）10＝24310， 440＝（44）10＝25610， 530＝（53）10＝12510， ∴530＜350＜440， 故选：B． 【变式训练2】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： （1）比较2100与375的大小； （2）比较8131、2741、961的大小． 【分析】（1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：（1）∵2100＝（24）25＝1625， 375＝（33）25＝2725， 27＞16， 2725＞1625， ∴2100＜375． （2）∵8131＝3124，2741＝3123，961＝3122， ∴8131＞2741＞3122． 题型六：利用积的乘方逆运算简便运算 抓同指数关键特征，将相乘的幂凑整十、整百、±1等易算数，简化计算；指数不同时先通过幂的乘方转化为同指数，再逆用． （1）前提必须是各因式指数完全相同，指数不同时先拆/化，不盲目套公式； （2）含负号时，将负号纳入底数一起计算，注意指数奇偶性定符号； （3）数字因式优先凑整（如2×5、4×25、8×125），字母因式直接合并，简化后续计算． 【典例精讲】（2025秋•滨海新区期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将式子化简，再根据逆向运用积的乘方运算得，最后求解即可． 【解答】解：原式 ． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•碑林区校级期末）计算：　　 ． 【分析】逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解： ＝12025×4 ＝4， 故答案为：4． 【变式训练2】（2025秋•潮阳区校级期中）计算： （1）（﹣a）2•a3； （2）． 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （2）逆用同底数幂的乘法和积的乘方计算即可． 【解答】解：（1）原式＝a2•a3＝a5； （2）原式 ． 【变式训练3】（2025秋•玉环市期中）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先把减法运算化为加法运算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 1．（2025秋•玄武区校级期末）与（x﹣2y）10相等的是（　　） A．﹣[﹣（x﹣y）5]2 B．﹣[﹣（2y﹣x）5]2 C．﹣[﹣（x﹣2y）2]5 D．﹣[﹣（﹣x﹣2y）2]5 【分析】先根据幂的乘方和积的乘方进行化简，再判断即可． 【解答】解：A、结果是﹣（x﹣y）10，和（x﹣2y）10不相等，故本选项错误； B、结果是﹣（x﹣2y）10，和（x﹣2y）10不相等，故本选项错误； C、结果是（x﹣2y）10，和（x﹣2y）10相等，故本选项正确； D、结果是（x+2y）10，和（x﹣2y）10不相等，故本选项错误； 故选：C． 2．（2025秋•自贡期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+16n＝（　　） A．a3b4 B．a2b C．a3b2 D．a2b3 【分析】将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【解答】解：根据题意可知，23m＝（2m）3＝a3，16n＝（24）n＝24n＝b， ∴216n＝24×4n＝（24n）4＝b4， ∴原式＝23m×216n ＝a3×b4 ＝a3b4． 故选：A． 3．（2025秋•门头沟区期末）已知2x+3y﹣1＝0，则4x•8y的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】将4和8转化为2的幂，利用指数运算性质结合已知等式求解． 【解答】解：根据题意可知，2x+3y＝1， ∴原式＝（22）x•（23）y ＝22x•23y ＝22x+3y ＝21 ＝2． 故选：B． 4．（2025秋•荔湾区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【分析】逆用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵xm＝3，xn＝5， ∴x2m+n＝x2m•xn＝（xm）2•xn＝32×5＝45， 故选：A． 5．（2025秋•龙马潭区期末）已知：3x＝5，且5y＝9，则xy的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用幂的运算法则，将已知条件代入求解． 【解答】解：由条件可知5y＝（3x）y＝3xy， 又∵5y＝9＝32， ∴xy＝2， 故选：B． 6．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 【分析】由2n＝4得n＝2，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得m+n＝p，再进一步分析即可． 【解答】解：∵2n＝4＝22， ∴n＝2， ∵2p＝12＝3×4＝2m×2n＝2m+n， ∴p＝m+n，即m+n＝p，A正确，符合题意， B：m+p＝m+（m+n）＝2m+n，但2m≠2，故m+p≠2n，所以B错误，不符合题意， C：n2﹣mp＝4﹣m（m+n）＝4﹣m2﹣2m，不是常数，且不等于2，故C错误，不符合题意， D：p+n＝（m+n）+n＝m+2n，而2n＝4，所以m+2n≠2n，故D错误，不符合题意， 故选：A． 7．（2025秋•自贡期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+16n＝（　　） A．a3b4 B．a2b C．a3b2 D．a2b3 【分析】将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【解答】解：根据题意可知，23m＝（2m）3＝a3，16n＝（24）n＝24n＝b， ∴216n＝24×4n＝（24n）4＝b4， ∴原式＝23m×216n ＝a3×b4 ＝a3b4． 故选：A． 8．（2025秋•大连期末）若2m＝a，8n＝b，则（2m+n）3＝（　　） A．a3b3 B．a3b C．a3+b D．a3b9 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵2m＝a，8n＝b， ∴（2m+n）3＝23m+3n ＝（2m）3•（23）n ＝a3b， 故选：B． 9．（2025秋•涪城区校级期末）已知10a＝200，10b＝5，则3a•3b＝　27　 ． 【分析】根据题意求出a+b的值，再利用同底数幂相乘法则求解即可． 【解答】解：∵10a＝200，10b＝5， ∴10a×10b＝10a+b＝200×5＝1000， ∴a+b＝3， ∴3a•3b＝3a+b＝33＝27， 故答案为：27． 10．（2025秋•安岳县校级期中）若x＝3m+2，y＝27m﹣8，则用x的代数式表示y为　（x﹣2）3﹣8　 ． 【分析】利用等式的性质求得3m＝x﹣2，然后再利用把3m用x代换即可得解． 【解答】解：∵x＝3m+2， ∴3m＝x﹣2， ∴y＝（x﹣2）3﹣8． 故答案为：（x﹣2）3﹣8． 11．（2025秋•科尔沁区期末）计算：　　 ． 【分析】逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣1 ， 故答案为：． 12．（2025秋•祁东县期末）若2m＝a，4n＝b，则2m+2n＝ab ． 【分析】利用指数运算法则，将 2m+2n分解为2m×22n，再结合已知条件代入求解． 【解答】解：∵4n＝b， ∴4n＝（22）n＝22n， ∴22n＝b， ∵2m＝a， ∴2m+2n＝2m×22n＝a×b＝ab． 故答案为：ab． 13．（2025秋•山东校级期中）如果（4x）2＝28，则x的值为　2　 ． 【分析】逆用幂的乘方把原式变为24x＝28，然后比较指数求解． 【解答】解：根据题意可知，4x＝（22）x＝22x， ∴（22x）2＝24x， ∴24x＝28， 即4x＝8， 解得：x＝2． 故答案为：2． 14．（2025秋•长春校级月考）比较大小：8131　＞　 2741． 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可． 【解答】解：8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123， ∵124＞123， ∴8131＞2741． 故答案为：＞． 15．（2024秋•涪城区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝a3b2 ． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：32n＝25n＝b， 则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2． 故答案为：a3b2． 16．（1）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： （24）3＝　212 ，（23）4＝　212 ； （x5）2＝x10 ，（x2）5＝x10 ；[（﹣2）4]3＝　212 ，[（﹣2）3]4＝　212 ；[（a+b）3]5＝　（a+b）15 ，[（a+b）5]3＝　（a+b）15 ． （2）观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则计算； （2）根据（1）中计算结果，总结规律； 【解答】解：（1）（24）3＝24×3＝212，（23）4＝23×4＝212； （x5）2＝x10，（x2）5＝x10；[（﹣2）4]3＝212，[（﹣2）3]4＝212；[（a+b）3]5＝（a+b）15，[（a+b）5]3＝（a+b）15， 故答案为：212，212；x10，x10；212，212；（a+b）15，（a+b）15； （2）符号表示：（am）n＝（an）m＝amn； 17．（2025秋•东方期末）已知am＝7，an＝3，bm＝2，求下列各式的值． （1）am+2n； （2）（ab）2m． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将am+2n转化为am•（an）2，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将（ab）2m转化为a2m•b2m＝（am）2•（bm）2，再代入已知值计算． 【解答】解：（1）∵am＝7，an＝3，代入得： am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝7×32＝7×9＝63； （2）∵am＝7，bm＝2，代入得： （ab）2m＝a2m•b2m＝（am）2•（bm）2＝72×22＝49×4＝196． 18．（2025秋•越秀区校级月考）已知ax＝4，bx＝5，求（ab）2x的值． 【分析】利用积的乘方，将（ab）2x变形为（ax）2（bx）2，再代值计算即可求解． 【解答】解：∵ax＝4，bx＝5， ∴（ab）2x ＝（ax）2（bx）2 ＝42×52 ＝16×25 ＝400． 19．（2025秋•沾化区期中）计算： （1）a•a7﹣2（a2）4+（﹣2a4）2； （2）0.1252015×82016． 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝a8﹣2a8+4a8＝3a8； （2）原式＝（）2015×82015×8 ＝（8）2015×8 ＝1×8 ＝8． 20．（2025秋•蒸湘区月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． （1）如果2×8x×162＝215，求x的值； （2）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可； （2）利用同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：（1）∵2×8x×162＝215， ∴2×23x（24）2＝215， ∴2×23x28＝215， ∴21+3x+8＝215， ∴1+3x+8＝15， 解得：x＝2． （2）∵22x+3﹣22x+1＝48，， ∴22x×23﹣22x×2＝48， ∴22x×8﹣22x×2＝48， ∴22x×（8﹣2）＝48， ∴22x×6＝48， ∴22x＝8， ∴22x＝23， ∴2x＝3， 解得：x． 21．（2025秋•四川校级月考）在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）已知：3×2x+1×4x﹣1＝96，求x的值． （2）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （3）若2×3x+2﹣3x+1＝45，求x的值． 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到23x﹣1＝25，据此可得方程3x﹣1＝5，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出6x+3＝62x﹣4，据此得出方程x+3＝2x﹣4，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到2×3×3x+1﹣3x+1＝45，进一步可得3x+1＝32，则x+1＝2，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）3×2x+1×4x﹣1＝96， 2x+1×4x﹣1＝32， 2x+1×（22）x﹣1＝25， 2x+1×22x﹣2＝25， 23x﹣1＝25， 3x﹣1＝5， 解得：x＝2； （2）2x+3•3x+3＝36x﹣2， （2×3）x+3＝（62）x﹣2， 6x+3＝62x﹣4， x+3＝2x﹣4， 解得：x＝7； （3）2×3x+2﹣3x+1＝45， 2×3×3x+1﹣3x+1＝45， 6×3x+1﹣3x+1＝5×9， （6﹣1）3x+1＝5×32， 5×3x+1＝5×32， 3x+1＝32， 解得：x＝1． 22．（2025春•曲阳县期末）若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值． 【分析】首先根据乘方的意义把4545＝（5×9）45＝（59）5•（95）9，进行计算即可． 【解答】解：4545＝（5×9）45＝（59）5•（95）9＝a5•b9． 23．（2025秋•大丰区期中）（1）计算：①（2×3）2＝　36　 ；22×32＝　36　 ；②[（﹣5）×3]2＝　225　 ；（﹣5）2×32＝　225　 ． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导： （23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝　（23×23×23）×（27×27×27）　 ＝233×373． （3）猜想：当n为正整数时，（a×b）n＝anbn ． （4）利用上述结论，求：①；②（﹣0.125）2025×22024×42024． 【分析】（1）根据有理数的乘法与乘方法则进行计算，即可解答； （2）利用乘法交换律、结合律即可解答； （3）利用（1）和（2）的结论，即可解答； （4）利用（3）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）①（2×3）2＝36；22×32＝36；②[（﹣5）×3]2＝225；（﹣5）2×32＝225； 故答案为：36；36；225；225； （2）（23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝（23×23×23）×（27×27×27）＝233×373， 故答案为：（23×23×23）×（27×27×27）； （3）当n为正整数时，（a×b）n＝anbn， 故答案为：anbn； （4）① ＝[（）]2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1； ②（﹣0.125）2025×22024×42024 ＝（﹣0.125）×（﹣0.125）2024×22024×42024 ＝（﹣0.125）×[（﹣0.125）×2×4]2024 ＝（﹣0.125）×（﹣1）2024 ＝（﹣0.125）×1 ＝﹣0.125． 24．（2025春•高唐县期中）请阅读下列材料：a3＝2，b5＝3，比较a，b的大小关系： 解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，且32＞27， ∴a15＞b15， ∴a＞b． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质C ． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 （2）已知a＞0，b＞0，a3＝9，b2＝8，试比较a，b的大小． 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出a＞0，b＞0，a3＝9，b2＝8，则（a3）2＝81，（b2）3＝512，由此即可得． 【解答】解：（1）a15＝（a3）5和b15＝（b5）3利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C； （2）∵a3＝9，b2＝8， ∴a6＝（a3）2＝92＝81，b6＝（b2）3＝83＝512， ∵81＜512， ∴a6＜b6， ∵a＞0，b＞0， ∴a＜b． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点一：幂的乘方 (am)n=amn (a≠0，m，n是正整数)，幂的乘方，底数不变，指数相乘． 考点二：幂的乘方公式推广 (a≠0，m，n，p是正整数). 考点三：幂的乘方的逆运算 个幂的指数如果可以拆成两个正整数的乘积，那么这个幂可以写成 “底数先进行其中一个指数的乘方，再进行另一个指数的乘方” 的形式．即amn=(am)n=(an)m (a≠0，m，n是正整数)． 考点四：积的乘方 (ab)n=anbn (n为正整数)，积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 考点五：积的乘方公式推广 (abc)n=anbncn(n为正整数) 考点六：积的乘方的逆运算 如果两个数（或式）的乘方的积，等于这两个数（或式）先相乘再整体乘方．即anbn=(ab)n(n为正整数)． 题型一：幂的乘方运算 幂的乘方，底数不变，指数相乘，直接利用运算法则进行计算． （1）幂的乘方，底数不变，指数相乘，注意与同底数幂乘法的区别，指数是相乘不是相加； （2）底数含负号时，注意指数奇偶性； （3）多个幂的乘方运算时，按顺序逐次计算，指数连续相乘． 【典例精讲】（2025秋•船营区校级期末）计算（a4）4＝（　　） A．a4 B．a8 C．a6 D．a16 【变式训练1】（2025春•两当县月考）已知（m2）n＝m8，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．4 D．2 【变式训练2】（2025秋•太和县月考）若a3＝2，则（a2）3＝　　 ． 【变式训练3】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）（102）3； （2）（a3）4； （3）[（﹣b）3]3； （4）[（a+b）5]3． 题型二：幂的乘方逆运算 amn=(am)n=(an)m (a≠0，m，n是正整数)，将指数写成两个或多个数乘积的形式. （1）注意指数拆分的正整数性，拆分后指数需为正整数，不可拆分成小数或分数； （2）含负号时，先判断底数符号. 【典例精讲】（2025•哈尔滨模拟）若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【变式训练1】（2025秋•龙湖区期末）若22＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y等于（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣1 D．1 【变式训练2】（2025秋•华阴市期末）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（　　） A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z 题型三：积的乘方运算 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）积的所有因式都要分别乘方，不能遗漏任何一个因式； （2）因式为数字因数时，要先算数字的乘方，再与字母乘方结果相乘，避免直接和字母合并； （3）因式含负号时，根据指数奇偶性定结果符号：指数为偶，结果为正；指数为奇，结果为负． 【典例精讲】（2025秋•香洲区期末）已知an＝3，bn＝5，则（ab）n＝　　 ． 【变式训练1】（2025秋•陇南期末）计算（2a2）3的结果为（　　） A．2a3 B．2a6 C．8a5 D．8a6 【变式训练2】计算下列各式，并用幂的形式表示结果． （1）（2x）4． （2）（xy2）3． （3）（t）3． （4）（﹣3a3）2． 题型四：积的乘方逆运算 如果两个数（或式）的乘方的积，等于这两个数（或式）先相乘再整体乘方． （1）必须保证所有因式的指数完全相同，指数不同时不能直接逆用，需先转化为同指数； （2）含负因数时，将负号归为一个因式参与运算，注意负号的乘方奇偶性； （3）与幂的乘方结合时，先统一指数，再逆用积的乘方． 【典例精讲】（2025•宁国市校级自主招生）已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（　　） A．30 B．27 C． D．3 【变式训练1】（2025秋•永春县期末）如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝ ． 【变式训练2】（2024秋•抚顺期末）若2x+3×5x+3＝100x+1，则x的值是　 　 ． 【变式训练3】（2025秋•黄石期中）（1）已知2x+3×3x+3＝36x+1，求x的值； （2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3+（﹣2x2n）3的值． 题型五：比较大小 （1）化同指数，利用幂的乘方逆运算：amn=(am)n=(an)m ，将所有幂转化为相同指数，再比较底数大小（指数为正整数时，底数越大，幂越大）； （2）化同底数，利用积的乘方/幂的乘方，将不同底数转化为相同底数，再比较指数大小（底数＞1时，指数越大幂越大）； （3）中间量法，利用积的乘方逆运算凑出±1、0等中间量，分别比较幂与中间量的大小，间接推导． （1）底数含负号时，先判断幂的符号：奇次幂为负，偶次幂为正，正数一定大于负数； （2）化同指数时，优先找指数的最大公因数，简化计算． 【典例精讲】（2025春•惠山区期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【变式训练1】（2025秋•临沂校级月考）350，440，530的大小关系为（　　） A．350＜440＜530 B．530＜350＜440 C．530＜440＜350 D．440＜530＜350 【变式训练2】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： （1）比较2100与375的大小； （2）比较8131、2741、961的大小． 题型六：利用积的乘方逆运算简便运算 抓同指数关键特征，将相乘的幂凑整十、整百、±1等易算数，简化计算；指数不同时先通过幂的乘方转化为同指数，再逆用． （1）前提必须是各因式指数完全相同，指数不同时先拆/化，不盲目套公式； （2）含负号时，将负号纳入底数一起计算，注意指数奇偶性定符号； （3）数字因式优先凑整（如2×5、4×25、8×125），字母因式直接合并，简化后续计算． 【典例精讲】（2025秋•滨海新区期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•碑林区校级期末）计算：　　 ． 【变式训练2】（2025秋•潮阳区校级期中）计算： （1）（﹣a）2•a3； （2）． 【变式训练3】（2025秋•玉环市期中）计算： （1）． （2）． 1．（2025秋•玄武区校级期末）与（x﹣2y）10相等的是（　　） A．﹣[﹣（x﹣y）5]2 B．﹣[﹣（2y﹣x）5]2 C．﹣[﹣（x﹣2y）2]5 D．﹣[﹣（﹣x﹣2y）2]5 2．（2025秋•自贡期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+16n＝（　　） A．a3b4 B．a2b C．a3b2 D．a2b3 3．（2025秋•门头沟区期末）已知2x+3y﹣1＝0，则4x•8y的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2025秋•荔湾区期末）若xm＝3，xn＝5，则x2m+n的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 5．（2025秋•龙马潭区期末）已知：3x＝5，且5y＝9，则xy的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025秋•闵行区期末）设2m＝3，2n＝4，2p＝12下列m，n，p三者之间的关系式正确的是（　　） A．m+n＝p B．m+p＝2n C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2n 7．（2025秋•自贡期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+16n＝（　　） A．a3b4 B．a2b C．a3b2 D．a2b3 8．（2025秋•大连期末）若2m＝a，8n＝b，则（2m+n）3＝（　　） A．a3b3 B．a3b C．a3+b D．a3b9 9．（2025秋•涪城区校级期末）已知10a＝200，10b＝5，则3a•3b＝　　 ． 10．（2025秋•安岳县校级期中）若x＝3m+2，y＝27m﹣8，则用x的代数式表示y为　　 ． 11．（2025秋•科尔沁区期末）计算：　　 ． 12．（2025秋•祁东县期末）若2m＝a，4n＝b，则2m+2n＝ 　　 ． 13．（2025秋•山东校级期中）如果（4x）2＝28，则x的值为　　 ． 14．（2025秋•长春校级月考）比较大小：8131　　 　 2741． 15．（2024秋•涪城区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 ． 16．（1）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： （24）3＝　 ，（23）4＝　 ； （x5）2＝　 ，（x2）5＝　 ；[（﹣2）4]3＝　　 ，[（﹣2）3]4＝　 ；[（a+b）3]5＝　 ，[（a+b）5]3＝　 ． （2）观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 17．（2025秋•东方期末）已知am＝7，an＝3，bm＝2，求下列各式的值． （1）am+2n； （2）（ab）2m． 18．（2025秋•越秀区校级月考）已知ax＝4，bx＝5，求（ab）2x的值． 19．（2025秋•沾化区期中）计算： （1）a•a7﹣2（a2）4+（﹣2a4）2； （2）0.1252015×82016． 20．（2025秋•蒸湘区月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． （1）如果2×8x×162＝215，求x的值； （2）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 21．（2025秋•四川校级月考）在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）已知：3×2x+1×4x﹣1＝96，求x的值． （2）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （3）若2×3x+2﹣3x+1＝45，求x的值． 22．（2025春•曲阳县期末）若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值． 23．（2025秋•大丰区期中）（1）计算：①（2×3）2＝　　 ；22×32＝　　 ；②[（﹣5）×3]2＝　　 ；（﹣5）2×32＝　　 ． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导： （23×37）3＝（23×37）×（23×37）×（23×37）＝　　 ＝233×373． （3）猜想：当n为正整数时，（a×b）n＝　 ． （4）利用上述结论，求：①；②（﹣0.125）2025×22024×42024． 24．（2025春•高唐县期中）请阅读下列材料：a3＝2，b5＝3，比较a，b的大小关系： 解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，且32＞27， ∴a15＞b15， ∴a＞b． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质C ． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 （2）已知a＞0，b＞0，a3＝9，b2＝8，试比较a，b的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $