第17章一元二次方程单元测试 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

2025-2026学年沪科版八年级下册 第17章一元二次方程单元测试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．判断一元二次方程的根的情况正确的是（    ） A．没有实数根 B．不确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 5．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7．开春以来，某楼盘为了促销，对商品房连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为a元/平方米，原价为b元/平方米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 9．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 10．规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： 方程是倍根方程； 若关于x的方程是倍根方程，则； 若点在函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若方程的两个根分别是的两条边的长，则的面积为 ． 12．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 13．已知是三角形的三边，化简 ． 14．如图，正方形内接于，已知，，的面积分别为，，，那么正方形的边长为 ． 三、解答题 15．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．随着惠东县政府大力发展沿海旅游业，沿海乡镇的经济日益发展，从2016年的40亿元，发展到2018年的亿元，请问： (1)沿海乡镇的年平均增长率为多少？ (2)按照这样的增长率不变，请问2019年的为多少？ 17．已知关于的方程，小明认为，“这个方程总有两个不相等的实数根．”你同意他的观点吗？请说明理由． 18．近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 20．已知关于的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． (2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 21．解方程：． 22．为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 23．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泸科版八年级下册第17章一元二次方程单元测试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C D B D C A C 1．B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此逐一判断即可解答． 【详解】解：A：，未知数x的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B：，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； D：，未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开方，得． 故选：B 3．D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4．C 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式 即可求解． 本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， 故选C． 5．D 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数不为零和判别式大于等于零．令，，求解出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，解题的关键是明确原价、降价百分数与降价后价格的关系．根据价降的百分率求出两次降价后的价格，进而列出方程． 【详解】解：原价为b，第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， ∵降价后价格为a， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 10．C 【分析】本题依据“倍根方程”主要考查根与系数的关系，结合题意按照要求验证每个结论是否符合“倍根方程”的定义，即一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，逐项判断即可． 【详解】解：结论①∶∵ 方程， 因式分解得， ∴根为和，且， 则是倍根方程，正确 结论②∶ ∵方程是倍根方程， 设根为和，则，解得，， ∴， ，解得， 若，则； 若，则， ∴，但结论仅说，∴错误 结论③∶∵ 点在上， ∴， 则方程变为， ∵， ∴ 假设该方程是倍根方程，设根为和，则，解得， ∵，得，无实数解， ∴不是倍根方程，错误 综上，仅结论①正确． 故选：C． 11．或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握是解决本题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形两边长，分两种情况讨论，两边都是直角边，或有一边是斜边求解即可． 【详解】解：∵ ， 即 ∴ 或 ； 由于方程的两个根分别是的两条边的长， ①当两边都是直角边，则； ②当一条边是斜边时，另一直角边为，则； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．先根据一元二次方程根的定义得到，再把它变形为，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 即； ∵， 故将代入，得． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 14． 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，利用图形的面积找出等量关系列出方程是解题的关键． 过点作于点，交于点，则，设正方形的边长为，根据正方形的性质得，，，利用三角形的面积公式表示出，，，进而表示出和的长，再利用列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则， 设正方形的边长为， 根据正方形的性质得，，， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 15．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用公式法求解； （4）利用公式法求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解： ， ， ∴，； （4）解： ， ， ∴，． 16．(1)沿海乡镇的年平均增长率为 (2)2019年的为亿元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设沿海乡镇的年平均增长率为x，根据“从2016年的40亿元，发展到2018年的亿元，”即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． （2）根据（1）得沿海乡镇的年平均增长率为，结合2018年的是亿元，求解即可． 【详解】（1）解：设沿海乡镇的年平均增长率为x， 则：， 解得：（舍去）， 答：沿海乡镇的年平均增长率为； （2）解：由题意得2019年的为：（亿元）， 答：2019年的为亿元． 17．同意他的观点，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，可证明，据此可得结论． 【详解】解：同意他的观点，理由如下： 由题意得， ， ∵， ∴， ∴关于的方程总有两个不相等的实数根， ∴同意他的观点． 18．(1) (2)20元或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 19．(1)见解析 (2)，另一个根为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 20．(1) (2)的值为，另一个实数根为 【分析】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据方程总有两个实数根，可得，代入数值化简即可． （2）根据根与系数的关系，得，，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程总有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 则m的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：设另一个实数根为， 由根与系数的关系，得， 即， 整理得：， 解得：， 代入中，即， ∴， ∴的值为，另一个实数根为． 21．， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， 或 ， 解得：，． 22．米 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 23．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据根的判别式即可求证； （）先把代入得，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $