第4章 平行四边形 单元检测 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第4章 平行四边形 单元检测 2025-2026学年浙教版八年级数学下册（解析卷） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的， 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴与不一定相等， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 3．如图，在中，于点E，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4． 某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论， 甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”； 乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”； 丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”； 丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”． 你认为正确的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．丙和丁 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和与外角和逐个判断即可． 【详解】多边形的内角和公式为，n为多边形的边数 当n增加1，则内角和增加，甲说法正确 任意多边形的外角和都等于，则乙说法错误，丁说法正确 当时，多边形的内角和为，外角和为，则丙说法错误 综上，说法正确的是甲和丁 故选：A． 5．如图，在中，F是AD上的一点，CF＝CD，若∠B＝72°，则∠DFC的度数是（    ） A．78° B．108° C．102° D．72° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到∠D=∠B=72°，根据等腰三角形的性质即可求出∠DFC． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B=72°， ∵CF=CD， ∴∠DFC=∠D=72°， 故选：D． 6. 如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为， 则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 7.如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点， 但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】如图，连接， ， ，当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中， ， ， 的最大值，   ， 8． 如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，，故可看作将平移到，即到，到． ，， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点． ， ． 故选． 9．如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动， 设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示， 则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键． 由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：由图②知，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 10. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形， 再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推， 则第2025个三角形的周长是（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若点和关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标特征，根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为． 12．如图所示，第四套人民币中角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的性质、多边形内角和定理等，熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质是解题的关键． 先用多边形内角和公式求出正九边形的内角和，再根据正多边形的每个内角相等求解即可． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为：． 13． 如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，． 要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 14． 如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且． 若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是关键． 由题意可知，是的中位线，则．在直角中，是斜边上的中线，因此，从而计算出的长． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， 在直角中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动， 点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发， 当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为． 当 时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 16．如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推， 则第2025个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 【详解】解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 18．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 19． 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度， 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O对称的； (2)分别写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画中心对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征确定点的位置，然后连线即可求解． （2）根据图形写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可知，． 20. 如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点， 分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 21．如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 22. 如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点． (1)求证：平分； (2)若平行四边形的周长为20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质证得，，进而证得即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而推导出的周长为即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长为20， ∴， ∵， ∴的周长为． 23 ．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道， 如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形． 瓦里尼翁是法国数学家，力学家． 瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质． 例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： (1) 上述证明过程中的横线上填的内容是：______． (2) 如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和． 请你通过几何推理证明这一结论． (3) 已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具， 画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 【答案】(1)（三角形的中位线定理） (2)见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形． 故答案为：（三角形的中位线定理）． （2）证明：分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为： ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 24. 如图1，在中，． 以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． （1）由在中，，，，根据勾股定理即可求得与的长，即可求得点的坐标； （2）首先可得，根据是的中点，可证得，，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （3）首先设的长为，由折叠的性质可得：，然后根据勾股定理可得方程，解此方程即可求得的长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的坐标为； （2）证明：， 轴， 轴轴， 轴，即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （3）解：设的长为， ， ， 由折叠的性质可得：， 在中，， 即， 解得：， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 单元检测 2025-2026学年浙教版八年级数学下册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1． 在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的， 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 2．如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点E，若，则为（    ） A． B． C． D． 4． 某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论， 甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”； 乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”； 丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”； 丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”． 你认为正确的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．丙和丁 D．以上都不对 5．如图，在中，F是AD上的一点，CF＝CD，若∠B＝72°，则∠DFC的度数是（    ） A．78° B．108° C．102° D．72° 6. 如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为， 则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 7.如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点， 但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 8． 如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动， 设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示， 则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 10. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形， 再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推， 则第2025个三角形的周长是（    ） A．2024 B． C．2025 D． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若点和关于原点对称，则 ． 12．如图所示，第四套人民币中角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为 度． 13． 如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，． 要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 14． 如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且． 若，，则线段的长为 ． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动， 点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发， 当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为． 当 时，四边形是平行四边形． 16．如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推， 则第2025个三角形的周长是 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 18．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 19． 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度， 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O对称的； (2)分别写出的坐标． 20. 如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点， 分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 21．如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点． (1)求证：平分； (2)若平行四边形的周长为20，求的周长． 23 ．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道， 如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形． 瓦里尼翁是法国数学家，力学家． 瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质． 例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： (1) 上述证明过程中的横线上填的内容是：______． (2) 如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和． 请你通过几何推理证明这一结论． (3) 已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具， 画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 24. 如图1，在中，． 以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $