广东省茂名市田家炳中学2025-2026学年高一上学期周测数学试卷（1.30）

2026年1月30日高一数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知， 函数 (1)当时， 解不等式； (2)设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． (3)若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值． 2．已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求的值． 4．已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年1月30日高一数学周测》参考答案 1．(1)． (2) (3)或． 【分析】（1）利用对数函数的单调性，当时，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出，通过对数的运算转化为任意恒成立，所以只需求函数在上的最小值即可； （3）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. 【详解】（1）当时，由解得或， 由得，，解得， 所以不等式的解集为． （2）由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与， 则， 即，对任意成立． 因为，对称轴， 所以关于的二次函数在区间上单调递增， 所以时，，则，得． 所以的取值范围为． （3）方程的解集中恰有一个元素， 等价于方程仅有一个解，即方程仅有一个解， 当时，，满足，符合题意； 当时， ①若方程有两个相等的解，则需，解得， 方程的解为，满足； ②若时，方程有两不等实根，设为，显然， 由，得， 因为，所以，即， 所以都满足，所以此时不满足题意， 综上或． 2．(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将化为的形式，再根据计算最小正周期． （2）令，解不等式即可得到单调递增区间． （3）先由得到，结合角的范围求，再用差角公式展开即可计算． 【详解】（1）由题意可得， ． 所以函数的最小正周期为． （2）由（1）可知，函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （3）由（1）结合已知，得，则， 又因为，所以，所以， 所以 ． 4．(1)函数的最小正周期为，最大值为 (2) 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【详解】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $