专题07：圆柱和圆锥的体积（容积）（计算专项训练）数学青岛五四版五年级下册

专题07：圆柱和圆锥的体积（容积） 计算专项训练 一、圆柱和圆锥的体积（容积）的意义 1.定义：圆柱体积是指圆柱所占空间的大小，计算公式为底面积×高（(V=Sh)）；圆锥体积是指圆锥所占空间的大小，计算公式为(\frac{1}{3}\times)底面积×高。容积是指容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但测量时需从容器里面量取数据（如圆柱形容器的内径、内高）。 2.各部分名称：圆柱体积公式中，(V)表示体积，(S)表示底面积（(r)为底面半径），(h)表示高；圆锥体积公式中，(V)表示体积，(S)表示底面积，(h)表示高。容积计算中，常用单位有升（L）、毫升（mL），与体积单位的关系为(1L=1dm^3)， 3.与相关知识的关系：圆柱体积推导基于长方体体积公式（(V=)长×宽×高=底面积×高），通过将圆柱切拼成近似长方体（平均分的份数越多越接近长方体），长方体的底面积等于圆柱底面积，高等于圆柱高，从而得出圆柱体积公式；圆锥体积通过实验（同底等高的圆柱和圆锥容器，圆锥装满水倒入圆柱，需倒3次装满）得出是同底等高圆柱体积。两者是小学阶段几何体体积计算的重要内容，为后续学习不规则物体体积（排水法）及中学立体几何奠定基础。 二、圆柱和圆锥的体积（容积）的计算方法 1.核心方法：公式法 圆柱体积： 圆锥体积：若已知底面直径(d)或周长(C)，先求半径再代入公式。 容积计算：与体积计算方法相同，结果需根据题目要求换算单位 2.辅助理解方法：实验与转化法 圆柱体积：用等底等高的圆柱和长方体模型对比，或用萝卜、橡皮泥等材料制作圆柱，切成若干等份后拼成近似长方体，观察底面积和高的关系。 圆锥体积：准备等底等高的圆柱和圆锥形容器，用沙子或水进行实验，直观感受“圆锥体积是同底等高圆柱体积”。 题型1：圆柱体积计算（已知半径和高） 典型例题：一个圆柱底面半径是3cm，高是5cm，求它的体积。（π取3.14） 解题思路：直接代入公式( V=πr²h )计算。 解题过程： ( V=3.14×3²×5=3.14×9×5=141.3 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆柱底面半径是2dm，高是6dm，求体积。（π取3.14） 题型2：圆柱体积计算（已知直径和高） 典型例题：一个圆柱底面直径是8cm，高是10cm，求体积。（π取3.14） 解题思路：先求半径( r=d/2 )，再代入( V=πr²h )。 解题过程： ( r=8÷2=4 , (cm) )，( V=3.14×4²×10=3.14×16×10=502.4 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆柱底面直径是10dm，高是8dm，求体积。（π取3.14） 题型3：圆柱体积计算（已知底面积和高） 典型例题：一个圆柱底面积是25cm²，高是4cm，求体积。 解题思路：直接用公式( V=Sh )计算。 解题过程： ( V=25×4=100 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆柱底面积是30dm²，高是5dm，求体积。 题型4：圆锥体积计算（已知半径和高） 典型例题：一个圆锥底面半径是3cm，高是6cm，求体积。（π取3.14） 解题思路：代入公式( V=1/3πr²h )计算。 解题过程： ( V=1/3×3.14×3²×6=1/3×3.14×9×6=56.52 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆锥底面半径是4dm，高是9dm，求体积。（π取3.14） 题型5：圆锥体积计算（已知直径和高） 典型例题：一个圆锥底面直径是6cm，高是5cm，求体积。（π取3.14） 解题思路：先求半径( r=d/2 )，再代入( V=1/3πr²h )。 解题过程： ( r=6÷2=3 , (cm) )，( V=1/3×3.14×3²×5=1/3×3.14×9×5=47.1 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆锥底面直径是8dm，高是6dm，求体积。（π取3.14） 题型6：圆锥体积计算（已知底面积和高） 典型例题：一个圆锥底面积是18cm²，高是5cm，求体积。 解题思路：用公式( V=1/3Sh )计算。 解题过程： ( V=1/3×18×5=30 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆锥底面积是24dm²，高是7dm，求体积。 题型7：圆柱与圆锥体积关系（等底等高） 典型例题：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积是120cm³，圆锥体积是多少？如果圆锥体积是120cm³，圆柱体积是多少？ 解题思路：等底等高时，圆锥体积=圆柱体积×1/3，圆柱体积=圆锥体积×3。 解题过程： 圆锥体积：( 120×1/3=40 , (cm³) )；圆柱体积：( 120×3=360 , (cm³) ) 跟踪训练：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥体积大60dm³，圆柱和圆锥体积各是多少？ 题型8：容积计算（单位换算） 典型例题：一个圆柱形水桶，从里面量底面直径是4dm，高是5dm，这个水桶能装水多少升？（π取3.14） 解题思路：先算内部体积（单位dm³），再换算为升（1dm³=1L）。 解题过程： ( r=4÷2=2 , (dm) )，( V=3.14×2²×5=62.8 , (dm³)=62.8L ) 跟踪训练：一个圆锥形沙堆，底面半径2m，高1.5m，把这堆沙装入一个长5m、宽2m的长方体沙坑，能铺多厚？（π取3.14，结果保留两位小数） 练习巩固 1．计算下面图形的体积。（单位：cm）   2．计算下面圆锥的体积。 3．求下面立体图形的体积。 4．计算下面图形的体积。（单位：cm） （1）  （2）  （3） 5．求下面圆锥的体积。 （1）    （2） 6．求如图的体积。（单位：厘米） 7．计算圆柱的表面积和圆锥的体积。 8．计算下面图形的体积。（单位：分米） 9．求下面立体图形的体积。（单位：厘米） 10．按要求算一算。 计算下面图形的体积。 11．计算第一个图形的表面积和第二个图形的体积。          12．求下图的体积。（单位：分米） 13．求下面圆柱的表面积，圆锥的体积。 14．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 15．计算体积。 16．求旋转所成图形的体积。 17．求下面图形的体积。（单位：cm）       18．计算下面各图形的体积。（单位：cm） 19．计算下面各立体图形的体积。（单位：厘米） 20．计算下面物体的体积。 题型1：跟踪训练答案：75.36dm³（解析：( V=3.14×2²×6=75.36 , dm³ )） 题型2：跟踪训练答案：628dm³（解析：( r=10÷2=5 , dm )，( V=3.14×5²×8=628 , dm³ )） 题型3：跟踪训练答案：150dm³（解析：( V=30×5=150 , dm³ )） 题型4：跟踪训练答案：150.72dm³（解析：( V=1/3×3.14×4²×9=150.72 , dm³ )） 题型5：跟踪训练答案：100.48dm³（解析：( r=8÷2=4 , dm )，( V=1/3×3.14×4²×6=100.48 , dm³ )） 题型6：跟踪训练答案：56dm³（解析：( V=1/3×24×7=56 , dm³ )） 题型7：跟踪训练答案：圆柱90dm³，圆锥30dm³（解析：圆锥体积=60÷(3-1)=30dm³，圆柱=30×3=90dm³） 题型8：跟踪训练答案：0.63m（解析：沙堆体积( V=1/3×3.14×2²×1.5=6.28m³ )，厚度=6.28÷(5×2)=0.628≈0.63m） 巩固练习 1．615.44 【分析】根据圆锥的体积公式，代入数据即可。 【详解】 （） 答：图形的体积是615.44。 2．7.065立方厘米 【分析】由图可知，圆锥的底面半径为1.5厘米，高为3厘米，根据圆锥的体积公式：，代入数据进行求解即可。 【详解】 （立方厘米） 圆锥的体积为7.065立方厘米。 3．128.74dm3 【分析】图中立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成：已知圆柱的底面半径和圆柱的高，根据圆柱的体积公式，可求出圆柱的体积；已知圆锥的底面半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可求出圆锥的体积；最后圆柱的体积＋圆锥的体积＝立体图形的体积，据此解答即可。 【详解】圆柱体积：（dm3） 圆锥体积：（dm3） 立体图形的体积：（dm3） 答：立体图形的体积是128.74dm3。 4．（1）197.82立方厘米 （2）339.12立方厘米 （3）43.96立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可； （2）根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可； （3）根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，分别计算出圆柱和圆锥的体积，再相加即可解答。 【详解】（1） （立方厘米） 所以圆柱的体积是197.82立方厘米。 （2） （立方厘米） 圆锥的体积是339.12立方厘米。 （3） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 所以组合图形的体积是43.96立方厘米。 5．（1）（2） 【分析】（1）圆锥体积＝×底面积×高，根据题目中的数据代入即可得到答案； （2）圆锥体积＝，根据题目中的数据代入公式即可得到答案。 【详解】（1） （） 该圆锥的体积是10.8m3。 （2） （） 该圆锥的体积是75.36dm3。 6．254.34立方厘米；1570立方厘米 【分析】（1）已知底面直径9厘米、高12厘米，根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高）计算，先由直径求半径，再代入公式。 （2）已知底面直径10厘米、长（高）20厘米，利用圆柱体积公式V＝πr2h，先由直径求半径，再代入公式。 【详解】（1）求底面半径：r＝9÷2＝4.5（厘米） 计算体积： V＝×3.14×4.52×12 ＝×3.14×20.25×12 ＝254.34（立方厘米） 体积是254.34立方厘米。 （2）求底面半径：r＝10÷2＝5（厘米） V＝3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝1570（立方厘米） 体积是1570立方厘米。 7．401.92cm2；235.5dm3 【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2、圆柱的侧面积公式S侧＝πdh、半径＝直径÷2、圆的面积公式S＝πr2，圆锥的体积公式V＝πr2h÷3，代入数据计算，解答即可。 【详解】3.14×4×2×12＋3.14×42×2 ＝3.14×4×2×12＋3.14×16×2 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（cm2） 3.14×（10÷2）2×9÷3 ＝3.14×52×9÷3 ＝3.14×25×9÷3 ＝235.5（dm3） 圆柱的表面积是401.92cm2，圆锥的体积是235.5dm3。 8．81.64立方分米 【分析】已知圆柱和圆锥的底面直径都是4分米，圆柱的高是8分米，圆锥的高是4.5分米，这个图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。先用直径÷2求出半径，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积，再相减即可。 【详解】（4÷2）2×3.14×8－×（4÷2）2×3.14×4.5 ＝22×3.14×8－×22×3.14×4.5 ＝4×3.14×8－×4×3.14×4.5 ＝100.48－18.84 ＝81.64（立方分米） 这个图形的体积是81.64立方分米。 9．（1）157立方厘米 （2）635.5立方厘米 【分析】（1）先根据半径为直径的一半，求出内圆柱的半径，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），求出外圆柱的体积和内圆柱的体积，空心圆柱的体积等于外圆柱的体积减去内圆柱的体积，即可求出空心圆柱的体积。 （2）该组合体由长方体和圆锥组成，根据长方体的体积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求出长方体的体积，再根据圆锥的体积公式：（其中是底面半径，是高），代入数值即可求出圆锥的体积，组合体的体积为长方体的体积加上圆锥的体积，即可求出组合体的体积。 【详解】（1）内圆柱的半径：（厘米），外圆柱的半径：2＋1＝3（厘米） 内圆柱体积： ＝125.6（立方厘米） 外圆柱的体积： （立方厘米） 空心圆柱的体积：（立方厘米） （2）长方体的体积： （立方厘米） 圆锥的半径：（厘米） 圆锥体积： ＝235.5（立方厘米） 组合体的体积： 400＋235.5＝635.5（立方厘米） 10．141.3cm3 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】3.14×32×4＋×3.14×32×（7－4） ＝3.14×9×4＋×3.14×9×3 ＝113.04＋28.26 ＝141.3（cm3） 图形的体积是141.3cm3。 11．251.2；12.56 【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面积，圆柱的侧面积＝2rh，圆柱的底面积＝，代入数据计算出圆柱的表面积； 根据圆的周长＝2×半径，用圆锥的底面周长÷÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝×半径的平方×高，代入数据计算即可。 【详解】2×3.14×4×6＋3.14××2 ＝6.28×4×6＋3.14×16×2 ＝25.12×6＋50.24×2 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） ×3.14××3 ＝×3.14×4×3 ＝×3×（3.14×4） ＝1×12.56 ＝12.56（） 12．75.36立方分米 【分析】由图可知，该图形由一个圆柱和一个圆锥组成。已知圆柱的底面直径是4分米、高是5分米，用直径长度除以2计算出半径长度，然后根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积；已知圆锥的底面直径是4分米、高是3分米，用直径长度除以2计算出底面半径，然后根据圆锥体积公式计算出圆锥的体积；最后将两部分相加即可。 【详解】4÷2＝2（分米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方分米） 62.8＋12.56＝75.36（立方分米） 所以，该图形的体积是75.36立方分米。 13．106.76dm2；1884立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱的表面积。 （2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 【详解】（1）3.14×4×6.5＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×6.5＋3.14×22×2 ＝3.14×4×6.5＋3.14×4×2 ＝81.64＋25.12 ＝106.76（dm2） 圆柱的表面积是106.76dm2。 （2）×3.14×（20÷2）2×18 ＝×3.14×102×18 ＝×3.14×100×18 ＝1884（立方厘米） 圆锥的体积是1884立方厘米。 14．2072.4立方厘米；150.72立方厘米 【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算； （2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是150.72立方厘米。 15．100.48立方厘米 【分析】图形的体积等于一个底面半径是2厘米高是6厘米的圆柱的体积加上一个底面半径是2厘米高是6厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×22×6＋3.14×22×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝12.56×6＋12.56×6× ＝75.36＋75.36× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方厘米） 图形的体积是100.48立方厘米。 16．37.68cm3 【分析】以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出旋转所成图形的体积。 【详解】×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（cm3） 旋转所成图形的体积是37.68cm3。 17．50.24cm3；39.25cm3 【分析】（1）组合图形是由一个圆锥和一个圆柱组成，根据公式V锥＝πr2h，V柱＝πr2h，分别代入数据求出圆锥、圆柱的体积，再相加，就是这个组合图形的体积。 （2）根据底面周长C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】（1）×3.14×2×2×3＋3.14×2×2×3 ＝3.14×4＋3.14×4×3 ＝12.56＋37.68 ＝50.24（cm3） （2）15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） ×3.14×2.5×2.5×6 ＝3.14×6.25×2 ＝39.25（cm3） 18．圆锥100.48cm3；圆柱2009.6cm3 【分析】（1）从图中可知，圆锥的底面直径是8cm，高是6cm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解； （2）从图中可知，圆柱的底面是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【详解】（1）×3.14×（8÷2）2×6 ＝×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝100.48（cm3） 圆锥的体积是100.48cm3。 （2）3.14×[（10÷2）2－（6÷2）2]×40 ＝3.14×[52－32]×40 ＝3.14×[25－9]×40 ＝3.14×16×40 ＝2009.6（cm3） 圆柱的体积是2009.6cm3。 19．15.625立方厘米；1134立方厘米 立方厘米；25434立方厘米 【分析】（1）根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出它的体积； （2）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出它的体积； （3）组合图形的体积＝正方体的体积＋圆锥的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解； （4）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出它的体积。 【详解】（1）2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（立方厘米） 正方体的体积是15.625立方厘米。 （2）14×18×4.5 ＝252×4.5 ＝1134（立方厘米） 长方体的体积是1134立方厘米。 （3）8×8×8＋×3.14×（8÷2）2×10 ＝64×8＋×3.14×42×10 ＝64×8＋×3.14×16×10 ＝512＋ ＝（立方厘米） 组合图形的体积是立方厘米。 （4）3.14×（30÷2）2×36 ＝3.14×152×36 ＝＝3.14×225×36 ＝25434（立方厘米） 圆柱的体积是25434立方厘米。 20．565.2dm3；791.28cm3 【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （2）观察图形是一个空心的圆柱，底面是圆环，那么它的体积V＝S环h＝π（R2－r2）h，代入数据计算，求出空心圆柱的体积。 【详解】（1）×3.14×（12÷2）2×15 ＝×3.14×62×15 ＝×3.14×36×15 ＝565.2（dm3） 圆锥的体积是565.2dm3。 （2）3.14×[（10÷2）2－（4÷2）2 ]×12 ＝3.14×[52－22 ]×12 ＝3.14×[25－4]×12 ＝3.14×21×12 ＝791.28（cm3） 圆柱的体积是791.28cm3。 1 学科网（北京）股份有限公司 $