云南师范大学附属中学2027届高二年级上学期教学测评期末卷数学试题

云南师大附中2027届高二年级上学期教学测评期末卷 数学 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2 页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分， 考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知A={2,3,4,5,6,7,8,9},B={8,9,10},则AUB中元素个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 2.在等差数列{an}中，a2=3,a6=15,则公差d= A.-3 B.3 C.-6 D.6 3.某学校为了解学生参加跑步运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调 查，拟从初中部和高中部两层共抽取70名学生，已知该校初中部和高中部分别有900 名和1200名学生，则高中部应抽取的人数为 A.20 B.30 C.40 D.50 4.已知圆心为(3，-1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是 A.（x-3)2+(y+1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=9 C.(x+3)2+(y-1)2=1 D.(x+3)2+(y-1)2=9 5已知x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，)-=3x-4,则)- A.-5 B.-3 C.3 D.5 高二数学·第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 6若点 0 是函数f(x)=tan(x-2p)(p>0)的图象的一个对称中心，则p的最小值为 A B君 c D.8 7.某传统文化学习小组有4名同学（包含甲)，现要从中选出3名同学参加学校举行的 汇报展示活动.如果要求选出的3名同学分别参加绘画、国学、书法3种不同的活动， 其中甲不能参加绘画活动，则不同的安排方法种数为 A.6 B.12 C.15 D.18 8.函数f(x)=x3-3ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 A.（-∞，-1) B.(0,1) C.(1,+0) D.[2,+o) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设，是两个非零向量，下列命题正确的是 A.若a=i,则1a|=|1 B.若a∥6，则a= C.若a1b,则a.6=0 D.若a∥6，∥c,则a∥c 10.已知R,P,分别是椭圆C:=1的左、右焦点，过点R,的直线与C交于A,B 43 两点（异于C的左、右顶点)，则 A.椭圆C的长轴长为2 B.△ABF,的周长为8 C.|AFI·|AF2|的最大值为4 D.当A为C的上顶点时，1AB1=2 1.已知数列1a,中，a=4,a41=a2+a,数列1}的前n项和为S,则 la,+1 A.a2=18 B.{an}是递增数列 C.VnEN',log2a>2 D.S=4-。 高二数学·第2页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） .2 知双曲线，1>0，b>0)的一条渐近线的方程为y=,则该双曲线的离 为 13.已知圆锥的高为1，且圆锥的母线与底面所成角为30°，则该圆锥的侧面积为 14若直线y=x+1是曲线y=a+(a>0且a≠1)的一条切线，则a= 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinC+√3 ccosA=0. (1)求角A; (2)若a=2,且△ABC的周长为2+√5，求△ABC的面积. 16.（本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，底面ABC是等边三角形，E为BC中点 (1)求证：A,C∥平面AEB1; (2)若AB=AA,=2,求平面AEB1与平面ABB,A1的夹角的余弦值， 高二数学·第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 17.（本小题满分15分) 已知等比数列{an}的前n项和Sn=2”-k. (1)求k的值及数列{an}的通项公式 (2)设bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn 18.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx+x2-ax+e2 (1)若a=3,求f(x)的单调区间； (2)已知f(x)有两个极值点， (1)求a的取值范围； (ⅱ)若f代x)的极小值大于零，求a的取值范围， 19.（本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A1(1,2)在C上，k为常数，k>1.按照如下方式 依次构造点An（n=2,3,…):过点An-作斜率为k的直线与C交于另一点Bn-1,再 过点Bn1作斜率为的直线与C交于点An,记An的坐标为(xn,yn). (1)证明：数列{yn}是等差数列； (2)设△AnAn+1An+2的面积为Sn (i)证明：数列{Sn}为常数列； (ⅱ)k为何值时，Sn取得最大值，并求出该最大值， 高二数学·第4页（共4页） CS扫描全能王 延3亿人都在用的扫描ApP 云南师大附中2027届高二年级上学期教学测评期末卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 愿号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D B C B A D C 【解析】 1.AUB={2,3,4,5,67,8,9,10},所以AUB中元素个数为9，故选D. 2.公差d=二=3，故选B. 6-2 3.根据分层抽样的定义知，高中部共抽取70×1200 2100 40人，故选C. 4.根据题意知圆心为(3，-)，半径为1，故圆方程为(x-3)+0y+1)2=1,故选A. 5.因为∫()是定义在R上周期为2的偶函数，所以∫ )作-引 =-3,故选B, 6.由点骨0是面数闭=mx-2p)图象的-个对称中心，吾-20=受keZ,则 p=-红+受ke乙，又P>0,所以当k=0时，p取得最小值为行故选A 48 7.从4名学生中选出3名分别参加绘画、国学、书法3种不同的活动，其中甲不能参加绘画 活动，可分为以下两步： (1)先从4人中选出3人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加， 有甲参加时，选法有：C=3种： 无甲参加时，选法有：C=1种. (2)安排活动 有甲参加时，先排甲，再排其它人，排法有：CA;=4种， 无甲参加时，排法有A;=6种， 高二数学参考答案·第1页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 综上，3×4+1×6=18. 所以不同的安排方法种数为18，故选D. 8.fx)=x2-3x+2,则f广(x)=3x2-3a,若fx)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值 和极小值，则a>0,令f'(x)=3x2-3a=0,解得x=-√a或√a，且当 xe(-∞，-Va)U(a,+∞)时，∫'(x)>0,当xe(-√a,√a),f'(x)<0,所以，fx) 在(-o,-Va,(Wa,+)上单调递增，fx)在(-√a,√a上单调递减，故f)的极大 f(-√a)> 值为f(-√a),极小值为fa),若fx)要存在3个零点，则 ,即 fa)<0 -ava+3ava+2>0 解得a>1,故选C. a√a-3aa+2<0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BC BCD 【解析】 9.对于A,若ā=6，则一定有=|，故A正确： 对于B,若aB,则只能说明非零向量a、b共线，不一定有a=b,故B错误： 对于C,由a6a1cosa6》可知，当a1万时，a=2,所以a.5=0,故c正 确： 对于D,非零向量a,b,若a∥b,b∥c,则a∥c成立，故D正确， 故选ACD. 10.对于A,由题知长轴长为2a=4,A错误：对于B,△ABE的周长为 |AB|+|AE|+|BFHA|+|BRI+|AI+|BE上4a=8,B正确： 对于C,由题知引+A5上4，所以AA≤0AI+AD=4(当且仅当 |AE月AE=2时取等号)，C正确： 高二数学参考答案·第2页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 对于D,当A为椭圆的上顶点时，1AGHA5上2，又RF=2,则∠AR=于，所以 直线AB的方程为y=√5(x+),设点A的坐标为(：，)，点B的坐标为：，2)，联立 石，可得5+8x=0,解得名=0名=号，所以B昨+15-5 y=V5(x+) 2.8-16 “写5，故D错误。故选BC 11.对于A,g=4,al=a+an,可得a2=a+a=20,故A错误： 对于B,因为a1=a+a,a=4>0,所以a,>0,则a41-an=a>0, 所以{a}是递增数列，故B正确： 对于C,因为a1-a=an>0,所以a1>a,所以1oga1>2log,a,由累乘法可得 log2an1>2”·l0g24,=2,故C正确： 对于D,因为am=+a,=,,+,所以1=。1=上1 01g(8+可ga,t1,所以 1=1-1 a+1 a an +1.1）-1 ta,a厂4a ，故D正确. 故选BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 5 2W3π E 【解析】 12.已知该双曲线的一条渐近线方程为y=x,所以双曲线为等轴双曲线，所以离心率为 √反.故答案为：√2 因为圆锥的母线与底面所成角为30°，高为，所以圆锥的母线长为10心=2， m30=5,因此圆锥的侧面积为1=25x.放答案为：25x. 半径为r= 高二数学参考答案·第3页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 14,设切点坐标为，W,曲线y=d+,求导得/=a+号，由题知 Q+26=%+1 2h得1s1 ，显然ha>0,即a>1,由a的= 2ha26+1,即 2血a,化简得 1=ha+2ha=na*+lna2=lh(aa),即e=aa2,代入=， 导。品，即g日，设因坚，则=产e>0,当1c8 e 时，f'(x)>0,函数f(x)在(L,e)上单调递增，当x>e时，f'(x)<0,函数f(x)在 e,+)上单调递减，又fe)=,故a=e,故a=6.故答案为：6. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为asinC+√3 ccosA=0, 由正弦定理sin AsinC+V3 sinCcosA=0,又sinC≠0， si血A+V5cosA=0,即tanA=5,由AE0,),得A=2 31 …(6分) (2)由(1)及已知，有cosA=6+c2-a_82+c2-4.1 2bc 2bc =-2可得62+c2+bc=4, 又a+b+c=2+√5，即b+c=√5， 所以6+o-c=5-bc=4be=1,故Soc=bosin= 1, …(13分) 2 4 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图1，连接AB,交AB于点F,连接EF, 则F是AB的中点，又E是BC的中点，所以EF∥AC, 又EFc平面AEB,ACd平面AEB, 图1 所以AC/平面AEB. …(6分) 高二数学参考答案·第4页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF (2)解：如图2，取AB中点0，连接C0, 由于底面ABC是等边三角形，所以CO⊥AB, 在直三棱柱ABC-AB,C中，有BB⊥平面ABC, 又COc平面ABC,所以BB⊥CO, 又AB∩BB=B,AB,BBC平面ABB,所以CO⊥平面MB,B, …(8分） 故以A为原点，AB,A4所在的直线分别为x轴，y轴，以平行于OC的直线为z轴， 建如图2所示的空间直角坐标系，则 C1,0,V5),B(2,0,0,B,(2,2,0), 因为E是BC的中点，则E 2 所以正= 3 2 AB=(2,20), 设n=(w,少)是平面AEB的一个法向量， 则{ 子x+20,令x,则--@ AB·i=2x+2y=0 又因为平面ABBA的一个法向量为m=(0,0,), (13分) 设平面AEB与平面ABB,A的夹角为0， IcosH cos(n,m) m.nis mn5 平面48与平面AB,4的夹角的余弦值为厅 …(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题意得：41=S=2-k,a2=S2-S,=2,4=S-S2=4. 因为{a}是等比数列，所以a=a,·a, 高二数学参考答案·第5页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 即4=4(2-k),解得k=1, …(3分） 故Sn=2”-1. 当n≥2时，an=Sn-Sn1=(2”-1)-(2--10=2”-2-=2-, 当n=1时，a=S=1满足上式， 故an=2- 小…(6分) (2)由(1)得，an=2-,所以bn=2m-+n-1, 则Tn=b+b2+b+…+bn=(2°+2+22+…+2m-)+[0+1+2+…+(n-1月 =10-22+n0+n-少=2-1+n0-卫 1-2 2 2 444404* (15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)若a=3,f(x)=lnr+x2-3x+e2,定义域为(0，+∞)， ∫=+2x-3=2-3x+1_2x-1x-6x>0, 由了>0，解得0<x<或x>1,由fk0,解得x<1, 所以因伤年调适增区间为0引。 +,单调迷减区间为合小 (5分) (2)(i)函数f(x)=lnx+x2-ax+e2的定义域为(0，+∞)， 求导得/例=+2x-4=22-+1,令f闭=0，可得2x-x+1=0, 因为函数f(x)=nx+x2-ar+e2有两个极值点，所以2x2-ar+1=0有两个不等的正 △=a2-8>0 根分别为且<，所以可得西+名=号>0，解得a 所以a的取值范围为(2√2，+∞)： …(10分) 高二数学参考答案·第6页（共9页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP