专题07平行四边形寒假预习讲义（3）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题07平行四边形寒假预习讲义（3） · 认识图形旋转，掌握旋转三要素。 · 探索并理解旋转的三条基本性质。 · 会按要求作简单图形旋转后的图形。 · 能识别生活中的旋转现象，感知数学与生活的联系。 · 初步体会旋转的图形变换价值，发展空间观念。 预习必备 知识点梳理 1.旋转的定义 2.核心三要素 3.旋转的性质(必记) 4.坐标系中的旋转(高频考点) 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.认识生活中的旋转现象 2.判定旋转生成的图案 3.确定旋转三要素 4.旋转性质的应用 5.用旋转性质证线段或角相等 6.旋转性质的理解与辨析 7.绘制旋转图形 8.原点旋转90坐标求解 9.非原点旋转90坐标求解 10.原点旋转坐标求解 11.坐标与旋转规律探究 12.旋转综合之线段问题 13.旋转综合之角度问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.旋转的定义】 旋转定义：平面内，图形绕一个定点（旋转中心）沿某个方向（顺 / 逆时针）转动一个角度（旋转角）的运动。 识别要点：能判断生活中的旋转现象（如钟表、风车），能识别图案是否由基本图形旋转得到。 【知识点02.核心三要素】 1.旋转中心：图形绕着转动的点（可在图形上、内、外），由两组对应点连线的垂直平分线交点确定。 2.旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角（同一旋转中所有旋转角相等）。 3.对应点：原图形上的点旋转后到达的点，对应点到旋转中心的距离相等。 【知识点03.旋转的性质(必记)】 1.旋转前后图形全等（对应边、角相等）。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 【知识点04.坐标系中的旋转(高频考点)】 绕原点旋转 点P(x,y)逆时针转 90°→P′(−y,x) 顺时针转 90°→P′(y,−x) 转 180°→P′(−x,−y) 绕非原点旋转：先平移中心到原点，再旋转，最后平移回原位置。 【知识点05.易错点提醒】 1.旋转中心的位置要通过对应点连线的垂直平分线确定，不能凭感觉选。 2.坐标系中旋转的坐标规律别搞反顺时针和逆时针。 3.题目没说旋转方向时，要考虑顺、逆两种可能。 【题型1.认识生活中的旋转现象】 【典例】下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【跟踪专练1】下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【题型2.判定旋转生成的图案】 【典例】打乒乓球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【题型3.确定旋转三要素】 【典例】如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 【跟踪专练1】如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是 ．       【题型4.旋转性质的应用】 【典例】如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，与都是等边三角形．下列说法中，正确的有 ． ①可由绕点B顺时针旋转得到，A与D是一组对应点； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点； ④可由关于作轴对称变换得到，B与C是一组对应点． 【跟踪专练2】如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型5.用旋转性质证线段或角相等】 【典例】如图，绕点逆时针旋转得到，则 ． 【跟踪专练1】一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是（    ） A．对应线段平行 B．对应线段相等 C．图形的形状发生变化 D．图形的大小发生变化 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【题型6.旋转性质的理解与辨析】 【典例】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【跟踪专练1】如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【跟踪专练2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【题型7.绘制旋转图形】 【典例】将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ． 【跟踪专练2】如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（    ） A．（﹣1，3） B．（－1，2） C．（0，2） D．（0，3） 【题型8.原点旋转90度坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将先向右平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型9.非原点旋转90度坐标求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】按图所示的方式放置在平面直角坐标系中，，．将斜边绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 【题型10.原点旋转坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　　） A． B． C． D． 【题型11.坐标与旋转规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为 ． 【题型12.旋转综合之线段问题】 【典例】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，AC＝3，点P是△ABC内部任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ． 【跟踪专练2】在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【题型13.旋转综合之角度问题】 【典例】如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则 （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为 ． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 2．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由： 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 4．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 5．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平行四边形寒假预习讲义（3） · 认识图形旋转，掌握旋转三要素。 · 探索并理解旋转的三条基本性质。 · 会按要求作简单图形旋转后的图形。 · 能识别生活中的旋转现象，感知数学与生活的联系。 · 初步体会旋转的图形变换价值，发展空间观念。 预习必备 知识点梳理 1.旋转的定义 2.核心三要素 3.旋转的性质(必记) 4.坐标系中的旋转(高频考点) 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.认识生活中的旋转现象 2.判定旋转生成的图案 3.确定旋转三要素 4.旋转性质的应用 5.用旋转性质证线段或角相等 6.旋转性质的理解与辨析 7.绘制旋转图形 8.原点旋转90坐标求解 9.非原点旋转90坐标求解 10.原点旋转坐标求解 11.坐标与旋转规律探究 12.旋转综合之线段问题 13.旋转综合之角度问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.旋转的定义】 旋转定义：平面内，图形绕一个定点（旋转中心）沿某个方向（顺 / 逆时针）转动一个角度（旋转角）的运动。 识别要点：能判断生活中的旋转现象（如钟表、风车），能识别图案是否由基本图形旋转得到。 【知识点02.核心三要素】 1.旋转中心：图形绕着转动的点（可在图形上、内、外），由两组对应点连线的垂直平分线交点确定。 2.旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角（同一旋转中所有旋转角相等）。 3.对应点：原图形上的点旋转后到达的点，对应点到旋转中心的距离相等。 【知识点03.旋转的性质(必记)】 1.旋转前后图形全等（对应边、角相等）。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 【知识点04.坐标系中的旋转(高频考点)】 绕原点旋转 点P(x,y)逆时针转 90°→P′(−y,x) 顺时针转 90°→P′(y,−x) 转 180°→P′(−x,−y) 绕非原点旋转：先平移中心到原点，再旋转，最后平移回原位置。 【知识点05.易错点提醒】 1.旋转中心的位置要通过对应点连线的垂直平分线确定，不能凭感觉选。 2.坐标系中旋转的坐标规律别搞反顺时针和逆时针。 3.题目没说旋转方向时，要考虑顺、逆两种可能。 【题型1.认识生活中的旋转现象】 【典例】下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 【跟踪专练1】下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 【题型2.判定旋转生成的图案】 【典例】打乒乓球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转是解题关键． 【详解】 解：图标通过旋转可以得到图形 故选：D． 【跟踪专练1】如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 【跟踪专练2】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【题型3.确定旋转三要素】 【典例】如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了找旋转角，深刻理解旋转角的定义是解题的关键. 根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：旋转角是： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是 ．       【答案】（1，-1） 【分析】由旋转的性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标． 【详解】解：由旋转的性质，得 A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F 作BE和AD的垂直平分线，交点为P ∴点P的坐标为（1，-1） 故答案为：（1，-1）    【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有30°，45°，60°，90°，180°． 【题型4.旋转性质的应用】 【典例】如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴，解得：， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，与都是等边三角形．下列说法中，正确的有 ． ①可由绕点B顺时针旋转得到，A与D是一组对应点； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点； ④可由关于作轴对称变换得到，B与C是一组对应点． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的定义逐项进行判断，得出答案即可． 【详解】解：①可由绕点B顺时针旋转得到，A与C是一组对应点，故原说法错误； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点，故此说法正确； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点，故此说法正确； ④可由关于作轴对称变换得到，A与D是一组对应点，而B与C不是一组对应点，故原说法错误； 综上分析可知，正确的是②③． 故答案为：②③． 【跟踪专练2】如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质等，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由旋转的性质得到，，可推出，再由平行四边形的性质推出，从而证出，结合三角形内角和定理即可得到，从而得到答案． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即旋转的角度为， 故选：D． 【题型5.用旋转性质证线段或角相等】 【典例】如图，绕点逆时针旋转得到，则 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【跟踪专练1】一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是（    ） A．对应线段平行 B．对应线段相等 C．图形的形状发生变化 D．图形的大小发生变化 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移的性质，根据平移和旋转的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、平移后对应线段平行，旋转对应线段不一定平行，故本选项错误； B、无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确； C、无论平移还是旋转，图形的形状没有发生变化，故本选项错误； D、无论平移还是旋转，图形的大小没有发生变化，故本选项错误． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型6.旋转性质的理解与辨析】 【典例】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【跟踪专练2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【题型7.绘制旋转图形】 【典例】将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的图形如图， 故选:B． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转不改变图形的大小与形状，对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角是解题关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解． 【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（    ） A．（﹣1，3） B．（－1，2） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B'的坐标． 【详解】解：如图， 根据图形可得：点B′坐标为（0，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 【题型8.原点旋转90度坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，然后确定点A与对应点B的位置，再写出坐标即可． 【详解】解：如图，依题意，点A的对应点为， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化—旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【跟踪专练1】如图，将先向右平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，中心对称的性质，根据平移的性质，以及中心对称的性质画出图形，根据坐标系写出点的坐标即可求解．根据题意作出图形是解题的关键． 【详解】解：作图如图， 点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中三角形旋转的规律问题，根据旋转的概率，即可得出每旋转次一个循环，进而得到第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，掌握旋转的规律是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时，点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； ； ∴每旋转次一个循环， ∴第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，为； 故选：． 【题型9.非原点旋转90度坐标求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标． 【详解】解：作轴于点， 由旋转可得，轴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：点的对应点的坐标为； 故选A． 【跟踪专练2】按图所示的方式放置在平面直角坐标系中，，．将斜边绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转与点的坐标计算，熟练掌握相关内容是解题的关键； 先利用直角三角形的性质求OA、OB的长度确定点A、点B的坐标 ，再通过旋转的性质构造全等三角形，求出点C到坐标轴距离，进而确定C的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点． ，，， ， ． 将绕点顺时针旋转得到线段， ，． ， ． 又， ， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【题型10.原点旋转坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点P绕原点旋转180°，实质是点P关于原点对称，根据点关于原点对称的特点即可求得点Q的坐标． 【详解】由题意知，点P、Q关于原点对称，两点关于原点对称的特点是：横坐标与纵坐标分别变为它们的相反数，则点Q的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两点之间的坐标特征，弄清其坐标特征是本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转180°后，两点关于原点对称，确定坐标即可． 【详解】∵绕原点旋转180°， ∴两个点是关于原点对称的， ∴旋转后的坐标为(1，2)， 故选A． 【点睛】本题考查了原点对称，正确理解绕原点旋转180°实质是原点对称是解题的关键． 【题型11.坐标与旋转规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图    可知：，，，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题， 先求出各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转和平移的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到点的坐标规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴将矩形绕点逆时针旋转，如图， 可知：，，，， ， 则每旋转次则回到原位置， ∴， 即第次旋转结束时，完成了次循环，与的位置相同 ， ∵第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位， ∴变换后得到的点对应点的坐标为， 故答案为：． 【题型12.旋转综合之线段问题】 【典例】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【跟踪专练1】如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，AC＝3，点P是△ABC内部任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△ABP逆时针旋转60°到△AB1P1构造出等边三角形，然后根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC的最小值即B1C的长度，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】如图所示，将△ABP逆时针旋转60°到△AB1P1，连接PP1，B1C． ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴PA+PB+PC=， ∵点B1和点C都是定点， ∴的最小值为线段B1C的长度． ∵△ABP逆时针旋转60°到△AB1P1， ∴∠BAB1=60°，， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠CAB1=90°． ∴在中，． ∴PA+PB+PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是根据题意旋转三角形作出辅助线构造等边三角形． 【跟踪专练2】在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 【题型13.旋转综合之角度问题】 【典例】如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】若使直线b与直线c平行，则∠1=180°-∠2=140°，还差20°，故旋转20°． 【详解】解： ∵∠1=120°， ∴∠3=180°-120°=60°． ∵∠2=40°， ∴要使b∥c，则∠2=∠3， ∴直线b绕点A逆时针旋转60°-40°=20°． 故选B． 【点睛】本题考查直线与平行线相交的性质，掌握这些性质是本题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则 （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为 ． 【答案】 3或21 【分析】（1）根据旋转的性质，当时求出旋转角为，即可求解； （2）根据所在直线恰好平分，则或，结合图形列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，旋转角为， ∴， 故答案为：； （2）当直线恰好平分时，如图， ∴或， ∴ ， 当射线恰好平分时，如图， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，周角度数，列出正确的方程是解本题的关键． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据网格的特点和旋转方式找到A、C的对应点的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由： 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． （1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2），理由如下： 延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 4．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 5．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $