浙江省嘉兴市2025-2026学年第一学期期末检测高三数学试题

2025~2026学年第一学期期末检测 高三数学试题卷 （2026.1) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸上规定的位置. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Z-1<x≤1}，B={-1,1,2},则AUB= A.{1} B.{-1,1,2} C.{-1,0,1,2} D.[-1,2] 2.已知一组样本数据，23x4的方差为3，则数据2x+1,2x2+1,23+1,2x4+1的 方差为 A.3 B.6 C.7 D.12 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-1,则a2o26= A.2026 B.4051 C.20262-1 D.20262 4.已知向量a=(m,l),b=(m-3,2),若a∥b,则m= A.-3 B.1 C.2 D.1或2 5.函数f)=s血4x-s血x在(0，孕上的零点是 A B C. 7 -5 D. 6.在复平面内，复数(a-2i)2-)(a∈R)对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 高三期末检测数学试题卷第1页（共6页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 7.己知圆C:(x+4)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=4,若动圆M始终平分圆C,C2的周 长，则圆心M的轨迹为 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA=PB= 2 AB,记直线PC与底 面ABCD所成的角为a,则sina的最大值为 A.5-2 B.0-2 c.3 6 D. 6 4 4 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,AB⊥BC,E,F分别是AB,AC的中点， 点G,H满足PG=P元，Pi=PB,则 3 A.EHI∥FG B.EFI∥GH C.平面EFGH⊥平面PAB D.平面EFGH⊥平面PAC 10.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)+fy)+g(x)-gy)=2+2',则 A.f(0)=1 B.曲线y=f(x)是轴对称图形 C.f(x)≥g(x) D.曲线y=g(x)是中心对称图形 11.已知函数f(x)=x-xhx, 数列a,}满足a=方且a=a,则 A.an <an+l B.an +ant2>2an+ C.an21-(5)” D.1+1+.1 <n+2 a1 az an+l 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(ax+1)5的展开式中x3的系数为80，则实数a= 13.已知log2a+b=3,a°=4，则ab= 14.已知满圆C:号+长-1a>6>0的左右熊点分别为F,,点P在C上，加是阳 的中点，且满足PE.PF2=0,M瓦·P0=0,则C的离心率为 高三期末检测数学试题卷第2页（共6页） ■五■ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 2- 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4 acosC=5a-3c. (1)若simA=3,求sin2C: 4 C②)若c0sC三，b=l,求AABC的面积 16.（本题满分15分) 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现 场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规 则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该 盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品：无论获 奖与否，都将该盒子放回原处：接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队 游戏结束， 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率： (2)记该队获得奖品的总个数为X,求X的分布列及数学期望E(X)· 高三期末检测数学试题卷第3页（共6页） ▣▣ CS扫描全能王 可：3亿人都在用的扫描APP 3. 17.(本题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=120°， (1)若BD⊥平面ADC,求DD: (2)若DD1=2√2，点O为三棱柱ACD-ACD外接球的球心，求二面角O-AD-C的 余弦值. D 1 B1 D C (第17题) 高三期末检测数学试题卷第4页（共6页) ▣▣ CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描APP -4 18.(本题满分17分) 己知抛物线C=2>的焦点为F,点41.)，动点M在能抛物线C上， AMA1+1MFI的最小值为，过点A的直线交C于P-Q两点， (1)求C的方程： (2)若点A是PQ的中点，求直线PQ的方程： (3)在直线y=x-1上是否存在定点E,使得∠PEA=∠QEA.若存在，请求出点E的坐 标：若不存在，请说明理由. 高三期末检测数学试题卷第5页（共6页) ▣▣ CS扫描全能王 百3亿人都在用的扫描App 19.(本题满分17分) 己知函数f(x)=(K-1)2c1,若方程fx)=a(aeR)有三个不同的实数根，x2· (1)求a的取值范围： (2)若x∈R,f(x)≥x3+r+2,求实数1的值： (3)证明：+5+5<石-1. 高三期末检测数学试题卷第6页（共6页） ▣▣ CS扫描全能王 可：3亿人都在用的扫描App 6 嘉兴市2025~2026学年第一学期期末检测 高三数学参考答案 (2026.2) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-4 CDBA 5-8 DAAB 7.【解析】 设圆M的圆心M(x,y),半径为r,由题设知，圆M与圆C的公共弦过圆C的圆心， 从而MC=广2-1，MC=r2-4,从而MC2-MC=3,坐标代入可得x=3 ’从而圆心 M的轨迹为直线. 8.【解析】 分别取AB,CD中点E,F, 过点P作PO⊥平面ABCD,垂足O在直线EF上， 连接PE,OC,由几何图形可知， P 当点O在线段EF上，sina有最大值. 设AB=2,OE=t,t∈[0,1)， 则P0=V1-2，PC=V1-12+(2-)2+1=√6-41， 所以sina= -2 1 1-2 V2W3-21V2V3-27 令m=3-2,me(1,3], 所以sina m3256-25-5-110-2 226-(m+3s1 2V24 当且仅当m=5,即1=3-5时，na的最大值为0-互 2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.AC 高三期末检测数学参考答案第1页（共10页） 10.【解析】 令x=y=0,得f(0)=1.A正确. 令x=y,得fx)= 2’f)是偶函数，B正确。 2+2w 代▣得到g),卡-2对任意x.y成立，从而3-2是常数 2 2 设为1，从而8=2产-2+1对称中心为0，)，D成立. 2 由于t的不确定性，C不一定成立. 11.【解析】 对于A,f(x)=x-xlnx,f'(x)=1-(nx+l)=-lnx,对于fx),当x∈(0，)时，单 11,111 调递增，且fe0,.422n22+2 +二ln2<1,于是0<a<a<1,从而 0<f(a)<f(a)<1,即0<2<a,<1,不断递推可得，0<an<an1<1.A正确. 对于B,a+1-an=-a,In a,,an+2-a+1=-an1lnan1,先比较右边大小， 设函数g)=-xnx,g(x)=nx+1)在(，上递减，而≤a,<a1<1, 从而g(a,)>g(an+1),从而a41-an>an+2-a’即a+2+a,<2a41,B错误。 对于C,a1=an-a,Ina,,≥an-an(an-)=2an-a2, 丙道减去.得a--a-,-850-a,21-a分 从面1-a50-a分r=分，得a≥1-分，C正确。 112” 2"+-1 21+1 1-21 +2-1+2-W2-<1+2-2- =1+2(1-1 （2一2，从而哈+号++<n+1+21-)<n+3,D不正确， a2 an+l 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.4 14.√6-5（或V9-6W2) 14.【解析】 高三期末检测数学参考答案第2页（共10页） 法-：P0和MG的交点为△PF5的重心G,0G=P0=,R△0G5中， 3 EG=2,从面G号，又PG-子c于G1M,则PW5 23 3 c,PF2= -C 3 3 从面所+明26c2=2a,从面6-5 -C+ 法二：设PK,),由题设知M内，C,分)，M派P0=0可得6+6-x=0. 22 所所：=0可得花+后=心，解得气坊-，代入5+荟=1得 e4-18e2+9=0,从而e2=9-6N2,e=V9-6W2=V6-√5 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4 acosC=5a-3c. 1D若sim4=2,求sin2C: (2)若cosC= 8’b=l,求△ABC的面积. sin4simc,代入4 C=5a-3c,得4 4sin AeosC=5sinA-3sinC, 解：(1)由正弦定理a=c 15 代入sinA=3,得3cosC= 3 4 4 -3sinC,即sinC+cosC= ’ 两边平方得到1+sin2C=25,所以sin2C= 9 16 16 7 2)由4ac0sC=5a-3x和cosC8得smC=15及a=2c, 8 -2 abcosC,b=1所以c2=4c+4x。,☒ 2 当c=时a=1,S=,ab sinC6 2 16 4 1 当c=时a=?, 3 bsinc=s 2 12 所以S=5 16 或S=压 12 16.(本题满分15分) 高三期末检测数学参考答案第3页（共10页） 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现 场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规 则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该 盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品：无论获 奖与否，都将该盒子放回原处：接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队 游戏结束。 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率： (2)记该队获得奖品的总个数为X,求X的分布列及数学期望E(X)· 解：(1)原先装有2个，3个，4个玩具所在的盒子记为标号i,“取到编号为i的盒子” 记为事件A(i=2,3,4),“该队仅有乙获得奖品”记为事件B,则 PB=P444)+P4A4)=x5x2+5xx1 3333339 (2)X的可能取值为0,1,2,3， 0PX=0)=-27 11 ②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数 为4种，2种，1种. 取到一个奖品，若其来自4号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数共 有3种。 1010 所以P(X=)=等27 ③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基 本事件数分别为2种，1种，1种. 取到一个奖品，若其来自3号和4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的 基本事件数分别为4种，3种，2种. 所以P(X=2) 1313 3927 高三期末检测数学参考答案第4页（共10页）