专题03：圆的面积（计算专项训练）数学青岛五四版五年级下册

专题03：圆的面积 计算专项训练 一、圆的面积的意义 1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆是由曲线围成的封闭图形，其面积大小与半径的长短直接相关。 2.相关概念： 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小； 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，d=2r； 圆周率（π）：圆的周长与直径的比值，通常取3.14（题目特殊说明除外）。 3.与其他图形面积的关系：圆的面积公式是通过“转化法”推导得出——将圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半（πr），宽等于圆的半径（r），因此圆的面积=长方形面积=长×宽=πr×r=πr²。这是后续学习圆环、组合图形面积的基础。 二、圆的面积的计算方法 1. 核心方法：公式法 基本公式：若已知圆的半径r，则面积S=πr²； 变式公式： 已知直径d：先求半径r=d÷2，再用S=πr²计算； 已知周长C：先求半径r=C÷(2π)，再用S=πr²计算。 2. 辅助理解方法：转化法（割补法） 通过将圆等分成16份、32份……越多越接近长方形，直观理解“圆的面积=近似长方形面积=πr×r=πr²”，明确公式中各部分的几何意义，避免死记硬背。 题型1：已知半径求圆的面积（基础题型） 典型例题：计算下列各圆的面积（π取3.14）。 （1）半径r=5cm；（2）半径r=2.5dm 解题思路：直接使用基本公式S=πr²，代入半径计算。 解题过程： （1）r=5cm，S=πr²=3.14×5²=3.14×25=78.5（cm²）； （2）r=2.5dm，S=πr²=3.14×(2.5)²=3.14×6.25=19.625（dm²）。 跟踪训练： 计算下列各圆的面积（π取3.14）。 （1）r=3m；（2）r=4.2cm；（3）r=10mm 题型2：已知直径/周长求圆的面积（进阶题型） 典型例题：计算下列各圆的面积（π取3.14）。 （1）直径d=8cm；（2）周长C=18.84dm 解题思路： 已知直径：先求半径r=d÷2，再用S=πr²； 已知周长：先求半径r=C÷(2π)，再用S=πr²。 解题过程： （1）d=8cm，r=8÷2=4cm，S=3.14×4²=3.14×16=50.24（cm²）； （2）C=18.84dm，r=18.84÷(2×3.14)=18.84÷6.28=3dm，S=3.14×3²=3.14×9=28.26（dm²）。 跟踪训练： 计算下列各圆的面积（π取3.14）。 （1）d=10m；（2）C=25.12cm；（3）d=7dm 题型3：圆环的面积（重点题型） 典型例题：一个圆环，外圆半径R=6cm，内圆半径r=4cm，求圆环的面积（π取3.14）。 解题思路：圆环面积=外圆面积-内圆面积，公式为S=πR²-πr²=π(R²-r²)。 解题过程： 方法一：外圆面积=3.14×6²=3.14×36=113.04（cm²），内圆面积=3.14×4²=3.14×16=50.24（cm²），圆环面积=113.04-50.24=62.8（cm²）； 方法二：S=π(R²-r²)=3.14×(6²-4²)=3.14×(36-16)=3.14×20=62.8（cm²）。 跟踪训练： （1）圆环外圆直径10cm，内圆直径6cm，求面积（π取3.14）； （2）圆环外圆周长25.12dm，内圆半径2dm，求面积（π取3.14） 题型4：圆与规则图形的组合面积（综合题型） 典型例题1：一个边长为8cm的正方形内有一个最大的圆，求圆的面积和剩余部分的面积（π取3.14）。 解题思路：正方形内最大圆的直径=正方形边长，先求圆的半径，再算圆的面积，剩余面积=正方形面积-圆的面积。 解题过程： 圆的直径=正方形边长=8cm，半径r=8÷2=4cm，圆的面积=3.14×4²=50.24（cm²）； 正方形面积=8×8=64（cm²），剩余面积=64-50.24=13.76（cm²）。 典型例题2：一个圆形花坛，直径10m，在它的周围修一条宽1m的小路，求小路的面积（π取3.14）。 解题思路：小路面积=外圆面积（花坛+小路）-内圆面积（花坛），外圆半径=内圆半径+路宽。 解题过程： 内圆半径r=10÷2=5m，外圆半径R=5+1=6m，小路面积=π(R²-r²)=3.14×(6²-5²)=3.14×(36-25)=3.14×11=34.54（m²）。 跟踪训练： （1）一个长10cm、宽6cm的长方形内有一个最大的圆，求圆的面积和长方形剩余面积（π取3.14）； （2）一个半径5m的圆形草坪，中间有一个半径2m的圆形喷泉，求草坪的面积（π取3.14） 练习巩固 1．求阴影部分的面积。（单位：cm，π取3.14） 2．求出阴影部分的面积。（单位：cm） 3．计算下面正方形中阴影部分的面积和周长。（单位：厘米） 4．求阴影部分面积。 5．计算下图阴影部分的面积。 6．计算下面各图中阴影部分的面积。 （1）        （2） 7．求图中阴影部分的面积。 8．求下面图形阴影部分的周长和面积。 9．计算下面图形阴影部分的面积。 10．算阴影部分的面积（单位：厘米）。 11．下图小圆半径是大圆半径的一半，请你求出阴影部分的面积。 12．计算下面图形阴影部分的面积。 13．看图计算。求出阴影部分的面积。（单位：cm） 14．求阴影部分的面积。 15．计算下面图形中涂色部分的面积。 16．计算下图中阴影部分的面积。（单位：dm） 17．求阴影部分的面积。 18．求阴影部分的面积。 19．求下图中阴影部分的面积。（π取3.14） （1）        （2） 20．计算阴影部分面积。（单位：厘米） 21．计算下面图形阴影部分的面积。 22．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 题型1跟踪训练答案： （1）28.26m²；（2）55.3896cm²；（3）314mm² 解析：直接用S=πr²，如（1）3.14×3²=28.26（m²）。 题型2跟踪训练答案： （1）78.5m²；（2）50.24cm²；（3）38.465dm² 解析：（1）d=10m，r=5m，S=3.14×5²=78.5（m²）。 题型3跟踪训练答案： （1）50.24cm²；（2）37.68dm² 解析：（1）外圆r=5cm，内圆r=3cm，S=3.14×(5²-3²)=50.24（cm²）。 题型4跟踪训练答案： （1）圆面积28.26cm²，剩余面积31.74cm²；（2）65.94m² 解析：（1）长方形内最大圆直径=宽=6cm，r=3cm，S圆=3.14×3²=28.26cm²，剩余面积=10×6-28.26=31.74cm²。 巩固练习 1．25.12cm2 【分析】由图可知，大圆的半径是4cm，4个空白部分可以合成两个相同的小圆，小圆的直径与大圆的半径相等，为4cm，求出小圆的半径是4÷2＝2cm。根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的面积，最后用大圆的面积减去两个小圆的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】4÷2＝2（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（cm2） 50.24－25.12＝25.12（cm2） 所以阴影部分的面积是25.12cm2。 2．18.24平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝圆的面积－正方形面积，正方形面积可以看成4个直角边是4厘米的等腰直角三角形的面积，根据圆的面积＝πr²，三角形的面积＝底×高÷2计算。 【详解】3.14×4²－4×4÷2×4 ＝3.14×16－16÷2×4 ＝50.24－8×4 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 阴影部分的面积是18.24平方厘米。 3．面积13.76平方厘米；周长25.12厘米 【分析】解答这道题需明确：正方形的面积＝边长×边长；圆的面积；圆的周长。求面积时，可以将四周的四个直角扇形拼接成一个圆，也就是用正方形面积减去圆的面积。据图可知圆的半径是4厘米，正方形的边长＝4＋4＝8厘米。据此求出正方形的面积和圆的面积即可。求周长时，需明确：平面图形的周长等于围成这个平面图形的所有线的长度的总和。阴影部分的周长可以看作是四个直角扇形的弧长的和，拼接起来也就是半径为4厘米的圆的周长。 【详解】正方形面积： （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以，阴影部分的面积是13.76平方厘米。 （厘米） 所以，阴影部分的周长是25.12厘米。 4．14.13cm2 【分析】由图可知：阴影部分是一个半圆环，面积等于大半圆面积减去小半圆面积。大半圆的直径是10 cm，小半圆的直径是8 cm，根据半径＝直径÷2，分别求出大半圆和小半圆的半径。根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（π取3.14），求出圆环面积，再除以2，即可求出半圆环面积，即阴影部分的面积。 【详解】8÷2＝4（cm） 10÷2＝5（cm） 3.14×（52－42）÷2 ＝3.14×（25－16）÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 所以阴影部分面积是14.13 cm2。 5．3.72 【分析】观察图形可知：阴影部分的面积等于长方形（长为5cm，宽为2cm）的面积减去半圆（半径为2cm）的面积。长方形的面积公式为：；半圆的面积等于所在圆的面积的一半，圆的面积公式：，除以2就是半圆的面积，据此进行计算。 【详解】 （） 阴影部分的面积是3.72。 6．（1）339.12m2 （2）28.5cm2 【分析】（1）由图可知，大圆的半径是12m，空白小圆的直径与大圆半径相等，为12m，求出半径为12÷2＝6m，根据圆的面积公式分别求出大圆和空白小圆的面积，再用大圆面积减去空白小圆面积即可求出阴影部分的面积。 （2）由图可知，圆的直径是10cm，求出半径是10÷2＝5cm，根据圆的面积公式求出圆的面积；将空白部分看作两个三角形，三角形的底相当于圆的直径（10厘米），高相当于圆的半径，为10÷2＝5cm，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出三角形的面积，再乘2求出空白部分的面积；最后用大圆面积减去空白部分的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】（1）3.14×122－3.14×62 ＝3.14×144－3.14×36 ＝452.16－113.04 ＝339.12（m2） 所以阴影部分的面积是339.12m2。 （2）10÷2＝5（cm） 3.14×52＝3.14×25＝78.5（cm2） 10×5÷2×2 ＝50÷2×2 ＝25×2 ＝50（cm2） 78.5－50＝28.5（cm2） 所以阴影部分的面积是28.5cm2。 7． 【分析】解答这道题需熟知：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；半圆的面积＝圆的面积÷2（即：）。题目中已知梯形的上底为6cm，下底为10cm，高为8cm；半圆的直径为8cm。结合上述条件，根据公式求出梯形面积和半圆面积后，利用“阴影部分的面积＝梯形面积－半圆面积”计算。图中的9cm为无用条件。据此解答。 【详解】根据分析： 梯形的面积： 半圆的面积： 阴影部分的面积： 所以阴影部分的面积为。 8．周长是31.4厘米；面积是39.25平方厘米 【分析】计算阴影部分周长时，将其看作一个大半圆的弧长加上两个小半圆的弧长（两个小半圆可拼成一个整圆）；计算面积时，将其看作一个大半圆的面积。 用到圆的周长公式（）和面积公式。 【详解】周长：3.14×5×2÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（厘米） 3.14×5＝15.7（厘米） 15.7＋15.7＝31.4（厘米） 面积：3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 所以图形阴影部分的周长为31.4厘米，面积为39.25平方厘米。 9．15.25cm2 【分析】观察图形可知，直角三角形的斜边等于半圆的直径。直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的面积；直角三角形斜边上的高是4.8cm，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出半圆的直径，进而求出半圆的半径；根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆的面积；再用半圆的面积减去三角形的面积，求出阴影部分的面积。 【详解】三角形的面积：6×8÷2＝24（cm2） 半圆的直径： 24×2÷4.8 ＝48÷4.8 ＝10（cm） 半圆的半径：10÷2＝5（cm） 半圆的面积： 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（cm2） 阴影部分的面积：39.25－24＝15.25（cm2） 所以，阴影部分的面积是15.25cm2。 10．200.96平方厘米；10.75平方厘米 【分析】左图形：阴影部分是一个圆环的面积，大圆的半径是10厘米，小圆的半径是6厘米；根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 右图形：阴影部分面积＝长是10厘米，宽是（10÷2）厘米的长方形面积－半径是（10÷2）厘米的半圆的面积；根据长方形面积＝长×宽；圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（102－62） ＝3.14×（100－36） ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 10×（10÷2）－3.14×（10÷2）2÷2 ＝10×5－3.14×52÷2 ＝50－3.14×25÷2 ＝50－78.5÷2 ＝50－39.25 ＝10.75（平方厘米） 圆环的面积是200.96平方厘米；第二个图形阴影部分面积是10.75平方厘米。 11．9.42cm2 【分析】圆的面积公式：S＝πr² 分别求出大圆面积的四分之一和小圆面积的四分之一，再用大圆面积的四分之一减去小圆面积的四分之一，即可得到阴影部分的面积。 【详解】已知大圆半径为4cm 大圆的面积：3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（cm²） 大圆面积的四分之一：50.24÷4＝12.56（cm²） 小圆半径是大圆半径的一半，所以小圆的半径为4÷2＝2（cm） 小圆的面积：3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（cm²） 小圆面积的四分之一：12.56÷4＝3.14（cm²） 阴影部分的面积为大圆面积的四分之一减去小圆面积的四分之一： 12.56－3.14＝9.42（cm²） 阴影部分的面积为9.42cm²。 【点睛】本题关键是识别阴影部分的构成和圆的面积公式的应用。 12．13.76m2 【分析】观察图形，发现整体是边长为8m的正方形，内部两个直径为8m的半圆可拼接成一个完整的圆，因此阴影部分面积等于正方形面积减去这个圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14）分别计算出正方形与圆的面积，最后用正方形面积减去圆的面积，即可得到阴影部分的面积。 【详解】正方形的面积：8×8＝64（m2） 圆的面积：3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（m2） 阴影部分的面积：64－50.24＝13.76（m2） 所以阴影部分的面积是13.76m2。 13．129cm2 【分析】根据题意分析：长方形的长等于3个圆的半径，那么圆的半径＝30÷3＝10（cm），长方形的宽＝圆的直径，那么长方形的宽＝10×2＝20（cm）。阴影部分面积＝长方形面积－圆的面积－半圆的面积。根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2。据此列式解答即可。 【详解】30÷3＝10（cm） 30×（10×2）－3.14×102－3.14×102÷2 ＝30×20－3.14×100－3.14×100÷2 ＝600－314－157 ＝129（cm2） 所以阴影部分的面积是129cm2。 14．9.12cm2；3.87cm2 【分析】 （1）如图：用直径为4cm的半圆的面积减去三角形的面积（底相当于圆的直径，高相当于圆的半径）即可求出1瓣阴影部分的面积，再乘4即可； （2）观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】（1）（cm） 3.14×22÷2－4×2÷2 ＝3.14×4÷2－4×2÷2 ＝6.28－4 ＝2.28（cm2） 2.28×4＝9.12（cm2） （2）6÷2＝3（cm） （cm2） 15．38.88dm2 【分析】由图可知，正方形的边长是8dm，根据“正方形面积＝边长×边长”求出正方形的面积；圆的直径为8dm，求出半径为8÷2＝4dm，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积；最后用正方形的面积减去半圆的面积即可求出涂色部分的面积。 【详解】8×8＝64（dm2） 8÷2＝4（dm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（dm2） 64－25.12＝38.88（dm2） 所以涂色部分的面积是38.88dm2。 16．13.76dm2 【分析】图中阴影部分的面积是正方形面积减去四个圆的面积和，根据圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长计算。 【详解】8×8＝64（dm2） 4×3.14×（8÷2÷2）2 ＝4×3.14×22 ＝4×3.14×4 ＝50.24（dm2） 64－50.24＝13.76（dm2） 阴影部分面积为13.76dm2。 17．（1）4.86cm² （2）9.87dm² 【分析】（1）长方形长 4cm、宽 2cm，面积是4×2＝8cm²，空白圆的直径等于长方形的宽，半径1cm，面积是 3.14×12＝3.14cm²，所以阴影面积是 83.14＝4.86cm²； （2）梯形的上底 6dm、下底 10dm，高等于半圆的半径（3dm），梯形面积是 （6＋10）×3÷2＝24dm²，空白半圆的半径3dm，面积是 3.14×32÷2＝14.13dm²，因此阴影面积是 2414.13＝9.87dm²。 【详解】（1） 阴影面积是4.86cm²。 （2） 阴影面积是9.87dm²。 18．45.76cm2 【分析】阴影部分的面积＝长方形面积－圆的面积；长方形的长为12cm，宽为：8cm，圆的直径为8cm根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2；代入数据，即可解答。 【详解】12×8－3.14×（8÷2）2 ＝96－3.14×16 ＝96－50.24 ＝45.76（cm2） 19．（1）50.24cm2；（2）18.24m2 【分析】（1）阴影部分是一个圆环，内圆的半径r是（6÷2）cm，外圆的半径R等于内圆的半径加上2cm，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 （2）如下图，把阴影部分如箭头方向移补在一起，则阴影部分的面积＝半径为8m的圆面积的－直角三角形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】（1）6÷2＝3（cm） 3＋2＝5（cm） 3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 阴影部分的面积是50.24cm2。 （2）3.14×82× ＝3.14×64× ＝50.24（m2） 8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（m2） 50.24－32＝18.24（m2） 阴影部分的面积是18.24m2。 20．6.28平方厘米 【分析】根据图可知，阴影部分是一个半径是等边三角形边长的一半，阴影部分面积相当于半径是等边三角形边长一半的圆的面积的一半，根据圆的面积＝π×半径2，据此求出阴影部分面积。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 阴影部分面积是6.28平方厘米。 21．21.195平方分米 【分析】根据题意，通过图形的平移，可发现阴影部分的面积等于半径为3分米的大圆面积减去直径为3分米的小圆面积。先分别求出大圆和小圆的面积，再用大圆面积减去小圆面积即可得到阴影部分的面积。据此解答。 【详解】大圆半径：3分米 小圆半径：3÷2＝1.5（分米） 大圆面积：3.14×3²＝28.26（平方分米） 小圆面积：3.14×1.5²＝7.065（平方分米） 阴影部分面积：28.26－7.065＝21.195（平方分米） 阴影部分的面积是21.195平方分米。 22．6.28平方厘米；4.56平方厘米 【分析】第一个涂色部分面积是半径为（2÷2＝1）厘米的两个圆的面积，根据圆的面积即可求解； 由图可知，第二个涂色部分面积是从直径是4厘米的圆面积中减去了两条直角边都是4厘米的三角形面积。 【详解】（1） （平方厘米） 第一个涂色部分面积是6.28平方厘米。 （2） ＝4×3.14－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 第二个涂色部分面积是4.56平方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $