专题11：正比例（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题11：正比例 计算专项训练 一、核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 二、必备基础 1.核心条件 两种量是相关联的（一种量变化，另一种量随之变化）； 两种量的变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）； 两种量中相对应的两个数的比值（商）一定。 2.字母表示法：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为：（k为常数，且k≠0，x≠0）； 3.正比例的图像特征：成正比例的两种量，画出的图像是一条经过原点（0,0）的直线； 4.关键注意：① 比值k必须是“一定”的（固定不变的数），不能是变化的；② 两种量必须“相关联”，不相关联的量（如身高和体重）不成正比例；③ 计算时，相对应的两个数要对应准确，避免找错对应关系。 三、正比例相关计算的一般步骤（北师大版高频考点，重点掌握） 审题：明确题目中的两种量，判断它们是否成正比例（对照3个核心条件，重点验证比值是否一定）； 找对应：找出两种量中相对应的已知数据，明确所求问题（求未知量、求比值k等）； 列等式：根据正比例关系（k一定），列出比例式（或等式）； 计算：代入已知数据，求解未知量（注意计算准确，格式规范）； 检验（可选，推荐）：将求得的未知量代入比例式，验证比值是否与k相等，确保计算正确。 题型1：判断两种量是否成正比例（基础必考） 典型例题：判断下面两种量是否成正比例，并说明理由 （1）速度一定，路程和时间；（2）正方形的边长和它的面积；（3）单价一定，总价和数量。 解题思路：对照正比例的3个核心条件（相关联、同变化、比值定），逐一分析每种量，先判断是否相关联，再看变化方向是否相同，最后验证比值是否一定，只要有一个条件不满足，就不成正比例。 解题过程 （1）速度一定，路程和时间成正比例； 理由：① 路程和时间是相关联的量（时间变化，路程也随着变化）；② 变化方向相同（时间扩大，路程也扩大；时间缩小，路程也缩小）；③ 比值一定（，速度是固定不变的），满足正比例的所有条件，所以成正比例。 （2）正方形的边长和它的面积不成正比例； 理由：① 边长和面积是相关联的量（边长变化，面积也随着变化）；② 变化方向相同（边长扩大，面积也扩大）；③ 比值不一定（，边长是变化的，比值也会随着变化），不满足“比值一定”的条件，所以不成正比例。 （3）单价一定，总价和数量成正比例； 理由：① 总价和数量是相关联的量（数量变化，总价也随着变化）；② 变化方向相同（数量扩大，总价也扩大；数量缩小，总价也缩小）；③ 比值一定（，单价是固定不变的），满足正比例的所有条件，所以成正比例。 跟踪训练：判断下面两种量是否成正比例，并说明理由 1. 工作效率一定，工作总量和工作时间；2. 长方形的长一定，它的宽和面积；3. 一个人的年龄和身高。 题型2：已知两种量成正比例，求未知量（计算重点） 典型例题：已知路程和时间成正比例，当路程是120千米时，时间是2小时；当路程是360千米时，对应的时间是多少小时？ 解题思路：先根据已知的对应数据，求出正比例的固定比值k（速度），再根据（k一定），列出比例式，求解未知的时间；也可直接根据“时间 = 路程 ÷ k”快速计算。 解题过程 方法一（列比例式）： 解：设当路程是360千米时，对应的时间是x小时； 因为路程和时间成正比例，所以（比值k=速度一定）； 根据比例的基本性质，外项积=内项积，得：120x = 2×360； 计算等式右边：120x = 720； 等式两边同时除以120，得：x = 720÷120 = 6； 方法二（先求k，再计算）： 解：先求固定比值k（速度）：k = （千米/小时）； 再求未知时间：时间 = 路程 ÷ k = 360÷60 = 6（小时）； 检验：，与k=60相等，计算正确。 答：对应的时间是6小时。 跟踪训练 1. 已知总价和数量成正比例，当数量是5千克时，总价是30元；当数量是8千克时，总价是多少元？ 2. 已知工作总量和工作时间成正比例，当工作时间是4小时时，工作总量是240个；当工作总量是360个时，对应的工作时间是多少小时？ 练习巩固 1．若x=0.2y，则x和y成　 　比例关系；若x∶4=5∶y，则x和y成　 　比例关系。 2．如果每袋小麦的质量一定，那么小麦的总质量与袋数成　 　比例关系。如果小麦的总质量一定，那么每袋小麦的质量与袋数成　 　比例关系。 3．钱塘小学举行“塘塘图书漂流”捐书活动，小沙要绘制一幅各班捐书情况的条形统计图。如果用8厘米高的直条表示32本，那么6厘米高的直条表示　 　本；如果要表示40本，那么直条的高度应是　 　厘米。 4．a和b是非0的自然数，如果a÷b＝5，那么a和b的最大公因数是　 　，最小公倍数是　 　；a和b成　 　比例关系，当a等于120时，b等于　 　。 5．用数学的眼光看成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和影长成　 　（填“正”或“反”）比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是　 　米。 6．在同一时间、同一地点，物体的高度和影长成　 　比例。 7．成语“立竿见影”用数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成　 　比例关系的知识。身高1.2m的小淘，在阳光照射下的影子长是1.8m，同时同地量得妈妈的影子长2.4m，由此，可推算出妈妈的身高是　 　m。 8．若A×B=C，当B一定时，那么A和C成　 　比例；在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是　 　。 9．张东和同学一起模仿“曹冲称象”研究称重问题。把一包饼干放在“小船”上， “小船”下沉0.5厘米；把一袋散装葡萄干放在“小船”上， “小船”下沉0.8厘米。张东看到这包饼干的质量标注的是 150克，这袋散装葡萄干的质量是多少克?(用比例解答) 10．有同学研究“曹冲称象”中的数学问题，一袋饼干放在“小船”上， “小船”下沉0.3厘米：把饼干换成一袋葡萄干， “小船”下沉1.2厘米。已知饼干的质量是150克，这袋葡萄干重多少克? 11．小林到阳光书店购买了3本A型号的笔记本共12.6元。照这样计算，如果买5本A型号的笔记本，需要多少钱? (用比例解) 12．护卫一方蓝天，守住一江碧水，将资源回收利用，也是保护环境的行为。甘霖小学六年级开展空塑料瓶回收的活动，用6个空塑料瓶可以换2颗糖果。 （1）淘气已经收集了21个空塑料瓶，可以换多少颗糖果？ （2）笑笑想送给爸爸、妈妈和哥哥每人一颗糖果，她已经收集了7个空塑料瓶，还需要再收集多少个空塑料瓶？ 13．妈妈为笑笑建立了一个家庭教育账户。每个月笑笑都会往账户里存人25 元，妈妈会给她再存100元。当这个账户里有1000元时，其中有多少元是妈妈给她存的？(用比例解) 14．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，在汽车行业迅猛发展，越来越受到人们的青睐。小新爸爸将车充满电后，准备到深圳出差，全程530km，行驶330km后，剩余电量如图，中途不再充电小新爸爸能不能将车直接开到目的地？请说明理由。(不考虑其他因素，且每千米耗电量不变) 15．学校食堂买5袋同样的大米用了600元，照这样计算，买40袋这样的大米要用多少钱？（用比例方法解答） 16．某修路队要修一段720m长的路，前6天完成了全部工程的30%。照这样的工作效率，修完这段路还需要多少天？（列比例解答） 17． 一艘轮船从甲港开往乙港，前2小时行驶了60千米。照这样的速度，从甲港到乙港还需要13小时，甲乙两港相距多远? (用比例解答) 18．修复一段古城墙需要使用沙子和石灰的比例为8：1。现有沙子240 吨，需要多少吨石灰?(用比例方法解答) 19．淘气说：“我花36元钱买了9本笔记本。”奇思说：“我也想买同样的笔记本15本，需要多少元？“请你帮奇思算算需要多少元。（用比例知识解答） 20．一辆货车从甲地去相距126千米的乙地送货，4小时行驶了72千米。按照这样的速度，行完剩下的路程还要几小时？（用比例解） 题型1：判断两种量是否成正比例（基础必考） 答案：1. 成正比例；2. 成正比例；3. 不成正比例 解析：1. 工作效率一定，（k一定），相关联、同变化、比值定，成正比例；2. 长方形的长一定，（k一定），相关联、同变化、比值定，成正比例；3. 年龄和身高是相关联的量，但比值不一定（年龄增长，身高不一定按固定比值增长），不成正比例。 题型2：已知两种量成正比例，求未知量（计算重点） 答案：1. 48元；2. 6小时 解析：1. 先求k=（元/千克），总价=8×6=48元；2. 先求k=（个/小时），时间=360÷60=6小时。 练习巩固： 1．【答案】正；反 【解析】解：由可得，即，说明与的比值为定值，此时是正比例 由可得，即，说明与的乘积为定值，此时是反比例 故答案我：正，反 判断两种相关联的量成什么比例，它们的比值或乘积是否为定值，若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例，据此即可判断出答案 2．【答案】正；反 【解析】解：如果每袋小麦的质量一定，那么小麦的总质量与袋数成正比例关系。 如果小麦的总质量一定，那么每袋小麦的质量与袋数成反比例关系。 故答案为：正；反 如果每袋小麦的质量不变，增加袋数就会直接导致小麦总质量的线性增加，反之亦然。如果总质量 保持不变，增加袋数 就会导致每袋小麦的质量 减少，反之亦然。 3．【答案】24；10 【解析】解：32÷8×6 =4×6 =24(本)， 40÷(32÷8) =40÷4 =10(厘米)； 故答案为：24；10。 根据单一量=总量÷数量，求出单一量，再根据数量=总量÷单一量，即可解答。 4．【答案】b；a；正；24 【解析】解： a÷b＝5 ，a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a；a和b乘正比例关系；a=120时，b=120÷5=24； 故答案为b；a；正；24。 两种量成倍数关系时，大的数是它们的最小公倍数，小的数是它们的最大公因数； 两种相关联的量比值一定，这两种量成正比例关系。 5．【答案】正；0.91 【解析】解：设同一时刻，同一地点明明同学的影厂是x米。 1.4：x＝4：2.6 4x＝1.4×2.6 4x＝3.64 x＝0.91 同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例；身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是0.91米。 故答案为：正、0.91 设同一时刻，同一地点明明同学的影厂是x米，根据竹竿高：影子=明明升高：明明影子，代入数据即可求解。 6．【答案】正 【解析】在同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例。 故答案为：正 在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是不会变的，所有成正比例。 7．【答案】正；1.6 【解析】因为同时同地杆子的高度和影子的长度的比值一定所以两者成正比例关系； ；=1.6（米）； 故答案为：正；1.6 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； （2）我们可以先求出小陶身高与影长的比值，因为比值固定，所以可以根据妈妈影长乘以比值即为妈妈身高。 8．【答案】正； 【解析】解：（1）若A×B=C，当B一定时，那么A和C成正比例； （2）因为最小的质数是2，所以，内项是 故答案为：正； （1）根据正比的定义，当两个量的比值保持不变时，它们成正比。 （2）根据最小质数以及倒数的定义，即可求解 9．【答案】解：设这袋葡萄干的质量是x克。 x： 0.8=150： 0.5 0.5x=0.8×150 0.5x=120 x=240 答：这袋葡萄干的质量是240克。 【解析】根据题意，物体的质量与小船下沉的高度成正比。即质量与下沉高度的比值相等。设葡萄干的质量为 x 克，根据：葡萄干的重量：小船下沉的高度0.8厘米=饼干的重量：小船下沉的高度0.5厘米，列出比例方程解答即可。 10．【答案】解： 解：设这袋葡萄干的质量是x克。 x：1.2=150：0.3 0.3x=1.2×150 0.3x=180 x=600 答：这袋葡萄干的质量是6000克。 【解析】根据题意，物体的质量与小船下沉的高度成正比。即质量与下沉高度的比值相等。设葡萄干的质量为 x 克，根据：葡萄干的重量：小船下沉的高度1.2厘米=饼干的重量：小船下沉的高度0.3厘米，列出比例方程解答即可。 11．【答案】解： 需要x元钱。 12.6：3=x：5 3x=12.6×5 3x=63 x=21 答：需要21元钱。 【解析】由题意可知：每本笔记本的价格是一定的，即花的钱数与买的本数的比值是一定的，则花的钱数与买的本数成正比例，据此即可列比例求解。解比例依据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 12．【答案】（1）解：设可以换x颗糖果。 21：x=6：2 6x=42 x=7 答：可以换7颗糖果。 （2）解：设还需要再收集x个空塑料瓶。 (7+x)：3=6：2 2（7+x）=18 14+2x=18 2x=4 x=2 答：还需要再收集2个空塑料瓶。 【解析】已知用6个空塑料瓶可以换2颗糖果，塑料瓶数：糖果数=6：2=3，也就是说塑料瓶数与糖果数的比值一定，两个量成正比例关系； （1）假设可以换x颗糖果，根据上述分析，建立比例方程21：x=6：2 ，解出x的值即可； （2）假设还需要再收集x个空塑料瓶，总共的塑料瓶数就是（7+x），根据上述分析，建立比例方程(7+x)：3=6：2 ，解出x的值即可。 13．【答案】解：设其中有x元是妈妈给她存的。 100：(25+100)=x：1000 125x=100000 x=800 答：其中有800元是妈妈给她存的。 【解析】分析题干，已知每个月笑笑都会往账户里存人25 元，妈妈会给她再存100元，所以笑笑存的钱数和妈妈存的钱数的比值是一定的，也就是说两者成正比例关系。当这个账户里有1000元时，可以假设其中有x元是妈妈给她存的，进而可以建立比例方程100：(25+100)=x：1000，解出x的值即可。 14．【答案】530-330=200(km) 解：设剩余电量可以行驶 xkm。 (1-40%)：330=40%：x 60%：330=40%：x 60%x=330×40% 60%x=132 60%x÷60%=132÷60% x=220 220>200，能。 答：能开到目的地。 【解析】此题主要考查了用比例解决问题，每千米的耗电量一定，设剩余电量可以行驶 xkm，已经用的电量：已经行的里程=剩下的电量：剩下可以行驶的里程，据此列正比例解答。 15．【答案】4800元 16．【答案】解：设修完这段路还需要x天 （72030%）：6=（720-72030%）：x 216：6=504：x 216x=5046 216x=3024 x=14 答：修完这段路还需要14天。 【解析】分析题干，已知工作效率不变，根据工作量=工作效率工作时间，得到工作效率=工作量工作时间，所以工作量和工作时间的比值不变，即工作量和工作时间成正比例关系。前6天完成了全部工程的30%，根据百分数乘法，计算得出前6天完成了（72030%）m，还剩下（720-72030%）m，据此建立方程（72030%）：6=（720-72030%）：x，解出x的值即可。 17．【答案】解：设甲、乙两地相距x千米 60：2=x：（13+2） 2x=60×（13+2） 2x=900 x=900÷2 x=450； 答：甲、乙两地相距450千米。 【解析】根据路程÷时间=速度，因为轮船的速度是一定的，则路程与时间的比是一定的，所以路程与时间成正比例，假设甲乙两港相距x千米，据此列出比例求解即可。 18．【答案】解：设需要石灰x吨。 8：1=240：x x=30 答：需要石灰30吨。 【解析】已知沙子和石灰的比例为8：1，且现有沙子240吨，求需要的石灰吨数。假设需要石灰x吨，利用比例关系建立等式8：1=240：x，通过解比例计算石灰的用量。 19．【答案】解：奇思需要x元。 36：9=x：15 9x=36×15 x=36×15÷9 x=60 答：奇思需要60元。 【解析】笔记本的单价=花的总钱数÷笔记本的本数，笔记本的单价不变，花的总钱数与本数成正比例，根据“淘气花的钱数÷淘气买的笔记本本数=奇思需要花的钱数÷奇思想买的笔记本本数”先设出未知数，然后列出比例解答即可。 20．【答案】解：设行完剩下的路程还要x小时。 （126-72）：x=72÷4 72x=54×4 x=216÷72 x=3 答：行完剩下的路程还要3小时。 【解析】速度=路程÷时间，速度不变，行驶的路程与时间成正比例，4小时行驶的路程÷4=剩下的路程÷行完剩下的路程还要的时间，先设出未知数，然后根据速度不变列出比例解答即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $