专题12：反比例（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题12：反比例 计算专项训练 一、核心定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 二、必备基础 1.核心条件： 两种量是相关联的（一种量变化，另一种量随之变化）； 两种量的变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）； 两种量中相对应的两个数的积一定。 2.字母表示法：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），那么反比例关系可以表示为：（k为常数，且k≠0，x≠0，y≠0）； 3.关键注意：① 积k必须是“一定”的（固定不变的数），不能是变化的；② 两种量必须“相关联”，不相关联的量（如身高和做题速度）不成反比例；③ 计算时，相对应的两个数要对应准确，避免找错对应关系；④ 切勿混淆“比值一定”和“积一定”，避免把正比例、反比例判断混淆。 三、反比例相关计算的一般步骤（北师大版高频考点，重点掌握） 审题：明确题目中的两种量，判断它们是否成反比例（对照3个核心条件，重点验证积是否一定）； 找对应：找出两种量中相对应的已知数据，明确所求问题（求未知量、求积k等）； 列等式：根据反比例关系（k一定），列出等式（或比例式的变形）； 计算：代入已知数据，求解未知量（注意计算准确，格式规范，单位统一）； 检验（可选，推荐）：将求得的未知量代入等式，验证积是否与k相等，确保计算正确。 题型1：判断两种量是否成反比例（基础必考，常与正比例对比） 典型例题：判断下面两种量是否成反比例，并说明理由，再区分与正比例的不同。 （1）总路程一定，速度和时间；（2）正方形的边长和它的面积；（3）总价一定，单价和数量。 解题思路：对照反比例的3个核心条件（相关联、反变化、积一定），逐一分析每种量，先判断是否相关联，再看变化方向是否相反，最后验证积是否一定，只要有一个条件不满足，就不成反比例；同时对比正比例的“比值一定”，明确两者区别。 解题过程 （1）总路程一定，速度和时间成反比例； 理由：① 速度和时间是相关联的量（速度变化，时间也随着变化）；② 变化方向相反（速度扩大，时间缩小；速度缩小，时间扩大）；③ 积一定（，总路程是固定不变的），满足反比例的所有条件，所以成反比例。 与正比例区别：正比例是“比值一定”，本题是“积一定”，变化方向也相反。 （2）正方形的边长和它的面积不成反比例； 理由：① 边长和面积是相关联的量（边长变化，面积也随着变化）；② 变化方向相同（边长扩大，面积也扩大），不满足“变化方向相反”；③ 积不一定（，边长是变化的，积也会随着变化），不满足反比例的条件，所以不成反比例。 （3）总价一定，单价和数量成反比例； 理由：① 单价和数量是相关联的量（单价变化，数量也随着变化）；② 变化方向相反（单价扩大，数量缩小；单价缩小，数量扩大）；③ 积一定（，总价是固定不变的），满足反比例的所有条件，所以成反比例。 与正比例区别：若“单价一定”，总价和数量成正比例（比值一定）；本题“总价一定”，单价和数量成反比例（积一定）。 跟踪训练：判断下面两种量是否成反比例，并说明理由 1. 工作总量一定，工作效率和工作时间；2. 长方形的面积一定，它的长和宽；3. 一个人的年龄和他的体重。 题型2：已知两种量成反比例，求未知量（计算重点） 典型例题：已知总路程一定，速度和时间成反比例，当速度是60千米/小时时，时间是3小时；当速度是90千米/小时时，对应的时间是多少小时？ 解题思路：先根据已知的对应数据，求出反比例的固定积k（总路程），再根据（k一定），列出等式，求解未知的时间；也可直接根据“时间 = k÷速度”快速计算，注意单位统一。 解题过程 方法一（列等式）： 解：设当速度是90千米/小时时，对应的时间是x小时； 因为总路程一定，速度和时间成反比例，所以（k一定）； 先求固定积k（总路程）：k = 60×3 = 180（千米）； 列出等式：90×x = 180； 等式两边同时除以90，得：x = 180÷90 = 2； 方法二（直接用k计算）： 解：先求固定积k（总路程）：k = 60×3 = 180（千米）； 再求未知时间：时间 = k÷速度 = 180÷90 = 2（小时）； 检验：90×2 = 180，与k=180相等，计算正确。 答：对应的时间是2小时。 跟踪训练 1. 已知总价一定，单价和数量成反比例，当单价是6元/千克时，数量是5千克；当单价是10元/千克时，数量是多少千克？ 2. 已知工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，当工作效率是60个/小时时，工作时间是4小时；当工作效率是80个/小时时，对应的工作时间是多少小时？ 练习巩固 1．用一块橡皮泥捏成不同的圆柱体，圆柱的底面积与高成　 　比例关系。 2．一辆自行车，前齿轮有48齿，后齿轮有16齿，当前齿轮转15圈时，后齿轮转　 　圈。 3．小军步行往返于甲乙两地，去时用了2小时，回来时速度减慢了，比去时要多用　 　小时。 4．为一个广场地面铺方砖，用边长为4dm的方砖铺地，需要3600块；如果改用边长为6dm的方砖铺地，需要　 　块。 5．小明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第3个孔应挂　 　颗珠才能保持平衡。 6． 一辆自行车，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。当前齿轮转了12圈时，后齿轮转了　 　圈。 7．笑笑做了一些正多边形，每个正多边形都是用2.4m长的绳子围成的。这些正多边形的边长与边数成　 　比例，当边数为3时，边长为　 　m；当边长为0.6m时，边数为　 　。围成的正多边形边数越多，边长就越　 　。 8．做“杠杆原理”的实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始向两边每隔相等距离画上刻度线。如图，在两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。已知右边那袋水果重2.4千克，那么左边那袋水果重　 　千克。 9．表中x与y是两种相关联的量。如果x与y成正比例关系，那么“？”中应填　 　，如果x与y成反比例关系，那么“？”中应填　 　。 x 60 ？ y 15 50 10．如图所示为两个相互啮合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm。如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动　 　周。 11．某次测试中，甲、乙两名同学的分数比为5：4，如果甲少得25分，乙多得25分，那么他们的分数比是5：7。甲．乙各得多少分？ 12．用长30厘米、宽15厘米的长方形地砖铺一块地，需要800块。如果改用边长为20厘米的正方形地砖来铺，需要多少块？ 13．有长度相等，粗细不同的两根蜡烛，粗的可燃3小时，细的可燃2小时。一天晚上8：00停电了，小明把这两根蜡烛同时点燃照明。来电时，小明同时吹灭这两根蜡烛，他用尺子量得粗蜡烛余下的长度正好是细蜡烛的2倍，请问是何时来电的？ 14．有一架天平，它的两臂不等长，当称实际质量为10千克的西瓜时，若把西瓜放在天平臂较短的一侧，则天平显示只有8千克；若把这10千克西瓜放在天平臂较长的一侧，则这样称起来，西瓜会显示多少千克？ 15．一架飞机所带的燃料最多可以支持飞行6小时。飞机去时 顺风，每小时飞行1500 km，返回时逆风，每小时飞行1200 km。这架飞机最多飞行多少千米就需要返回？ 16．一辆汽车从甲地到乙地，如果速度比计划速度每小时慢5千米，那么所用时间就比计划时间多；如果速度比计划速度增加，那么将比计划时间早1小时到达。求甲、乙两地的距离。 17．一辆自行车，前齿轮齿数是36齿，后齿轮齿数是18齿，蹬3圈自行车大约前进1410厘米，自行车的车轮直径大约是多少厘米？(得数保留整数) 18．小宁家离学校2400米。她每天骑自行车去上学，自行车前齿轮有40个齿，前齿轮和后齿轮齿数比为5：3，车轮直径是75厘米。小宁从家到学校至少要蹬多少圈？(得数保留整数) 19．小华的自行车后齿轮是16个齿，前齿轮是48个齿，车轮直径是72cm；小明的自行车前齿轮是26个齿，后齿轮是13个齿，车轮直径是65 cm。谁的车蹬一圈走得远？远多少？ 20．小东从家里出发去学校，如果每分钟走70 m，能在上课前5分钟到校；如果每分钟走45 m，就要迟到5分钟。那么小东家到学校的路程是多少米？ 题型1：判断两种量是否成反比例（基础必考） 答案：1. 成反比例；2. 成反比例；3. 不成反比例 解析：1. 工作总量一定，（k一定），相关联、反变化、积一定，成反比例；2. 长方形面积一定，（k一定），相关联、反变化、积一定，成反比例；3. 年龄和体重是相关联的量，但积不一定（年龄增长，体重的积不固定），不成反比例。 题型2：已知两种量成反比例，求未知量（计算重点） 答案：1. 3千克；2. 3小时 解析：1. 先求k=（元），数量=30÷10=3千克；2. 先求k=（个），时间=240÷80=3小时。 练习巩固： 1．【答案】反 【解析】解： 圆柱的底面积与高成反比例关系 故答案为：反 用一块橡皮泥捏成不同的圆柱体，橡皮泥的体积是一定的，因此圆柱体的底面积和高应该满足乘积一定，即底面积×高=体积（一定）。所以圆柱的底面积与高成反比例关系。 2．【答案】45 【解析】解：设后齿轮转x圈 16x=48×15 16x=720 x=45 故答案为：45。 分析题干可知，前齿轮齿数与转动圈数的乘积和后齿轮齿数与转动圈数的乘积相等，故设后齿轮转x圈，据此建立方程16x=48×15，解出x的值即为后齿轮转动圈数。 3．【答案】 【解析】计算回来时的时间：回来时的速度为原来的(1 -) =。 根据速度、时间和路程的关系，回来时的时间为去时时间的倍，即2 × =小时。 计算多用的时间：回来时比去时多用的时间为小时。 故答案为：。 要求小军往返两地的时间差异。需要我们计算回来时的时间，考虑到速度减慢了。根据路程一定，速度和时间成反比的关系，可以计算回来时的时间，再求往返的时间差。 4．【答案】1600 【解析】解：4×4×3600 =16×3600 =57600（平方分米） 57600÷（6×6） =57600÷36 =1600（块） 故答案为：1600。 根据题意可知，先求出这个广场地面的面积，每块方砖的边长×边长×需要的块数=这个广场地面的面积，最后用这个广场的地面面积÷现在用的方砖的面积=需要的块数。 5．【答案】4 6．【答案】36 【解析】解：设后齿轮转了x圈。 48×12=16x 16x=576 x=36 故答案为：36。 根据两个齿轮在传动过程中齿数与转圈数的反比关系。即前齿轮齿数×前齿轮转圈数=后齿 轮齿数×后齿轮转圈数。解答即可。 7．【答案】反；0.8；4；短 【解析】解：边长×边数=2.4 所以正多边形的边长与边数成反比例 2.4÷3=0.8（m） 2.4÷0.6=4 围成的正多边形越多，边长就越短 故答案为：反，0.8，4，短。 分析题干，已知边长×边数=2.4，根据反比例是指两种相关联的变量，一种量变化时，另一种量也会随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系叫做反比例关系，得出正多边形的边长与边数成反比例；进而可以得出正多边形的边长=2.4÷边数，边数=2.4÷边长；由于正多边形边数越多，边长就越短。 8．【答案】4 【解析】解：设左边那袋水果重x千克。 3x = 5 x2.4 3x= 12 x=4 所以左边那袋水果重4千克。 故答案为：4。 设左边那袋水果重x千克，根据杠杆平衡原理，即左边的距离（3格）×左边水果的重量（xkg）=右边的距离（5格）×右边水果的重量（2.4㎏），列出方程解答即可。 9．【答案】200；18 10．【答案】1000 【解析】解：3dm=30cm 大齿轮半径与小齿轮半径比=30：3=10：1 100×10=1000（周） 故答案为：1000。 分析题干，首先根据1dm=30cm得出大齿轮的半径为30cm，进而得出大齿轮半径与小齿轮半径比为10：1，转动周数与齿轮半径成反比，故大齿轮转动一周，小齿轮要转动10周，进而可以得出大齿轮转动100周，小齿轮要转动100×10=1000（周）。 11．【答案】解：设甲得5ｘ分，乙得4ｘ分。 (5ｘ-25) ： (4ｘ+25) =5 ： 7 ｘ=20 甲得5×20=100 (分)乙得4×20=80 (分) 答：甲得100分，乙得80分。 【解析】根据甲、乙两个同学的分数比为5∶4，假设甲是5x，乙是4x，再根据如果甲少得25分，乙多得25分，那么他们的分数比是5∶7，列出比例，进行解答即可。 12．【答案】解：设需要x块，则 20×20×x=30×15×800 400x=450×800 x=450×800÷ 400 　　　　x=900（块） 答：需要900块。 【解析】根据每块砖的面积×需要的块数=房子的地面面积(一定)可知：每块砖的面积与需要的块数成反比例关系，设如果改用边长为20厘米的正方形地砖来铺需要x块，根据每块砖的面积与需要的块数成反比例关系写出比例求解即可。 13．【答案】解：设蜡烛燃烧了ｘ小时。 (1-ｘ)：(1-)=2：1 ｘ=1.5 1.5小时=1小时30分钟 8时+1小时30分钟=9时30分 答：是晚上9：30来电的。 【解析】把蜡烛的长度看作单位“1”，设点燃了x小时，那么粗蜡烛余下的长度是1-x，细蜡烛余下的长度是1-x，根据粗蜡烛余下的长度正好是细蜡烛的2倍列出方程即可解答，注意进行时间的推算。 14．【答案】解：设此时西瓜会显示x千克。 x=12.5 答：此时西瓜会显示12.5千克。 【解析】虽然天平两臂不等长，但称西瓜的质量时，较短一侧与较长一侧的质量比是一定的，呈现比例关系，据此设未知数，进行解答。 15．【答案】解：设飞机去时用了ｘ小时。 1500ｘ= 1200×(6-ｘ) ｘ= 1500 ×= 4000 ( km) 答：这架飞机最多飞行4000 km就需要返回。 【解析】顺风飞行的时间＋逆风飞行时间＝最多飞行时间，根据速度×时间＝路程，都是同一架飞机所以往返的路程相同，据此列出反比例方程，求解。 16．【答案】解：设计划速度为x千米/时 (x-5)：x=1：(1+) x=（x-5） x=x- x= x=45 设计划时间为y小时 (y-1)： y=1 ：(1+) y=（y-1） y=y- y= y=4 甲、乙两地的距离：45×4= 180(千米) 答：甲、乙两地的距离为180千米。 【解析】从甲地到乙地的路程一定，速度与时间成反比例关系。故根据题干可以假设计划速度为x千米/时，得到方程(x-5)：x=1：(1+)，设计划时间为y小时，得到方程(y-1)： y=1 ：(1+)，分别解出x和y的值，即为计划速度和计划时间，相乘即为距离。 17．【答案】解：1410÷3÷÷3.14≈75(厘米) 答：自行车的车轮直径大约是75厘米。 【解析】自行车蹬一圈的路程=车轮周长×，需要注意1410厘米是蹬了3圈的距离。 18．【答案】解：2400米= 240000厘米 240000÷(3.14×75×)≈612(圈) 答：小宁从家到学校至少要蹬612圈。 【解析】小宁要蹬的圈数等于自行车前进的距离（即家离学校的距离）除以自行车蹬一圈的路程，据此计算，注意单位的换算，结果用进一法取值。 19．【答案】解：小华的车轮周长：3.14×72=226.08(厘米) 小华的车蹬一圈的距离：226.08×=678.24(厘米) 小明的车轮周长：3.14×65= 204.1(厘米) 小明的车蹬一圈的距离：204.1×=408.2(厘米) 678.24> 408.2 678.24-408.2=270.04(厘米) 答：小华的车蹬一圈走得远 ，远270.04厘米。 【解析】自行车蹬一圈的路程=车轮周长×，根据公式计算出结果，再进行比较。 20．【答案】解：设小东从家到学校所用的时间是ｘ分钟时恰好不迟到。 70×(ｘ-5) =45× (ｘ+5) ｘ=23 70×(23-5) = 1260 (m) 答：小东家到学校的路程是1260 m。 【解析】路程=速度×时间，则小冬从家到学校所用时间与所用速度呈现反比例关系；设恰好不迟到的时间为未知数x，建立方程求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $