精品解析：广东佛山市顺德区2025-2026学年第一学期八年级期末数学试卷

机密★启用前 2025学年第一学期八年级数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是整数，不属于无理数； B．，属于无理数； C．，是整数，不属于无理数； D．，是有限小数，不属于无理数； 故选：B． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形．分别验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断． 根据同位角、平方根、对顶角和平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，A是假命题； B．如果，则，B是假命题； C．对顶角总是相等，C是真命题； D．两直线平行时，同旁内角互补，而非相等，D是假命题； 故选：C． 5. 如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、反射角等于入射角以及平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用平行线的性质，得，由反射角等于入射角得，根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由反射角等于入射角得，， ， 故选：D． 6. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标符号判断象限，横坐标为正，纵坐标恒为正，故点在第一象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第一象限． 故选：A． 7. 某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（ ） A. 124 B. 132 C. 134 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查箱线图，直接从箱线图中获取信息，即可得出结果． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的下四分位数为132； 故选B． 8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，先根据图象所过象限，判断的符号，再判断函数所过象限，即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴函数的图象经过一，三，四象限； 故选A． 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：绳测井深．假若井不知深，先将绳三折入井，绳长五尺；后将绳四折入井，亦长二尺．问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份放入井中，那么一份绳子会比井深多5尺；若将绳子折成四等份放入井中，则一份绳子会比井深多2尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长m尺，井深n尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，绳折三等份时每份长度比井深多5尺，折四等份时每份长度比井深多2尺，则每份长度等于井深加上多余尺数，进而即可列出方程组． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． ∵折三等份，每份长尺，比井深多5尺， ∴． ∵折四等份，每份长尺，比井深多2尺， ∴． ∴列方程组为， 故选D． 10. 将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数和中位数，理解题意是解决本题的关键． 方差不变要求满足线性变换为且或；同时平均数和中位数均需发生变化，即或时b任意，据此判断即可． 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变 ∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意； B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意； D：，，方差变化，不符合题意； 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据绝对值的性质计算得到结果． 【详解】解：． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为相反数， ∴对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【答案】3或12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 14. 若点在函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 将代入求出，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，直角三角形的底边长为3，高为1．将三角形的斜边AB绕数轴上的顶点A旋转，交数轴于点C．C表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ∴， ∴点表示的数为； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）解方程组：； （3）近似计算：，结果保留整数． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、解二元一次方程组和无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据立方根、平方根的定义计算各项，即可得到结果； （2）利用加减消元法即可解决； （3）先估算和，进而相减即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； （3）∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是________，结论是________；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 【答案】（1）①②，④（答案不唯一） （2） 条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． （1）求四边形的面积； （2）探究四边形对角线、的位置关系． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根据网格求面积，勾股定理逆定理． （1）根据割补法求面积即可； （2）连接，，作交格点于E，连接，根据勾股定理逆定理证明，即可得到． 【小问1详解】 解：四边形的面积 ； 【小问2详解】 解：如图，连接，，作交格点于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 19. 某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． （1）求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； （2）该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 【答案】（1）甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元 （2）共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元，根据题意可列，进行求解即可； （2）设购进甲型号a台，乙型号b台，根据题意得，将b表示出来，进而可得，最后根据题意进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元． 根据题意得， 解得， ∴甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号a台，乙型号b台， 根据题意得， ∵为正整数， ∴， 解得， ∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， ∴共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台． 20. 学校倡导学生每天综合体育活动时间不低于两小时．某学习小组为了解学校各年级同学在校参加综合体育活动的时长，在三个年级中各随机抽取一个班级进行调查，数据记录如下（单位：分钟）： 天数 班级 第一周 第二周 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 初一某班 125 113 118 114 116 120 112 126 125 121 初二某班 121 125 121 122 110 122 117 121 116 115 初三某班 127 121 115 122 125 121 121 115 118 115 （1）利用所学统计知识，从至少2个角度对这三个班级的校内综合体育活动时长进行分析； （2）根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想？ 【答案】（1）初三某班的活动平均时长更长，初二某班的活动时长差值最大； （2）三个班级的平均活动时长差距不大． 【解析】 【分析】本题考查了数据分析问题． （1）任选2个角度进行分析即可； （2）通过已知数据作判断即可． 【小问1详解】 解：初一某班平均活动时长为（分钟）； 初二某班平均活动时长为（分钟）； 初三某班平均活动时长为（分钟）； 初一某班数据最大值126，最小值112，极差14分钟； 初二某班数据最大值125，最小值110，极差15分钟； 初三某班数据最大值127，最小值115，极差12分钟； 即初三某班的活动时长更长，初二某班的活动时长差值最大； 【小问2详解】 解：由（1）可知初三班级的活动时间稍高，但三个班级的平均活动时长差距不大． 21. 综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． （1）在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； （2）分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ （3）C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【答案】（1） 画图如下： （2），选择公司最省钱；，选择公司一样省钱，，选择公司最省钱； （3） 由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 【解析】 【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象，进行说明即可； （3）分2种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 【小问2详解】 解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 【小问3详解】 略 22. 你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． （1）尺规作图：画出折痕； （2）设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2） 解：点为的三等分点，证明如下： 设正方形的边长为1，作，连接，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，； 在中，， 在中，， ∴，解得； ∴， 即点为的三等分点． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂直平分线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据折叠的性质，得到垂直平分，连接，作的中垂线即为直线； （2）设正方形的边长为1，作，连接，设，则，在，勾股定理求出的值，设，则，，在和中，勾股定理表示出，，再在中，利用勾股定理求出的值，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，． （1）如图1，P为线段上靠近B的三等分点，是等边三角形，求； （2）如图2，P为射线上的动点，探究与的数量关系； （3）如图3，P为直线上的动点，，将绕点A逆时针旋转到，作中点R，探究的面积． 【答案】（1）8 （2）当点P在线段上时，；当点P在射线上时， （3）的面积为2 【解析】 【分析】（1）作，根据等边三角形的性质，得出、，再根据三等分点求出和，从而算出的值，最后根据勾股定理，得到，，计算即可； （2）分两种情况：如图1，当点P在线段上点时，过点作交于点，得出，再根据线段之间的关系，计算可得，利用勾股定理得，从而得到，计算即可求解；如图2，当点P在射线上时，作，根据等腰三角形的性质，得出，再根据线段之间的关系，计算可得，利用勾股定理得，从而得到，计算即可求解； （3）连接、，取，的中点、，连接，，利用勾股定理的逆定理和旋转可得和是等腰直角三角形，求出线段、，再利用“”可证，从而得到，，再根据中位线定理得，进而得到，最后根据面积公式和等量代换，分别用表示出、和，根据“P为直线上的动点”，分三种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作交于点， 是等边三角形，， ， ， ， P为线段上靠近B的三等分点， ，， ，， 在中，， 即， 在中，， 即， ； 【小问2详解】 解：分两种情况： 如图1，当点P在线段上时，过点作交于点， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ∴； 情况二：如图2，当点P在射线上时，过点作交于点， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ； 【小问3详解】 姐：如图，连接、，取，的中点、，连接，， 由旋转得，，，即是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， ，， ，即， ，即是等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， ，即， 、分别是、的中点， ，， ， ， 在，， ， 是等腰直角三角形，是的中点， ， ， P为直线上的动点， 分以下三种情况讨论的面积， 第一种情况，如图，当点在点左边时， 由图可得， ， ， 则 ； 第二种情况，如图，当点在线段上时， 由图可得， ， ， 则 ； 第三种情况，如图，当点在点的右边时， 由图可得， ， ， 则 ； 综上可得：的面积为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的变化，中位线定理，三角形面积公式，用割补法求面积等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025学年第一学期八年级数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，8 D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角相等 5. 如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（ ） A. 124 B. 132 C. 134 D. 144 8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：绳测井深．假若井不知深，先将绳三折入井，绳长五尺；后将绳四折入井，亦长二尺．问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份放入井中，那么一份绳子会比井深多5尺；若将绳子折成四等份放入井中，则一份绳子会比井深多2尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长m尺，井深n尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：______． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 14. 若点在函数的图象上，则的值为________． 15. 如图，直角三角形的底边长为3，高为1．将三角形的斜边AB绕数轴上的顶点A旋转，交数轴于点C．C表示的数是________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）解方程组：； （3）近似计算：，结果保留整数． 17. 如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是________，结论是________；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． （1）求四边形的面积； （2）探究四边形对角线、的位置关系． 19. 某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． （1）求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； （2）该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 20. 学校倡导学生每天综合体育活动时间不低于两小时．某学习小组为了解学校各年级同学在校参加综合体育活动的时长，在三个年级中各随机抽取一个班级进行调查，数据记录如下（单位：分钟）： 天数 班级 第一周 第二周 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 初一某班 125 113 118 114 116 120 112 126 125 121 初二某班 121 125 121 122 110 122 117 121 116 115 初三某班 127 121 115 122 125 121 121 115 118 115 （1）利用所学统计知识，从至少2个角度对这三个班级的校内综合体育活动时长进行分析； （2）根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想？ 21. 综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． （1）在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； （2）分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ （3）C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 22. 你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． （1）尺规作图：画出折痕； （2）设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 23. 在中，． （1）如图1，P为线段上靠近B的三等分点，是等边三角形，求； （2）如图2，P为射线上的动点，探究与的数量关系； （3）如图3，P为直线上的动点，，将绕点A逆时针旋转到，作中点R，探究的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $