精品解析：广东省肇庆市鼎湖中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

广东省肇庆市鼎湖中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 命题人： 审题人： 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可得出答案． 【详解】∵集合， 故选：A． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式，集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 4. 若，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出x的值，再利用指数与对数互化的性质计算作答. 【详解】因，则， 所以. 故选：A 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性可判断ABC选项；利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数，且在定义域内不单调，A不满足条件； 对于B选项，函数为非奇非偶函数，且在上为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且在上为减函数，C不满足条件； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，，故函数为奇函数， 因为，则函数在、上均为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数，D满足条件. 故选：D. 6. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 7. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数为增函数，则； 对数函数为增函数，则，即； 对数函数为增函数，则. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 8. 已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的特点列出相应的不等式，利用的取值范围，由不等式的性质求解可得实数的取值范围即可. 【详解】因为在上单调递减，则，解得， 因为，所以，要存在满足，故． 所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 已知且，则函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点； 只有BD的图象符合． 故选：BD. 10. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项逐个分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，满足，但不成立，C选项错误； ，则，又，即，D选项正确. 故选：AD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，令即可求解；对于B选项，根据抽象函数定义域的要求进行求解即可；对于C选项，首先根据奇函数的性质可得函数的图像关于点对称，进而根据图像变换进行求解即可；对于D选项，首先画出与的函数图像，观察图像的交点个数即可求解参数的取值范围. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图像关于点对称，故C正确； 对于D，当时，函数的图象如下图所示， 当时，函数的图象如下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象恒过点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和性质知，函数恒过定点，代入求解即可. 【详解】因此指数函数恒过定点， 所以令，解得， 将代入函数，得， 即函数图象恒过点. 13. 已知函数，若函数是的反函数，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出函数值. 【详解】函数，由函数是的反函数，得，所以. 故答案为：4 14. 已知，，且，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数的性质、运算法则直接求解； （2）根据对数的性质、运算法则直接求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）判断并用定义法证明函数的单调性； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】（1） 函数的定义域为，而为增函数， 则为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，则,， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）存在实数，使函数为奇函数 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （2）利用函数奇偶性的性质即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在实数a，使为奇函数，则， 所以，解得， 当时，，其定义域为， 所以，则为奇函数， 故存在实数，满足题意. 17. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】（1） （2） 函数为定义域上的偶函数． 令， 则， 又 ． 则，有成立． 则函数为在定义域上的偶函数． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果； （2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论. 【小问1详解】 由， 则有，得．则函数的定义域为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，有2个不同实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质求出二次函数的值域，进而可求得的范围. （2）先化简等式，然后求出分段函数的解析式和画出分段函数的图象，进而可求出的范围. 【小问1详解】 若，则， 因为不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，则，令， 则， 所以在上单调递减，则. 故要使得不等式恒成立，则. 【小问2详解】 若，则，即有两个不同实根， 令，当时，即时，； 当时，即时，，作出的图象，如图所示， 要使得有两个不同实根，则. 19. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 【答案】（1）模型①，理由为： 由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2），第16个月. 【解析】 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【小问1详解】 由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. 【小问2详解】 由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得， 因此，当时，，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第16个月会员人数达到14万. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省肇庆市鼎湖中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 命题人： 审题人： 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 6. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 已知且，则函数与的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象恒过点__________. 13. 已知函数，若函数是的反函数，则___________． 14. 已知，，且，的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）判断并用定义法证明函数的单调性； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 17. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 18. 已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，有2个不同实根，求实数的取值范围. 19. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $