专题03：组合体的表面积（圆柱）（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题03：组合体的表面积（圆柱） 计算专项训练 一、圆柱组合体表面积的意义 1.定义：由两个或多个圆柱（或圆柱与其他简单立体图形，本节课重点围绕圆柱与圆柱组合）拼接、叠加形成的组合体，其表面积是指组合体所有外表面的面积总和，注意：拼接处的面积会被遮挡，计算时需减去被遮挡部分的面积（通常是两个重合的底面面积）。 2.核心易错点：组合体表面积≠各个圆柱表面积之和，关键是找准“被遮挡的面”——两个圆柱拼接时，重合的两个圆形底面会被隐藏，需从总表面积中减去2个底面面积（若只有一个面重合，减去1个底面面积）。 二、圆柱组合体表面积的核心计算公式 1.基础公式铺垫：单个圆柱表面积 （或 ），单个圆柱底面面积 。 2.常见组合体公式（重点掌握）：两个圆柱“上下拼接”（同轴、底面重合）：（重合2个底面，需减去2倍底面面积）；两个圆柱“前后/左右拼接”（底面部分重合，重点考同轴拼接）：同上下拼接，核心是减去重合的2个底面面积；圆柱与圆柱“嵌套”（少见，基础考）：（内圆柱的两个底面被遮挡，只算外圆柱表面积和内圆柱侧面积）。 3.解题关键：先判断组合体的拼接方式，找出被遮挡的面的数量和大小，再分步计算单个圆柱的表面积（或侧面积、底面积），最后通过“加总 - 遮挡面积”得出组合体表面积。 题型1：两个圆柱上下拼接（底面完全重合，同轴） 典型例题：一个圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米；另一个圆柱的底面半径也是3厘米，高是6厘米。将两个圆柱上下拼接成一个组合体，求这个组合体的表面积。 解题思路：两个圆柱底面完全重合（半径相同），拼接后被遮挡的是2个相同的圆形底面（每个圆柱各有1个底面重合），因此组合体表面积 = 第一个圆柱表面积 + 第二个圆柱表面积 - 2×单个底面面积；也可简化计算：组合体侧面积 + 2×单个底面面积（上下两个外露的底面，中间重合的底面抵消）。 解题过程 计算单个底面面积：（平方厘米） 计算第一个圆柱的侧面积：（平方厘米） 计算第二个圆柱的侧面积：（平方厘米） 组合体侧面积总和：（平方厘米） 组合体外露底面面积：上下各1个底面，共（平方厘米） 组合体表面积：（平方厘米） 跟踪训练：一个圆柱的底面直径是4分米，高是5分米；另一个圆柱的底面直径也是4分米，高是8分米。将两个圆柱上下拼接，求组合体的表面积。 题型2：两个圆柱上下拼接（底面半径不同，同轴） 典型例题：一个圆柱的底面半径是2厘米，高是5厘米；另一个圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米。将小圆柱放在大圆柱的正上方（底面中心对齐，完全重合部分为小圆柱的底面），求这个组合体的表面积。 解题思路：两个圆柱半径不同，拼接后被遮挡的是2个小圆柱的底面（小圆柱的下底面与大圆柱的上底面重合，重合面积为小圆柱的底面面积），因此组合体表面积 = 大圆柱表面积 + 小圆柱表面积 - 2×小圆柱底面面积（重点：遮挡面积以较小的重合面为准）。 解题过程 计算小圆柱底面面积：（平方厘米） 计算小圆柱表面积：（平方厘米） 计算大圆柱底面面积：（平方厘米） 计算大圆柱表面积：（平方厘米） 遮挡面积：（平方厘米） 组合体表面积：（平方厘米） 跟踪训练：一个圆柱的底面半径是1分米，高是6分米；另一个圆柱的底面半径是2分米，高是5分米。将小圆柱放在大圆柱正上方，求组合体的表面积。 题型3：圆柱组合体的实际应用（无盖/用料问题） 典型例题：一个无盖的圆柱形水桶，底面半径是3分米，高是8分米。在水桶的上口拼接一个底面半径相同、高是2分米的圆柱（作为桶沿），制作这个带桶沿的水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 解题思路：本题为无盖组合体，原水桶无盖（只有1个底面），拼接桶沿后，桶沿与水桶上口重合（遮挡1个底面面积），因此所需铁皮面积 = 原无盖水桶表面积 + 桶沿的侧面积（桶沿无盖，且下底面与水桶上口重合，无需计算桶沿的底面面积）。 解题过程 计算原无盖水桶的表面积（1个底面 + 侧面积）：（平方分米） 计算桶沿的侧面积（无底面，只算侧面积）：（平方分米） 所需铁皮总面积（组合体表面积）：（平方分米） 跟踪训练：一个无盖的圆柱形鱼缸，底面直径是8分米，高是10分米。在鱼缸上口拼接一个底面直径相同、高是1分米的圆柱边框，制作这个鱼缸（含边框）至少需要多少平方分米的玻璃？ 题型4：圆柱与圆柱嵌套组合（基础拓展） 典型例题：一个圆柱形空心管，外圆柱的底面半径是4厘米，高是10厘米；内圆柱的底面半径是2厘米，高与外圆柱相同。求这个空心管的表面积（内壁和外壁都算）。 解题思路：嵌套组合体（空心管），外圆柱有完整的侧面积和2个底面（但内圆柱的2个底面会遮挡外圆柱内部的2个小底面，无需单独计算），内圆柱只有侧面积（上下底面与外圆柱内部重合，被遮挡），因此空心管表面积 = 外圆柱表面积 + 内圆柱侧面积。 解题过程 计算外圆柱表面积：（平方厘米） 计算内圆柱侧面积：（平方厘米） 空心管表面积：（平方厘米） 跟踪训练：一个圆柱形空心柱，外圆柱底面直径是10分米，高是15分米；内圆柱底面直径是6分米，高与外圆柱相同。求这个空心柱的表面积（内壁和外壁都算）。 练习巩固 1．计算下面图形的表面积。 2．计算下面图形的表面积。 3．计算下图的表面积。（单位：厘米） 4．计算下面图形的表面积。（单位：dm） 5．计算下面立体图形的表面积。                6．计算下面图形的表面积。 7．如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 8．如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是 平方分米。 9．如图，将高都是2米、底面半径分别为4米和3米的两个圆柱堆积成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 平米。（π取3.14） 10．如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 11．有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 12．一个卫星专用零件是由一个圆柱和一个长方体焊接而成（如下图），它的表面积是多少平方厘米？ 13．三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？ 14．有一个会议大厅内的立柱如下图所示，它是由圆柱和底座组成的。要将立柱漆上红色油漆，要漆多少平方米？（上、下底面不漆） 15．数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 16．一个宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，乐乐要给宝箱涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？ 17．如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 18．有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 19．有一顶帽子（如下图），帽顶部分是圆柱形，用硬纸板做的，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的硬纸板做的，已知帽顶的半径、高和帽檐的宽都是1分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的硬纸板？ 20．张叔叔制作一个模型，他拿来一个棱长是8分米的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为4分米的圆孔，一直穿通到对面（如图）。为了防止生锈，王师傅给这个模型中可能与空气接触的表面都喷上油漆，需喷油漆的面积是多少平方分米？ 题型1：两个圆柱上下拼接（底面完全重合，同轴） 跟踪训练答案：301.44平方分米 解析：1. 底面半径分米，单个底面积平方分米；2. 第一个圆柱表面积平方分米；3. 第二个圆柱表面积平方分米；4. 遮挡面积平方分米；5. 组合体表面积平方分米 题型2：两个圆柱上下拼接（底面半径不同，同轴） 答案：182.12平方分米 解析：解析：1. 小圆柱表面积；2. 大圆柱表面积；3. 遮挡面积；4. 组合体表面积平方分米 题型3：圆柱组合体的实际应用（无盖/用料问题） 答案：351.68平方分米 解析： 鱼缸底面半径分米，无盖鱼缸表面积（1个底面+侧面积）平方分米；2. 边框侧面积平方分米；3. 总面积平方分米 题型4：圆柱与圆柱嵌套组合（基础拓展） 答案：879.2平方分米 解析：内圆柱侧面积，外圆柱表面积，总面积平方分米（正确答案910.6平方分米）。 练习巩固： 1．653.12cm2 【分析】据图可知，这个立体图形的表面积等于一个底面直径是14cm高是5cm的圆柱的表面积加上一个底面直径是8cm高是5cm的圆柱的侧面积，据此结合圆柱的表面积＝2π（d÷2）2＋πdh，圆柱的侧面积＝πdh代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×（14÷2）2×2＋3.14×14×5＋3.14×8×5 ＝3.14×72×2＋43.96×5＋25.12×5 ＝3.14×49×2＋219.8＋125.6 ＝153.86×2＋219.8＋125.6 ＝307.72＋219.8＋125.6 ＝653.12（cm2） 图形的表面积是653.12cm2。 2． 【分析】通过平移，将圆柱上边的底面平移到下边，这个组合体的表面积＝长方体的表面积＋圆柱的侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】 这个组合体的表面积是5770。 3．表面积是1256平方厘米 【分析】通过观察图形可知，由于上面的圆柱与下面的圆柱体粘合在一起，所以这个组合图形的表面积等于上面圆柱的侧面积加上下面圆柱体的表面积；根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱体的表面积公式：圆柱的表面积＝侧面积（S＝πdh ）＋底面积（πr2）×2；数据代入公式解答。 【详解】上面圆柱体的侧面积： 3.14×10×8 ＝31.4×8 ＝251.2（平方厘米） 下面圆柱体的表面积： 3.14×20×6＋3.14×（20÷2）2×2 ＝62.8×6＋3.14×100×2 ＝376.8＋314×2 ＝376.8＋628 ＝1004.8（平方厘米） 图中图形的表面积是：251.2＋1004.8＝1256（平方厘米） 它的表面积是1256平方厘米。 4．662.8dm2 【分析】图形的表面积＝棱长是10dm的正方体的表面积＋底面直径是4dm，高是5dm的圆柱的侧面积；根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，圆柱的侧面积公式：底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋12.56×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（dm2） 表面积是662.8dm2。 5．平方厘米 【分析】如图所示，这是由一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱和一个棱长为8厘米的正方体组成的立体图形，求立体图形的表面积，则根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别求出圆柱的侧面积和正方体的表面积，再相加，即可得到立体图形的表面积。 【详解】圆柱的侧面积：（平方厘米） 正方体的表面积：（平方厘米） 立体图形的表面积：（平方厘米） 立体图形的表面积是478.2平方厘米。 6．270.72cm2 【分析】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【详解】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 7．31.4 【分析】通过观察图形可知，把三个小、中、大圆柱摞起来，表面积比原来减少了小、中圆柱的两个底面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×4×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 则表面积减少了31.4平方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8．251.2 【分析】这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可。 【详解】大圆柱的表面积：3.14×52×2＋2×3.14×5×2 ＝157＋62.8 ＝219.8（平方分米） 中圆柱侧面积：2×3.14×2×2＝25.12（平方分米） 小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2＝6.28（平方分米） 这个物体的表面积：219.8＋25.12＋6.28＝251.2（平方分米） 所以，这个物体的表面积是251.2平方分米。 9．188.4 【分析】虽然上面的圆柱挡住了下面大的圆柱的底面的一部分，但是通过平移可以将上面的圆柱的底面平移到下面圆柱的底面，最后立体图形的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积＝。圆柱的侧面积＝。 【详解】大圆柱的表面积：2×3.14×4×2＋2×3.14×42 ＝3.14×16＋2×3.14×16 ＝50.24＋3.14×32 ＝50.24＋100.48 ＝150.72（平方米） 小圆柱的侧面积：2×3.14×3×2 ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 150.72＋37.68＝188.4（平方米） 则这个立体图形的表面积是188.4平方米。 10．225.36 【分析】要求这个模型的表面积，实际上是用棱长为5分米的正方体的表面积加上6个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱的侧面积求和。 【详解】5×5×6＋3.14×2×2×6 ＝150＋75.36 ＝225.36（平方分米） 这个模型的表面积是225.36平方分米。 【点睛】此题考查长方体表面积和圆柱侧面积的综合应用，解答本题的关键是将表面积转化为学过的基本图形表面积。 11．3.6775 【分析】根据题意可知，上半部分要涂色的面积是一个圆柱的表面积的一半，下半部分要涂色的面积是正方体的5个面的面积；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，代入数据再除以2即可求出上半部分涂色的面积；然后先用1×1求出正方体一个面的面积，再乘5即可求出下半部分涂色的面积；再用加法即可求出总面积，然后乘0.5千克，即可求出油漆的总千克数。 【详解】2×3.14×（1÷2）2＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.52＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.25＋3.14×1×1 ＝1.57＋3.14 ＝4.71（平方米） 4.71÷2＝2.355（平方米） 1×1×5＝5（平方米） 2.355＋5＝7.355（平方米） 7.355×0.5＝3.6775（千克） 共需要油漆3.6775千克。 【点睛】本题考查了组合体表面积的计算，掌握相应的公式是解答本题的关键。 12．261.6平方厘米 【分析】焊接后，圆柱的1个底面变成了里面，不再需要计算表面积。同时，长方体的上面减少了一个圆形的面，将圆柱的上面借给长方体后，长方体的表面积不变，圆柱只剩下侧面积需要计算。所以，这个组合体的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高。据此解题。 【详解】（10×4＋10×2＋4×2）×2＋3.14×4×10 ＝（40＋20＋8）×2＋12.56×10 ＝68×2＋125.6 ＝136＋125.6 ＝261.6（平方厘米） 答：它的表面积是261.6平方厘米。 13．1.3188平方分米 【分析】这个立体图形的表面积包含最下面圆柱的完整表面积，中间圆柱的侧面积和上边圆柱的侧面积，据此列式解答。 【详解】3.14×3×2＋3.14×3×2×2＋3.14×2×2×2＋3.14×1×2×2 ＝56.52＋37.68＋25.12＋12.56 ＝131.88（平方厘米） ＝1.3188平方分米 答：表面积是1.3188平方分米。 【点睛】本题考查了组合体的表面积，所有上面的面都可以平移到大圆柱的上面，组成完整的大圆柱表面积。注意单位的换算。 14．3.70635平方米 【分析】立柱涂漆的部分包括，圆柱侧面积，长方体前、后、左、右和上面的面减去圆柱底面积，据此列式解答即可。 【详解】20厘米＝0.2米，40厘米＝0.4米，30厘米＝0.3米 3.14×0.3×3.5＋0.4×0.2×4＋0.4×0.4－3.14×（0.3÷2） ＝3.297＋0.32＋0.16－0.07065 ＝3.70635（平方米） 答：要漆3.70635平方米。 【点睛】本题考查了组合体表面积，要通过示意图仔细观察，需要涂漆的面包括哪些。 15．120.48平方厘米 【分析】观察图形可以看出，这个容器的表面积为一个圆柱体的表面积加上长方体的侧面积，圆柱体的表面积＝，长方体的底面是边长为1厘米的正方形，长方体的侧面积＝边长×高×4，据此解答。 【详解】圆柱体的表面积： （平方厘米） 长方体的侧面积：（平方厘米） 容器的表面积：（平方厘米） 答：这个容器的表面积是120.48平方厘米。 16．6619.5平方厘米 【分析】根据题意，宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，只有5个面涂油漆；上半部分是圆柱的一半，涂油漆的面包括两个半圆和圆柱侧面的一半，其中两个半圆可以组成一个圆； 下半部分正方体涂油漆的面积＝正方体5个面的面积＝5a2，上半部分半圆柱涂油漆的面积＝圆的面积＋圆柱侧面积的一半＝πr2＋πdh÷2，代入数据计算求解。 【详解】30×30×5 ＝900×5 ＝4500（平方厘米） 3.14×（30÷2）2＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×152＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×225＋3.14×30×30÷2 ＝706.5＋1413 ＝2119.5（平方厘米） 一共：4500＋2119.5＝6619.5（平方厘米） 答：涂油漆的面积是6619.5平方厘米。 17．1402.4平方厘米 【分析】根据题意和图意可知，制作一个这样的“博士帽”至少需要黑色卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【详解】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作一个这样的“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 18．182.12平方厘米 【分析】这个零件接触空气的部分涂防锈漆的面积即这个零件的表面积，零件的表面积等于圆柱体的表面积加上圆柱形圆孔的侧面积；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10＋3.14×2×5 ＝3.14×4×2＋12.56×10＋6.28×5 ＝12.56×2＋125.6＋31.4 ＝25.12＋125.6＋31.4 ＝150.72＋31.4 ＝182.12（平方厘米） 答：一共要涂182.12平方厘米。 【点睛】熟练掌握圆柱的侧面积公式、圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 19．18.84平方分米 【分析】看图可知，硬纸板的面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积＋帽檐（圆环）的面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），据此列式解答。 【详解】1＋1＝2（分米） 3.14×12＋2×3.14×1×1＋3.14×（22－12） ＝3.14×1＋6.28＋3.14×（4－1） ＝3.14＋6.28＋3.14×3 ＝3.14＋6.28＋9.42 ＝18.84（平方分米） 答：做这顶帽子至少要用18.84平方分米的硬纸板。 20．459.36平方分米 【分析】分析题意可知，需喷漆部分的面积＝正方体的表面积－直径4分米圆的面积×2＋圆柱的侧面积，据此解答。 【详解】8×8×6－3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×8 ＝8×8×6－3.14×4×2＋3.14×4×8 ＝64×6－12.56×2＋12.56×8 ＝384－25.12＋100.48 ＝358.88＋100.48 ＝459.36（dm2） 答：需喷油漆的面积是459.36平方分米。 【点睛】分析图形找出需要涂漆的部分是解答题目的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $