第4章 平行四边形（知识清单）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“平行四边形”章节内容，涵盖多边形概念与内角和、图形旋转、平行四边形性质判定、三角形中位线及反证法等核心知识，搭建从基础定义到性质定理再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“概念-性质-判定-应用”模块划分呈现知识体系，如将平行四边形性质与判定分条对比，培养几何直观与推理意识。设计14类典型例题（如多边形计算、旋转全等模型），标注“遇中点作中位线”等解题技巧，助力学生高效掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第4章 平行四边形 1.多边形的定义：在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.四边形的内角和等于 360° 。 3.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180° (n≥3) 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 4.任何多边形的外角和为360°。正边形的各外角都相等，都等于 。 5.图形的旋转三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度； 6.图形经过旋转所得的图形和原图形全等。对应点到旋转中心的距离槽等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 7.中心对称有对称中心，对称中心平分连结两个对称点的线段。 8.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD可记作“□ABCD”。 9.平行四边形有4条边，每条边有对边和邻边；有4个角，每个角有邻角和对角；有两条对角线，对角线相交。 10.平行四边形的性质： ①两组对边分别平行； ②两组对角分别相等； ③两组对边分别相等 ④对角线相互平分。 除此之外，平行四边形内：①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的垂线段相等； 11.由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形； （2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半； （3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值； （4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 12.四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 13.轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 14.平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 15.连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 16.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 17.在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 1.根据公式求多边形内角和或正多边形每个内角、外角的度数。 例1 （25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 2.根据内角和或外角情况求多边形的边数。 例2 （2026七年级下·江苏·专题练习）某个多边形的内角和是其外角和的六倍，这个多边形是_________ 边形． 【答案】十四 【分析】由多边形的外角和是求出多边形的内角和，根据多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和是， 多边形的内角和＝， ∵多边形的内角和＝， ∴， 解得：， ∴这个多边形是十四边形． 3.多边形相关的探究和计算。 例3 （25-26八年级下·河北廊坊·期中）“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个多边形的边数为． 【分析】（1）根据题意画出对角线即可解答； （2）根据表格数据找到规律即可解答； （3）设多边形的边数为，结合（2）中规律列出方程即可求解． 【详解】（1）解：完成下表如下： （2）解：∵三边形的对角线条数可表示为 ， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为 ， 六边形对角线条数可表示为 ， 七边形对角线条数可表示为 ， ， ∴边形对角线条数可表示为； （3）解：设多边形的边数为， 根据题意，得 ，即， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 答：这个多边形的边数为． 4.平行四边形中角的计算或探究。 例4 （25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再由，可得，证明，可得结论； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，最后求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 5.平行四边形中结合角平分线与等腰三角形。 例5 （25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例6 （25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 【答案】15 【分析】由平行四边形的性质得，平行线与角平分线相结合，根据等角对等边可证，，由此可解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ． 6.等面积法的运用。 例7 如图，已知平行四边形中，，，边上的高，则边上的高的长是________． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积求法，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的对边相等，可得，结合，即可求得边上的高的长． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形，， ∴， 又，，， ∴， ∴，即边上的高的长是3． 故答案为：3． 7.对角线相互平分的运用。 例8 （25-26八年级下·四川广元·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8.旋转全等模型。 例9 （2026·山西临汾·一模）如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，若，，则的面积为_____． 【答案】 【分析】把逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，再根据求出，然后证明，得，即，，即可得出，设正方形的边长为，在中，，，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形为正方形， ， 如图，把逆时针旋转得到， ，．，， ， 、、在同一条直线上 ， ， ． 在和中， ， ， ，即， ． 设正方形的边长为， 在中，， 解得： ∴， ∴． 9.坐标系中图形的旋转与中心对称图形。 例10 （25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的坐标； (2)若和关于原点中心对称，画出对应图形，并写出各顶点坐标； (3)若和关于点中心对称，画出对应图形，并写出各顶点坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析，，， (3)见解析，，， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的旋转变换与中心对称变换的坐标规律． （1）绕原点顺时针旋转的坐标变换规律为→； （2）关于原点中心对称的坐标变换规律为→； （3）根据中心对称作图的步骤在平面直角坐标系作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （3）解：如图所示，由作图可知，，． 10.用边证明四边形是平行四边形的一般思路。 例11 （25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得到且，因为已知，所以可推出，进而判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质证明两角相等； （2）先利用平行四边形对角相等的性质得到，在中根据三角形内角和定理求出的度数，再由的性质得到，最后结合平行四边形邻角互补的性质，或利用外角性质计算的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 例12 （25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． （3）过点作于点，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． （3）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 即，之间的距离为． 11.用对角线证明四边形是平行四边形。 例13 （25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是延长线上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据是的中点得出，再由得到两组内错角相等，利用证明，从而推出，最后结合，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形； （2）先由结合，得出、、，接着由推出，在中运用勾股定理求出的长度，最后根据平行四边形面积公式“底×高”，以为底、为高即可计算出平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12.动点问题。 例14 （24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 13.遇中点作中位线。 例15 （25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中，，． ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 14.反证法的论述逻辑。 例16 （25-26八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 【答案】至少有两个内角为钝角 【分析】根据反证法的定义，证明命题时需先假设命题结论不成立，只需找出原结论的反面即可. 【详解】解：原命题的结论为“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，“至多有一个”的反面为“至少有两个”，因此用反证法证明时，应假设这个三角形中至少有两个内角为钝角. 1．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 3．（2026年辽宁省铁岭市部分学校中考一模九年级数学试卷）已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于坐标原点中心对称的点的坐标特征为横，纵坐标均互为相反数， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为. 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 【答案】C 【分析】甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：甲方案：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 乙方案：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 综上所述，甲乙两方案均可行． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 7．（18-19九年级上·全国·单元测试）反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 8．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 【答案】4 【分析】利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 【答案】 【分析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， 是斜边上的中线， ． 10．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，在中，，对角线，，点E是的中点，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，过作于，作于，求解，，，，证明，设,结合，可得,，证明是等边三角形，可得，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，作于， ∵在中，，，， ∴，，，，，，，， ∵的平分线与交于点F， ∴， 设, ∴，， ∴， 解得：, ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 又∵， ∴的对边为，即， ∴， ∴， 解得或． 12．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 13．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·山东德州·期中）已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为D，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？并加以证明； (3)当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)，见解析 【分析】（1）延长交于点F，利用等腰直角三角形的性质求得，证明，求得，再证明是的中位线，得到，据此即可得到； （2）延长交于点F，证明是等边三角形，再证明是的中位线，得到，据此即可得到当时，； （3）同理可得到当时，． 【详解】（1）证明：延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时， 延长交于点F，如图，则，    同（1）可证：， ∴，， 又， ∴是等边三角形，， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时， 延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 1.多边形的定义：在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.四边形的内角和等于 。 3.多边形内角和定理：n边形的内角和为 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 4.任何多边形的外角和为360°。正边形的各外角都相等，都等于 。 5.图形的旋转三要素：旋转中心， 和 ； 6.图形经过旋转所得的图形和原图形 。对应点到旋转中心的距离槽等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度 旋转的角度。 7.中心对称有对称中心，对称中心平分连结两个对称点的线段。 8.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD可记作“ ”。 9.平行四边形有4条边，每条边有对边和邻边；有4个角，每个角有邻角和对角；有两条对角线，对角线相交。 10.平行四边形的性质： ①两组对边分别 ； ②两组对角分别 ； ③两组对边分别相等 ④对角线 。 除此之外，平行四边形内：①夹在两条平行线间的平行线段 ；②夹在两条平行线间的 相等； 11.由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个 的三角形； （2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半； （3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值； （4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 12.四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 13.轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的 ，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 14.平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ②一组对边 的四边形是平行四边形 ③两组对边 的四边形是平行四边形 ④对角线 的四边形是平行四边形 15.连结三角形 的线段叫作三角形的中位线。 16.三角形的中位线平行于第三边，并且等于 。 17.在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 1.根据公式求多边形内角和或正多边形每个内角、外角的度数。 例1 （25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 2.根据内角和或外角情况求多边形的边数。 例2 （2026七年级下·江苏·专题练习）某个多边形的内角和是其外角和的六倍，这个多边形是______ 边形． 3.多边形相关的探究和计算。 例3 （25-26八年级下·河北廊坊·期中）“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 4.平行四边形中角的计算或探究。 例4 （25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 5.平行四边形中结合角平分线与等腰三角形。 例5 （25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 例6 （25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 6.等面积法的运用。 例7 如图，已知平行四边形中，，，边上的高，则边上的高的长是________． 7.对角线相互平分的运用。 例8 （25-26八年级下·四川广元·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 8.旋转全等模型。 例9 （2026·山西临汾·一模）如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，若，，则的面积为_____． 9.坐标系中图形的旋转与中心对称图形。 例10 （25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的坐标； (2)若和关于原点中心对称，画出对应图形，并写出各顶点坐标； (3)若和关于点中心对称，画出对应图形，并写出各顶点坐标． 10.用边证明四边形是平行四边形的一般思路。 例11 （25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 例12 （25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求直线，之间的距离； (3)求直线，之间的距离． 11.用对角线证明四边形是平行四边形。 例13 （25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是延长线上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的面积． 12.动点问题。 例14 （24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 13.遇中点作中位线。 例15 （25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 14.反证法的论述逻辑。 例16 （25-26八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 1．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 2．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026年辽宁省铁岭市部分学校中考一模九年级数学试卷）已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 5．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 7．（18-19九年级上·全国·单元测试）反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 8．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 10．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，在中，，对角线，，点E是的中点，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 13．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 14．（25-26八年级下·山东德州·期中）已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为D，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？并加以证明； (3)当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $