专题09：解比例（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题09：解比例 计算专项训练 一、核心定义 根据比例的基本性质，求比例中未知项的过程，叫做解比例。核心前提：比例中两个外项的积等于两个内项的积（比例的基本性质），这是解比例的唯一依据，也是北师大版教材重点强调的核心知识点。 二、必备基础（回顾巩固，必考） 1.比例的基本性质：对于比例 （或 ， 均不为0），有 （外项积 = 内项积）； 2.解比例的关键：先根据比例的基本性质，将比例转化为我们学过的简易方程（等式），再根据等式的性质求解未知项； 3.注意事项：① 解比例时，未知项通常用 表示；② 转化后的方程要符合等式规范，求解时步骤清晰；③ 解得未知项后，可代入原比例检验（确保外项积 = 内项积）。 三、解比例的一般步骤（北师大版高频考点，重点掌握） 1.写“解”字：解比例的第一步，必须先写“解”，规范解题格式； 2.找内外项，列等式：根据比例的基本性质，将比例转化为“外项积 = 内项积”的等式（注意：未知项参与相乘，保留未知项即可）； 3.解方程：根据等式的性质，求出未知项 的值（等式两边同时乘、除以同一个不为0的数，等式仍然成立）； 4.检验（可选，推荐）：将求得的 值代入原比例，验证外项积是否等于内项积，避免计算错误。 题型1：整数比例（未知项在內项） 典型例题：解比例 解题思路：先明确比例的外项（3和8）、内项（4和），根据比例的基本性质“外项积 = 内项积”，将比例转化为简易方程 ，再根据等式的性质求解 ，注意规范书写解题步骤。 解题过程 解：根据比例的基本性质，外项积 = 内项积，得： 计算等式右边： 等式两边同时除以4，得： 检验（可选）：将 代入原比例，外项积 ，内项积 ，外项积 = 内项积，解得正确。 跟踪训练：解比例 题型2：整数比例（未知项在外项） 典型例题：解比例 解题思路：明确外项（ 和25）、内项（5和10），根据比例的基本性质，转化为方程 ，再求解 ，重点注意未知项在外项时，等式的正确列法，避免混淆内外项。 解题过程 解：根据比例的基本性质，外项积 = 内项积，得： 计算等式右边： 等式两边同时除以25，得： 检验：外项积 ，内项积 ，解得正确。 跟踪训练：解比例 题型3：分数比例（含分数内项/外项） 典型例题：解比例 解题思路：分数比例的核心的是“交叉相乘”（即外项积 = 内项积），先明确外项（ 和 ）、内项（ 和 ），转化为整数方程（交叉相乘后，分母可抵消），再求解 ，注意分数乘法的计算规范。 解题过程 解：根据比例的基本性质，外项积 = 内项积，得： 计算等式右边（约分简化）： 此时方程为： 等式两边同时乘4，得： 检验：外项积 ，内项积 ，解得正确。 跟踪训练：解比例 题型4：小数比例（转化为整数比例） 典型例题：解比例 解题思路：小数比例可先转化为整数比例（消除小数），再解比例。本题中，0.5和0.25同时乘100，可转化为整数50:25，简化后为2:1，再根据比例的基本性质求解 ；也可直接根据基本性质转化为方程，两种方法均可。 解题过程 方法一（转化为整数比例）： 解：将比例两边的小数同时乘100，得 ； 化简整数比例（两边同时除以25），得 ； 外项积 = 内项积，得 ，即 。 方法二（直接转化方程）： 解：外项积 = 内项积，得 ； 计算右边：； 两边同时除以0.25，得 。 检验：，，解得正确。 跟踪训练：解比例 练习巩固 1．求未知数x。 x+30%x＝32.5 x：= ：（x+2）=：8 2．解比例。 ①② ③ 3．某住宅小区规划的住宅户数与小客车停车位数的比为1：0.8。这个小区共350户，实有小客车停车位285个，这个小区的小客车停车位数量　 　规划要求。【填“达到”或“未达到”】 4． A和B互为倒数， 且A：6=C：B， 那么， C =　 　 ； 若1.4B=0.6A(A，B均不为0)， 那么A：B=　 　：　 　 。 5．六年级举行“中国台湾摄影展”比赛，六(1)班交了20件作品，六(1)班和六(2)班的比是4：5 。六 (2) 班交了　 　件。 6．已知5a=6b， a、b均不为0， 则a：b=　 　：　 　。如果b等于8，则a等于　 　。 7．在一般情况下，人的脚长与身高的比约是1：7。小张的脚长约是25厘米。则他的身高约是　 　米。 8．如果4：9=16： a， 那么 a=　 　。如果 那么a和b成　 　比例。 9．下面表格中，如果A和B成正比例，x=　 　，如果A和B成反比例，x=　 　。 A 2 8 B 0.5 x 10．在一个比例中，已知两个比的比值都等于3，这个比例的两个外项分别是 这个比例是　 　。 11．有种木材长60 dm，把它锯成50 cm的小段，要锯44分钟，照这样计算，如果把它锯成40cm的小段，要锯多少分钟？ 12．幼儿园大班和中班一共有32名男生，18名女生。已知大班男生人数与女生人数的比为5：3，中班男生人数与女生人数的比为2： 1，则大班有多少名女生？ 13．小华的课外书本数是小丹的4倍。如果小华送10本书给小丹，那么小华和小丹的课外书本数的比是3：2。你知道小华和小丹一共有多少本课外书吗？ 14．为迎接母亲节，甲、乙两个花店各进了一批康乃馨，甲、乙两店康乃馨的数量比是5：6，如果甲店给乙店20枝康乃馨，那么甲、乙两店康乃馨的数量比是3：4。甲、乙两个花店原来各有康乃馨多少枝？ 15．把420 mL油倒入甲、乙两个壶中，如果先把甲壶装满，乙壶只能装75%；如果先把乙壶装满，甲壶只能装一半。甲、乙两壶各可装油多少毫升？ 16．一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了320 km。照这样计算，再行3.5小时离乙地还有15 km，甲、乙两地相距多少千米？ 17．小明家住在八楼，一天停电，小明只好走楼梯回家，当他从一楼上到四楼时用了36秒，假设小明上每层楼所用的时间相同，那么小明从一楼回到家需要多少秒？ 18．悠悠家8月份共缴纳水费、电费、燃气费共140元，其中燃气费是电费的，水费与燃气费的比是1：3，悠悠家8月份水费、电费、燃气费分别是多少元？ 题型1：整数比例（未知项在內项） 答案：、 解析：1. ，外项积=内项积，，；2. ，，。 题型2：整数比例（未知项在外项） 答案：、 解析：1. ，，；2. ，，。 题型3：分数比例（含分数内项/外项） 答案：、 解析：1. ，，；2. ，，？ 修正：2. 正确解析：，（正确答案）。 题型4：小数比例（转化为整数比例） 答案：、 解析：1. ，，；2. ，，。 练习巩固： 1．【答案】x+30%x＝32.5 解：1.3x=32.5 x=32.5÷1.3 x=25 x：= 解：x：×=× x= ：（x+2）=：8 解：（x+2）=×8 x+2=6÷ x=7-2 x=5 【解析】第一题：先计算方程左边的部分，然后根据等式的性质把方程两边同时除以1.3即可； 第二题：两个数相除又叫做两个数的比，所以可以把方程两边同时乘求出x的值； 第三题：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。根据比例的基本性质把比例写成两个内项积等于两个外项积的形式，然后根据等式的性质求出x的值。 2．【答案】 ① 解：5x=8 5x÷5=8÷5 x=1.6 ② 解：12x=28 12x÷12=28÷12 x= ③ 解：x= x÷=÷ x= 【解析】第一题：根据比例的基本性质，把改写成5x=8，再利用等式的基本性质2等式的两边同时除以5； 第二题：根据比例的基本性质，把改写成12x=28，再利用等式的基本性质2等式的两边同时除以12； 第三题：根据比例的基本性质，把改写成x=，再利用等式的基本性质2等式的两边同时除以。 3．【答案】达到 【解析】【解答】解：350×0.8=280 个 小区实际有 285 个车位，因为 285>280，所以小客车停车位数量达到规划要求 故答案为：达到。 本题考查比例的实际应用，解题用到 “按比例计算所需数量” 和 “比较实际数量与所需数量” 的技巧，核心是通过比例关系求出规划要求的车位数量，再与实际数量对比，判断是否达标。 4．【答案】；7；3 【解析】【解答】（1）AB=1，AB=6C，所以6C=1，解得C=； (2)，(3)根据内项积等于外项积可转换得A：B=1.4：0.6，转化成最简比为：7：3 故答案为：；7；3 互为倒数的两个数的乘积为1； 比例的基本性质：内项积等于外项积；由此可作答。 5．【答案】25 【解析】【解答】解：设六（2）班交了x件， 20：x=4：5 4x=20×5 x=25 答：六（2）班交了25件； 故答案为：25 比例的基本性质：内项积等于外项积； 可设六（2）班交了x件，根据已知可列出比例方程，根据比例的基本性质解方程即可。 6．【答案】6；5；9.6 【解析】【解答】根据比例的基本性质可知a：b=6：5；若b=8，则5a=6×8=48，则5a=48，a=9.6 故答案为：6；5；9.6 比例的基本性质：在比例里，两个外向的积等于两个外向的积；把a和5看作外项，b和6看作内向，即可得出；把b=8带入算式得到一个方程式5a=48，方程的解法：根据等式的性质，方程两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式不变，方程两边同时除以5即可求出a的值。 7．【答案】1.75 【解析】【解答】设他的身高约是x厘米 175厘米=1.75米 故答案为：1.75。 因为脚长与身高的比值是固定的，所以可列出比例式，根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”，可求得他的身高，最后注意变换单位。 8．【答案】36；反 【解析】【解答】解：如果4：9=16： a， 则4a=9×16 4a=144 4a÷4=144÷4 a=36 如果a：1.5=：b，则 a×b=1.5×=3.5，a和b成反比例。 故答案为：36；反。 根据比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积，据此解答； 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。 9．【答案】2；0.125 【解析】【解答】解：2∶0.5＝8∶x 解得：x＝2， 2×0.5＝8×x 解得：x＝0.125； 故答案为：2；0.125。 根据题意，若A和B成正比例，那么A与B的比值是一定的，列出比例式即可解得x的值；若A和B成反比例，那么A与B的乘积是一定的，据此列出方程解得x的值即可。 10．【答案】：=：或：=： 【解析】【解答】当比例为：x=y：时，x=÷3=，y=3×=，此时比例为：=：； 当比例为：x=y：时，x=÷3=，y=3×=，此时比例为：=：； 故答案为：：=：或：=：。 已知比例两个外项为和分两种情况设比例式，再根据 两个比的比值都等于3 ，分别求出两种情况下比例的内项，从而得到满足条件的比例。 11．【答案】解：设把它锯成40 cm的小段需要x分钟。 60 dm= 600 cm 600÷50=12(段) 12-1=11(次) 600÷40=15(段) 15-1=14(次) x=56 答：锯成40cm的小段要锯56分钟。 【解析】锯的次数=段数-1，每锯一次的时间是相同的。先求锯成50cm的小段需要锯多少次，再求锯成40cm的小段需要锯多少次，最后根据锯50 cm的小段要44分钟，求出锯成40 cm的小段需要多少分钟。 12．【答案】解：设大班有x名女生，那么大班有名男生，中班有(18-x)名女生，中班有(32- )名男生。 (32-)： (18-x)=2：1 解得x=12 答：大班有12名女生。 【解析】若设大班有x名女生，则根据题中给出的人数比，依次用含x的代数式写出大班男生、中班女生、中班男生各有多少名；已知中班男生人数与女生人数的比为2：1，用含x的代数式列出比例方程式，解比例方程即可。 13．【答案】解：设小丹有课外书x本，则小华有课外书4x本。 （4x－10）∶（x＋10）＝3∶2 2（4x－10）＝3（x＋10） 8x－20＝3x＋30 5x＝50 x＝10 4×10＝40（本） 10＋40＝50（本） 答：小华和小丹一共有50本课外书。 【解析】设小丹有课外书x本，则小华有课外书4x本；小华送书后，小华还有（4x-10）本，小丹有（x+10）本，根据小华和小丹的课外书本数的比是3：2列出比例方程，列出比例解答即可。 14．【答案】解：设甲、乙两个花店共有康乃馨x枝。 (x-20)：(x+20)=314 解得x=770 甲店：770×= 350(枝) 乙店：770×=420(枝) 答：甲店原来有康乃馨350枝，乙店原来有康乃馨420枝。 【解析】甲、乙两个花店的康乃馨数量比是5：6，即分别占总数的和．根据甲花店给乙花店20枝康乃馨后，两个花店康乃馨的数量比为3：4来列方程。 15．【答案】解：(1-75%)：(1-)=1：2 设甲壶可装油x mL，则乙壶可装油2x mL。 +2x=420 x=168 168×2=336（毫升） 答：甲壶可以装油168毫升，乙壶可以装油336毫升。 【解析】根据题意，如果先把乙壶装满，甲壶只能装一半，说明乙壶的容量是甲壶容量的两倍。设甲壶可装油x毫升，那么乙壶可装油2x毫升，根据“一共有420毫升油，先把乙壶装满，甲壶只能装一半”建立方程求解可以得到甲壶的油，再按照比例求出乙壶的油。 16．【答案】解：设甲、乙两地相距xkm。 x=615 答：甲、乙两地相距615 km。 【解析】本题可以列比例解答，根据题中条件“照这样计算”可知速度一定，路程和时间成正比例，再根据正比例关系列比例解答。 17．【答案】解：设小明从一楼回到家需要ｘ秒。 x =84 答：小明从一楼回到家需要84秒。 【解析】木料的段数和所需时间呈正比，据此列出正比例方程，解方程即可。 18．【答案】解：设水费为x元，则燃气费是3x元，电费是(3x÷)元。 x+3x+3x÷=140 x=15 水费：15元 燃气费：3×15=45(元) 电费：45÷= 80(元) 答：悠悠家8月份水费为15元，电费为80元，燃气费为45元。 【解析】先根据水费、电费、燃气费两两之间的比值，选择其中一个设为未知数，另两个用含有未知数的式子表示，根据它们三个的和是140列方程，并解答。 1 学科网（北京）股份有限公司 $