湖南长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

长沙市同升湖高级中学 2025年下学期高二期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人： 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知直线，则的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．90° D． 120° 2．圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3．在等差数列{an}中,若a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A.7 B.15 C.20 D.25 4．若抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则下列点中,在抛物线y2=2px上的是(　　) A.(1,2) B.(3,-6) C.(2,-2) D.(1,) 5．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 6．已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A. -2 B. 2 C.-8 D. 8 7．已知直线与抛物线交于两点，则等于（　　） A. B. 3 C. 5 D. 4 8．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10．已知等差数列10,7,4,…,则(　　) A.该数列的通项公式为an= - 3n+13 B.-25是该数列的第13项 C.该数列的前5项和最大 D.设该数列为{an},则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=48 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的值域为 C． D．若，，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的渐近线方程为________ 13．由阿基米德的著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即.已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为，则椭圆的面积为__________. 14．已知数列中，，且，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）已知数列{an}满足a1=50,an+1=an+2n. (1)求{an}的通项公式; (2)已知数列{bn}的前n项和为an,若bm=50,求正整数m的值. 16.（本小题15分）已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，E，F分别是CD，PA的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    18.（本小题17分）已知曲线． （1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 19.（本小题17分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； （3）记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 2025年下学期高二期末考试数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B B C A C D AC AD BD 2.由圆的标准方程，可知圆心为.故选：B 3.设等差数列{an}的公差为d,则有故S5=5a1+d=15，选B 4.B 由于抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则抛物线方程为y2=12x,故点(3,-6)在该抛物线上. 5.设切点为，则对求导有，故在处切线的斜率为， 则由在直线上可得，解得，故.故选：C 6.答案：A解析：两直线垂直，斜率之积为。由韦达定理，，故，解得。 7. C显然抛物线焦点坐标为，，则直线过焦点， 将与抛物线联立得，， 设，则， 由焦点弦长公式可得：.故选：C 8. D ，若在上单调递增， 则在恒成立，即，令， 其对称轴为，所以的最大值为，故只需．即．故选：D． 10.AD 依题意知,首项a1=10,公差d=-3,所以该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=10-3(n-1)=-3n+13,故A正确;由an=-3n+13=-25,得n=≠13,故B不正确; 由an=-3n+13≥0,得n≤4,由an=-3n+13<0,得n≥5,所以该数列的前4项和最大,故C不正确;数列{an}的前n项和Sn=10n+×(-3)=, |a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+a7+a8)=2S4-S8=2×=48,故D正确.故选AD. 11.BD 的定义域为，在定义域上恒成立， 所以的单调递增区间为，，故错误；当趋近于0时，趋于， 当趋近于1，且在1的左侧时，趋于，所以的值域为，故正确； ，所以， 又，所以，故错误； ， 因为，所以，又，所以，即，故正确.故选：. 12. 故答案：. 13. 设，因为，且的面积为， ，即，化简得，又，所以，即， 因为椭圆的离心率为，则，化简得， 则易得，故椭圆的面积为.故答案为：. 14.已知，两边同时除以，可得，即. 又当时，，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，所以. 15.(1)当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =2(n-1)+2(n-2)+…+2×2+2×1+50=2×+50=n2-n+50, 又a1=50=12-1+50,故{an}的通项公式为an=n2-n+50. (2)b1=a1=50,当n≥2时,bn=an-an-1=n2-n+50-[(n-1)2-(n-1)+50]=2n-2,即bn= 当m≥2时,令bm=50,得2m-2=50,解得m=26.又b1=50,故正整数m的值为1或26. 16.（1） ， 所以函数的最小正周期为，令，，解得，，， 所以函数的对称中心为，. （2）令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （3）因为函数在存在零点，即方程在上有解，当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 17.（1）   取中点，连接，分别为中点，且， 为矩形，为中点，且， 且，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）如图，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 所以，由题意可知，可作为平面的法向量， ，所以平面与平面夹角的余弦值为. 18.（1）由，则，而直线的斜率为3， 所以，解得. （2））由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则，所以，解得. 19.（1）由题得，所以椭圆的方程为. （2）设，因为直线的倾斜角为45°，所以， 联立，所以，所以，所以，， 所以的中点坐标为； （3）设，， 由，化简为， ，则，， 又 ， 因为，所以，即，所以. 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $