江西乐平中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（4-30班）

江西省乐平中学2025-2026学年高二上学期期末考试 （4-30班）数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：程辉辉 审核人：胡柳彬 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？ A．260 B．180 C．240 D．120 3．，线与平行，线与垂直，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．的展开式中和的系数相等，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（    ） A．40 B．28 C．20 D．14 7．已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为 则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．4 B． C．3 D．2 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是半径为的圆 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 10．甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．下列结论正确的是（    ） A．从乙箱中取出两球是白球的概率为0.18 B．从乙箱中取出两球是黑球的概率为0.27 C．若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是黑球的概率 D．若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是白球的概率 11．如图，在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点.则下列说法正确的是（    ） A．点为中点时， B．当点运动时，折线段长度的最小值是 C．当点运动时，三棱锥外接球的球心总在线上 D．当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12．点在线段（含端点）上运动，且，则范围为 ． 13．如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球体积 ．    14．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知圆过点，且圆心在直线 (1)求圆的方程； (2)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程. 16．（15分）每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分）假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中． (1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为． ①求； ②若其中求的值． (2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对． 19．（17分）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点. (1)若，求点M的横坐标； (2)证明：直线过定点； (3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《乐平中学高二上学期期末考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B C D CD BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，所以， 所以. 故选：C 2．A 【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加. 【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色： 第一类，用4种颜色涂色，有种方法． 第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种． 在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法， 根据分步计数原理求得共种涂法． 第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法． ∴共有涂色方法120+120+20＝260种， 故选：A． 3．B 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 4．B 【分析】利用二项式展开式得到项的系数，即可求解. 【详解】由题意得，展开式的通项为， 所以的系数为，的系数为， 所以， 即， 整理得，，故. 故选：B. 5．C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 6．B 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可. 【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案. 所以一共有28种不同的安排方案种数. 故选：B 7．C 【分析】根据数学期望公式可得，再根据方差公式得，利用基本不等式求范围，即得结果. 【详解】 因为 （当且仅当时取等号） 因为 故选：C 【点睛】本题考查数学期望与方差、利用基本不等式求值域，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．D 【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积. 【详解】由， 所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 又，即它们也在点所在的圆上，且为直径， 所以为直角三角形，，    如上图，，且， 所以， 则，故的面积为. 故选：D 9．CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 10．BC 【分析】从甲箱中取出两白球、取出一白一黑和取出两黑球，分别为事件表示，从乙箱中取出的两球时白球和取出两球时黑球分别为事件，结合条件概率的计算公式和全概率公式，即可求解. 【详解】由题意，从甲箱中任取两球放入乙箱仅有3中可能，取出两白球、取出一白一黑和取出两黑球，分别用表示，则为样本空间的一个完备事件组， 设“从乙箱中取出的两球时白球”、“取出两球时黑球”分别为事件， 可得， 对于A中，其中， 所以从乙箱中取出两球是白球的概率为，所以A错误； 对于B中，其中 所以从乙箱中取出两球是黑球的概率，所以B正确； 对于C中，从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是黑球的概率， 由贝叶斯公式得，所以C正确； 对于D中，从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是白球的概率， 由贝叶斯公式，可得，所以D错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】根据点为棱上的动点，则根据对应点在不同位置，对各项进行分析即可. 【详解】对于A，根据题意得为的中位线，所以，又面， 所以面，面，则，故A正确； 对于B，将平面沿翻折到平面，如图， 折线段的长度最小为，故B错误； 对于C，体对角线过的中心且垂直于平面， 故以为底的三棱锥，球心在上，故C正确； 对于D，在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径， 圆心角为的两段弧，在平面和平面上，轨迹是以为半径， 圆心角为的两段弧，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线线、线面关系判断线线位置、线段长的最值，分析锥体外接球球心位置. 12． 【分析】根据的几何意义表示与线段上点的连线的斜率，求范围即可. 【详解】由题设，的几何意义：定点与线段上点的连线的斜率， 又，， 由图知：的取值范围为. 故答案为： 13． 【分析】利用斜二测画法还原三棱锥，再将其补形为长方体，求出长方体的外接球体积即可. 【详解】由题意可知，，所以， 则在中，，，， 三棱锥中，，底面， 则可将三棱锥补成相邻三侧棱分别为，，的长方体，    则长方体的体对角线长即为外接球的直径， 所以外接球半径为， 所以三棱锥外接球的体积． 故答案为：． 14． 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 15．(1) (2)或. 【分析】（1）可由圆心在直线上设其坐标，再利用计算即可； （2）利用直线过定点及直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】（1）由题意可设圆心，则由题意可知， 所以半径，即圆C的方程为； （2）易知当切线斜率不存在时，此时与圆相切，符合题意； 当切线斜率存在时，可设， 则圆心到切线的距离为，解之得， 即， 所以该切线方程为：或. 16．(1) (2)无关联 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据和已知条件即可求出答案； （2）首先作出零假设，然后计算卡方值，然后与值作比较，进而可得到假设是否成立； （3）首先列出的可能取值，然后计算每个取值的概率值，进而可得到的分布列，最后可计算的数学期望. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）连接，如下图所示， 由于是直三棱柱，易知， 又因为，且， 所以平面 M、N分别是的中点，所以，因此平面； 又平面，所以； 易知，所以， 满足，由勾股定理可知，， 又因为，所以平面， 又平面， 所以，. （2）由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易得， ； 设平面的一个法向量为， 则，令得，，即； 即平面的一个法向量为， 易知，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角（锐角）为， 所以，； 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 18．(1)①；② (2) 【分析】（1）①由，公式法求；②，由，利用二项分布概率公式解不等式. （2）由的可能取值，求相应的概率，可得满足的有序实数对． 【详解】（1）①由题意知所以． ②其中 设 则 所以 因为其中 所以，所以或 当时舍去， 当时满足题意， 综上所述． （2）的可能取值为． 对任意，， 故所求的有序实数对为． 19．(1)2 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）由抛物线焦半径公式可得； （2）思路一设出两直线、方程，直曲联立，用韦达定理表示坐标，点斜式写出直线方程，再由两直线垂直得到，找到定点；思路二设出两点坐标，直曲联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点； （3）法一表示出，用基本不等式得到，用直线过定点得到，最后得到面积的最小值；法二由图形的几何关系得到，再由（2）中的法2可得，最后由基本不等式得到面积的最小值. 【详解】（1）由题意知 （2）思路一：由：，故，由直线与直线垂直， 故两只直线斜率都存在且不为0， 设直线、分别为，，有， 、、、， 联立：与直线，即有， 消去x可得，， 故、， 则， 故，， 即，同理可得， 当时，则：， 即 ， 由，即， 故时，有， 此时过定点，且该定点为， 当时，即时，由，即时， 有：，亦过定点， 故直线过定点，且该定点为； 思路二：设，，不妨设. 设：，则.由，得， 故，，，. 所以. 同理可得. 若，则直线：，过点. 若，则直线：，过点. 综上，直线过定点. （3）思路一：由、、、， 则：，由、， 故， 同理可得：，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故 ， 故， 过点作轴，交直线于点，则， 由、， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证； 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， 故. 思路二：设为的中点，为直线与的交点. 由，分别为，的中点知，所以，故. 设为直线与的交点，同理可得. 所以. 由（2）中的法2可得，同理可得. 所以， 当且仅当时等号成立. 因此的面积的最小值为8. 答案第16页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $