精品解析：河北石家庄市第四十中学2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题

2025－2026学年第一学期期末考试 初二数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转180度后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A选项文字上方的图案是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项文字上方的图案不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母， ∴的取值是， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根和二次根式的运算，根据算术平方根的定义和二次根式的运算法则逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项运算正确，符合题意； B、，该选项运算错误，不符合题意； C、，该选项运算错误，不符合题意； D、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变逐一验证各选项即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，原选项变形错误，不符合题意； 、当时，，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6. 如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③，其中能判定的条件个数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，则不能判定； 综上符合条件的有①②，共2个； 故选C． 7. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】根据和算术平方根、平方根的性质逐一判断即可． 【详解】A、是无理数，说法正确； B、2＜＜3，说法正确； C、5的平方根是±，故原题说法错误； D、是5的算术平方根，说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的区别，无理数的估算，关键是要熟记平方根和算术平方根的区别． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 9. 某公园有一个正多边形花池，小明绕花池沿着边沿行走一周，每次经过顶点都需要转弯调整方向，若每次转弯角度是，则这个正多边形花池的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．根据多边形的外角求出边数，再根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意知，正多边形的每一个外角为， 正多边形的边数为：， 这个正多边形花池的内角和为， 故选：． 10. 如图，在梯形ABCD中，，，，，，则CD的长为　　 A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长AD，过C作AD的延长线，垂足为过A作BC的垂线，垂足为F，已知四边形AFCE是正方形，所以，，在直角三角形DEC中，根据勾股定理，即可求出CD的值． 【详解】延长AD，过C作AD的延长线，垂足为过A作BC的垂线，垂足为F， ，， 三角形ABC是等腰直角三角形， ， ，四边形AFCE是正方形； ，， ， ， 在直角三角形DEC中，根据勾股定理，得到， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键. 11. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义是解题的关键． 根据分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值可得增根为，再将分式方程化成整式方程并把得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母，解得，即增根为3， 方程两边同乘，得， 把代入可得：，解得：． 故选C． 12. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的计算方法计算即可； 【详解】． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 14. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得． 因此，任意取的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在中，，平分交于点．若，的面积为9，则点到边的距离为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质．利用三角形面积公式求得，再作交于点，结合角平分线的性质即可得到点到的距离即． 【详解】解：∵，，的面积为9， ∴，即， 解得， 作交于点， ，平分交于点， ， 即点到的距离为3． 故答案为：3． 16. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 三．解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）根据分式的加减法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵_______，_____， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1），5 （2） ①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ② 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【小问1详解】 解：，， ， ． 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：①略 ②， ． 19. 如图，在中． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知的周长比的周长长10，求的长． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质： （1）作，边交于点D，即可； （2）根据等腰三角形的判定可得，再由的周长比的周长长10，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由作法得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵的周长比的周长长10， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 20. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 【答案】（1），种花卉的单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）①由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，列出方程即可； ②根据方程可知，等量关系为：600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍，故乙设的是种花卉的单价； （2）根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：； ∵表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴乙设的是种花卉的单价为元； 故答案为：；种花卉的单价为元； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 21. 如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， E是中点， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线，掌握平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线是解题的关键； （1）根据对边平行且相等即可得证； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据三角形的中位线即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， ，， ∴， ∵点E，F分别是，中点， ∴​​​​​​​． 22. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】（1） （2）①；②，则；，则； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 23. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（）， 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）或． 【解析】 【分析】（）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）略 ②略 （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末考试 初二数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号遥二十运载火箭，在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射五十载之际开启第二十次神舟问天之旅．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③，其中能判定的条件个数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某公园有一个正多边形花池，小明绕花池沿着边沿行走一周，每次经过顶点都需要转弯调整方向，若每次转弯角度是，则这个正多边形花池的内角和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在梯形ABCD中，，，，，，则CD的长为　　 A. B. 3 C. D. 11. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 14. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 15. 如图，在中，，平分交于点．若，的面积为9，则点到边的距离为_____． 16. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 三．解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵_______，_____， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 19. 如图，在中． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知的周长比的周长长10，求的长． 20. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 21. 如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）若，求的长． 22. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 23. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $