专题06：圆锥的体积（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题06：圆锥的体积 计算专项训练 一、圆锥的体积 1.定义：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。圆锥的体积是对圆锥空间属性的描述，与它的底面积和高直接相关。 2.核心公式（重点掌握，必考）： 基础公式：（其中表示圆锥体积，表示圆锥底面面积，表示圆锥的高）； 推导公式（结合圆的面积，已知底面半径）：因为圆锥底面是圆形，（通常取3.14，为底面半径），所以； 拓展公式（已知底面直径）：（为底面直径），因此； 拓展公式（已知底面周长）：（为底面周长），因此。 3.推导核心（北师大版教材重点，易错点）： 等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，即（反之，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍）； 二、解题核心（贴合北师大版教材考点） 1. 求圆锥体积：无论已知条件是半径、直径还是周长，核心是先求出“底面积”，再代入公式计算，牢记不能漏乘； 2. 关键区分：判断题目是否给出“等底等高”条件，灵活运用圆柱与圆锥的体积关系（如已知等底等高圆柱体积，求圆锥体积；或已知圆锥体积，求等底等高圆柱体积）； 题型1：已知底面半径和高，求圆锥体积 典型例题：一个圆锥的底面半径是3厘米，高是10厘米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 解题思路：已知底面半径和高，先代入求出底面面积，再代入圆锥体积公式计算，重点牢记漏乘。 解题过程 计算底面面积：（平方厘米）； 代入体积公式计算：（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是94.2立方厘米。 跟踪训练：一个圆锥的底面半径是4分米，高是6分米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 题型2：已知底面直径和高，求圆锥体积 典型例题：一个圆锥的底面直径是6厘米，高是7厘米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 解题思路：已知底面直径和高，先根据求出底面半径，再计算底面面积，最后代入圆锥体积公式计算，步骤清晰，注意单位统一。 解题过程 计算底面半径：（厘米）； 计算底面面积：（平方厘米）； 代入体积公式计算：（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是65.94立方厘米。 跟踪训练：一个圆锥的底面直径是10分米，高是9分米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 题型3：已知底面周长和高，求圆锥体积 典型例题：一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是5厘米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 解题思路：已知底面周长和高，先根据求出底面半径，再计算底面面积，最后代入圆锥体积公式求出体积，核心是先求半径、再求底面积、最后求体积。 解题过程 计算底面半径：（厘米）； 计算底面面积：（平方厘米）； 计算圆锥体积：（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是47.1立方厘米。 跟踪训练：个圆锥的底面周长是25.12分米，高是12分米，求这个圆锥的体积。（取3.14） 题型4：等底等高圆柱与圆锥体积的关联计算（北师大版重点） 典型例题：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是60立方厘米，求这个圆锥的体积。如果圆锥的体积是60立方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 解题思路：牢记北师大版核心结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。已知圆柱体积求圆锥体积，用圆柱体积乘；已知圆锥体积求圆柱体积，用圆锥体积乘3。 解题过程 已知圆柱体积求圆锥体积：（立方厘米）； 已知圆锥体积求圆柱体积：（立方厘米）； 答：圆柱体积是60立方厘米时，圆锥体积是20立方厘米；圆锥体积是60立方厘米时，圆柱体积是180立方厘米。 跟踪训练 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是120立方分米，求圆锥的体积；如果圆锥的体积是120立方分米，求圆柱的体积。 练习巩固 1．求下面图形的体积。(单位：dm) 2．计算圆锥的体积：(单位：分米) 3．求如图圆锥的体积。单位：cm 4．求下面圆锥的体积。 5．求圆锥的体积。 6．计算下面圆锥的体积。(单位：cm) 7．有一顶圆锥形帐篷，底面直径约为5m，高约为3.6m，它的体积约是多少立方米? 8．一个长方体木块，长50cm，宽40cm，高30cm，将其加工成一个最大的圆锥形木块，这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？ 9．建筑工地有一个圆锥形沙堆，底面直径是8m，高是3m。如果每立方米沙重1500 kg，那么这堆沙-共重多少千克？ 10．一个圆锥的底面半径是3dm，从圆锥的顶点沿着高垂直切下，切成两半后，表面积之和比原来圆锥的表面积增加了36dm。原来圆锥的体积是多少立方分米？ 11．把一块长15.7cm、宽8 cm、高5 cm的长方体钢块和一块底面直径6 cm、高24cm的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8cm的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少？(π取3.14) 12．如下图所示，圆锥形容器中装有2L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器中还能再装多少升水？ 13．一个圆锥形沙堆，它的占地面积为12m2，高1.5m，每立方米沙重1.7t，用载重600kg的小推车运，多少次可以运完? 14．在一个长8分米、寬6分米、高25分米的长方体容器中倒入一定量的水，然后放入一个底面半径为3分米的圆锥形铁块，铁块全部浸没在水中(水未溢出)，这时水面上升3.14分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？ 15．甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3 ：4，高的比是4： 5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩120 mL水。甲容器的容积是多少毫升？ 16．如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？ 题型1：已知底面半径和高，求圆锥体积 答案：100.48立方分米 解析：1. 底面面积：（平方分米）；2. 圆锥体积：（立方分米）。 题型2：已知底面直径和高，求圆锥体积 答案：235.5立方分米 解析：1. 底面半径：（分米）；2. 底面面积：（平方分米）；3. 圆锥体积：（立方分米）。 题型3：已知底面周长和高，求圆锥体积 答案：200.96立方分米 解析：1. 底面半径：（分米）；2. 底面面积：（平方分米）；3. 圆锥体积：（立方分米）。 题型4：等底等高圆柱与圆锥体积的关联计算 答案：圆锥体积40立方分米，圆柱体积360立方分米 解析：1. 圆锥体积：（立方分米）；2. 圆柱体积：（立方分米）。 练习巩固： 1．【答案】解： = =3×4×3.14 =12×3.14 =37.68（dm3） 【解析】根据：d÷2=r，圆锥的体积=πr2h，据此解答。 2．【答案】 = = 【解析】圆锥的体积公式为，把数值代入公式计算即可解答。 3．【答案】解：底面半径：20÷2=10（厘米） 3.14×10×10×21÷3 =314×21÷3 =2198（立方厘米） 答：圆锥的体积是2198立方厘米。 【解析】底面直径÷2=底面半径，π×底面半径的平方=底面积，底面积×高÷3=圆锥的体积。 4．【答案】解：×28.26×9 =28.26×3 =84.78（dm2）； 答：圆锥的体积是84.78dm2。 【解析】圆锥体积公式为V=Sh，据此代入数据求解。 5．【答案】解：×3.14××24 ＝×3.14×100×24 ＝3.14×100×8 ＝314×8 ＝2512（） 【解析】圆锥的体积＝×底面积×高。其中，底面积=π×半径2，半径=直径÷2。 6．【答案】解： = =3.14×2.25 =7.065（cm3）； 答：圆锥的体积是7.065cm3。 【解析】观察图形可以发现，圆锥的直径为3cm，高是4-1=3cm，圆锥的体积=，据此求解。 7．【答案】解：3.14×（5÷2）2×3.6× =3.14×6.25×3.6× =23.55（m3） 答：它的体积约是23.55立方米。 【解析】圆锥体积的计算公式：V=πr2h，底面半径=直径÷2，然后根据圆锥的体积计算公式代入具体数值计算即可。 8．【答案】解：×3.14×（）2×30 ＝3.14×400×10 ＝12560（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是12560立方厘米。 【解析】根据长方体内最大的圆锥的特点，这个长方体内最大的圆锥的底面直径是40厘米，高是30厘米；由此利用圆锥的体积公式即可解答。 9．【答案】解：×3.14×（8÷2）2×3×1500 ＝×3.14×16×3×1500 ＝50.24×1500 ＝75360（千克）； 答：这堆沙一共重75360千克。 【解析】首先根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出沙堆的体积，然后用沙的体积乘每立方米沙的质量即可。 10．【答案】解：圆锥的高： 36÷2×2÷（3×2） ＝36÷6 ＝6（分米） 圆锥的体积： ×3.14×32×6 ＝3.14×9×2 ＝3.14×18 ＝56.52（立方分米） 答：原来圆锥的体积是56.52立方分米。 【解析】根据题意，从圆锥的顶点沿着高垂直切下，切成两半后，平均分成体积相等、形状相同的两部分，结果表面积比原来的圆锥表面积增加了36平方分米，增加了两个截面，每个截面都是高为圆锥的高，底为3×2＝6分米的三角形，根据三角形的面积计算方法求出三角形的高（圆锥的高），为36÷2×2÷（3×2）＝6分米；再由圆锥的体积公式，列式解答。 11．【答案】设圆锥形钢块的高为.cm。 15.7×8×5+3.14×()2×24=×3.14×82 ×x x =19.5 答：圆锥形钢块的高为19.5 cm。 【解析】根据熔铸前后体积不变求解：长方体钢块体积十圆柱形钢块体积=圆锥形钢块体积 12．【答案】设容器的底面半径为r，那么水面半径为。 水的体积是：= πr2h=2，πr2h=48， 容器的体积是：πr2h= ×48=16(L)，还能装16-2=14(L) 【解析】根据圆锥的体积公式通过小圆锥的体积算出大圆锥的体积是解题的关键 13．【答案】解：12×1.5××1.7 =6×1.7 =10.2（t） 600kg=0.6t 10.2÷0.6=17（次） 答：17次可以运完。 【解析】运完需要的运的次数=圆锥形沙堆的体积×平均每立方米的质量÷平均每次运的体积；其中，圆锥形沙堆的体积=底面积×高×。 14．【答案】解：8×6×3.14÷(×3.14×3)=16(分米) 答：圆锥形铁块的高是16分米。 【解析】长方体容器中水面上升部分水的体积就是圆锥形铁块的体积，即圆锥形铁块的体积=水面上升部分水的体积=长×宽×水面上升的高度，最后根据“圆锥的高=圆锥的体积÷圆锥的底面积÷”求出圆锥形铁块的高。 15．【答案】解： (π×32×4÷3) ： (π×42×5) =12π：80π =（12π÷4π）：（80π÷4π） =3：20 20÷3=6（次） 6+1=7（次） 120÷（7-6） =120÷ = 360( mL) 答： 甲容器的容积是360毫升 。 【解析】根据圆锥和圆柱的底面半径比为3：4，高的比为4：5，则体积比为(π×32×4÷3) ： (π×42×5)=3：20，再根据”"每次用圆锥装满水往圆柱里倒，这样进行若干次后，圆柱满了，圆锥中还剩下120毫升的水”，可见需要倒7次，圆柱已满，圆锥里还剩120毫升的水，进而求出圆锥的体积. 16．【答案】解：设圆锥容器的底面半径为 ，高为 ，则甲、乙容器中水面半径均为 ，则有 ， ， ， 。 答：甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的 倍。 【解析】设圆锥容器的底面半径为 ，高为 ，则甲、乙容器中水面半径均为，根据圆锥体积公式来解答此题。甲容器水的体积=大圆锥体积-小圆锥体积，乙容器水的体积直接运用圆锥体积公式解答即可。最后再比较哪一只容器中盛的水多，多的是少的的几倍。 1 学科网（北京）股份有限公司 $